安徽定遠高復(fù)學校2024年高二數(shù)學第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數(shù)學名著九章算術(shù)中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半牛”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且2．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點，，分別為左、右焦點，為橢圓上一點，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的一個內(nèi)角為3．已知圓的半徑為，平面上一定點到圓心的距離，是圓上任意一點.線段的垂直平分線和直線相交于點，設(shè)點在圓上運動時，點的軌跡為，當時，軌跡對應(yīng)曲線的離心率取值范圍為（）A. B.C. D.4．直線且的傾斜角為（）A. B.C. D.5．某班進行了一次數(shù)學測試，全班學生的成績都落在區(qū)間內(nèi)，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，若該班學生這次數(shù)學測試成績的中位數(shù)的估計值為，則的值為（）A. B.C. D.6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的a值為（）A.3 B.27C.-9 D.97．等差數(shù)列中，,，則當取最大值時，的值為A.6 B.7C.6或7 D.不存在8．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.9．等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，在上隨機取一個實數(shù)，則使得成立的概率為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)，則函數(shù)在點處的切線方程為（）A. B.C. D.12．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標系中，橢圓的面積為，兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標準方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列滿足：，，，則公比______.14．已知拋物線，則的準線方程為______.15．直線的傾斜角為______16．已知為拋物線上任意一點，為拋物線的焦點，為平面內(nèi)一定點，則的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，橢圓：離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．設(shè)過點的動直線與相交于，兩點（1）求橢圓的方程（2）是否存在直線，使得的面積為？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由18．（12分）冬奧會的全稱是冬季奧林匹克運動會，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會，每四年舉辦一屆．第24屆冬奧會將于2022年在中國北京和張家口舉行．為了弘揚奧林匹克精神，增強學生的冬奧會知識，廣安市某中學校從全校隨機抽取50名學生參加冬奧會知識競賽，并根據(jù)這50名學生的競賽成績，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間（1）求頻率分布直方圖中a的值：（2）求這50名學生競賽成績的眾數(shù)和中位數(shù)．（結(jié)果保留一位小數(shù)）19．（12分）已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過，，三點，求橢圓E的標準方程20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為滿足（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為．求證：21．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.22．（10分）已知橢圓的離心率為，且點在C上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)，為橢圓C的左，右焦點，過右焦點的直線l交橢圓C于A，B兩點，若內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】由條件知，，依次成公比為的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和，即故答案為D.2、B【解題分析】先求出橢圓的頂點和焦點坐標，對于A，根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求出離心率判斷A；對于B，根據(jù)勾股定理以及離心率公式判斷B；根據(jù)結(jié)合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形的一個內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，得到，結(jié)合離心率公式判斷D.【題目詳解】∵橢圓∴對于A，若，則，∴，∴，不滿足條件，故A不符合條件；對于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合條件；對于C，軸，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不滿足題意，故C不符合條件；對于D，四邊形的一個內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，∴∴，解得∴，故D不符合條件故選：B【題目點撥】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應(yīng)用，充分利用建立的等式是解題關(guān)鍵.3、D【解題分析】分點A在圓內(nèi)，圓外兩種情況，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義可判斷軌跡，再由離心率計算即可求解.【題目詳解】當A在圓內(nèi)時，如圖，,所以的軌跡是以O(shè)，A為焦點的橢圓，其中，，此時，，.當A在圓外時，如圖，因為，所以軌跡是以O(shè)，A為焦點的雙曲線，其中，，此時，，.綜上可知，.故選：D4、C【解題分析】由直線方程可知其斜率，根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.【題目詳解】直線方程可化為：，直線的斜率，直線的傾斜角為.故選：C.5、A【解題分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意有，得，又由，得，解得，，有故選：A.6、B【解題分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)累乘值，并判斷滿足時輸出的值【題目詳解】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得，時，不滿足條件，；不滿足條件，；不滿足條件，；滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為27故選：7、C【解題分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為∵∴∴∴∵∴當取最大值時，的值為或故選C8、A【解題分析】考點：直線的傾斜角專題：計算題分析：因為直線的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設(shè)傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于直線方程的基礎(chǔ)題型，需要學生對基礎(chǔ)知識熟練掌握9、D【解題分析】設(shè)公比為，依題意得到方程，即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式計算可得；【題目詳解】解：設(shè)公比為，因為，，所以，即，解得，所以；故選：D10、B【解題分析】首先求不等式的解集，再根據(jù)區(qū)間長度，求幾何概型的概率.【題目詳解】由，得，解得，在區(qū)間上隨機取一實數(shù)，則實數(shù)滿足不等式的概率為故選：B11、C【解題分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點處的切線方程即可解決.【題目詳解】則，又則函數(shù)在點處的切線方程為，即故選：C12、A【解題分析】由橢圓的面積為和兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【題目詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標準方程是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得，結(jié)合即可求出公比.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公式為q，則，即，解得，又，所以，所以.故答案為：.14、##【解題分析】根據(jù)拋物線的方程求出的值即得解.【題目詳解】解：因為拋物線，所以，所以的準線方程為.故答案為：15、【解題分析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關(guān)系即可得出【題目詳解】設(shè)直線的傾斜角為由直線化為，故，又，故，故答案為【題目點撥】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是16、3【解題分析】利用拋物線的定義，再結(jié)合圖形即求.【題目詳解】由題可得拋物線的準線為，設(shè)點在準線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義可知，∴要求取得最小值，即求取得最小，當三點共線時最小，為.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在；或.【解題分析】（1）設(shè)，由，，，求得的值即可得橢圓的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立可得，，進而可得弦長，求出點到直線的距離，解方程，求得的值即可求解.【小問1詳解】設(shè)，因為直線的斜率為，，所以，可得，又因為，所以，所以，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設(shè)存在直線，使得的面積為，當軸時，不合題意，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立消去得：，由可得或，，，所以，點到直線的距離，所以，整理可得：即，所以或，所以或，所以存在直線：或使得的面積為.18、（1）（2）眾數(shù)；中位數(shù)【解題分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和為1列式即可；（2）根據(jù)眾數(shù)即最高矩形中間值，中位數(shù)左右兩邊矩形面積各為0.5列式即可.【小問1詳解】由,得【小問2詳解】50名學生競賽成績的眾數(shù)為設(shè)中位數(shù)為,則解得所以這50名學生競賽成績的中位數(shù)為76.419、【解題分析】分橢圓的焦點在軸上與焦點在軸上，兩種情況討論，利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；【題目詳解】解：（1）當橢圓的焦點在軸上時，設(shè)其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，所以橢圓E的方程為（2）當橢圓的焦點在軸上時，設(shè)其方程為()，則又點C在橢圓上，得，解得，這與矛盾綜上可知，橢圓的方程為20、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解題分析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：當時，，解得，當時，由可得，上述兩個等式作差得，所以，，則，因為，則，可得，，，以此類推，可知對任意的，，所以，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，，解得.【小問2詳解】證明：，則，其中，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，，，上式下式，得，所以，，因此，.21、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與