2021年安徽省滁州市爐橋中學高二數學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題p1：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0成立；p2：對任意的x∈，x2﹣1≥0．以下命題為真命題的是(

)A．￢p1∧￢p2 B．p1∨￢p2 C．￢p1∧p2 D．p1∧p2參考答案：C【考點】復合命題的真假．【專題】簡易邏輯．【分析】根據一元二次不等式解的情況和判別式△的關系，以及一元二次不等式解的情況，即可判斷命題p1，p2的真假，根據p∧q，p∨q，￢p的真假和p，q真假的關系即可找出真命題的選項．【解答】解：對于不等式，判別式△=1﹣4＜0，所以該不等式無解；∴命題p1是假命題；函數f（x）=x2﹣1在上單調遞增，∴對于任意x∈，f（x）≥f（1）=0，即x2﹣1≥0；∴命題p2是真命題；∴￢p1是真命題，￢p2是假命題；∴￢p1∧￢p2是假命題，p1∨￢p2為假命題，￢p1∧p2為真命題，p1∧p2為假命題．故選C．【點評】考查一元二次不等式解的情況和判別式△的關系，以及根據二次函數的單調性求函數值的范圍．2.已知直線l，m和平面α，β，且l⊥α，m∥β，則下列命題中正確的是A.若α⊥β，則l∥m

B.若α∥β，則l⊥mC.若l∥β，則m⊥α

D.若l⊥m，則α∥β參考答案：B3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，當點Q在（

）位置時，平面D1BQ∥平面PAO.A.Q與C重合

B.Q與C1重合C.Q為CC1的三等分點

D.Q為CC1的中點參考答案：D4.一枚硬幣，連擲三次，至少有兩次正面朝上的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A5.一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.在△ABC中，“＞0”是“△ABC為銳角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】平面向量數量積的運算．【分析】由只能得到角A是銳角，無法得到△ABC為銳角三角形；但△ABC為銳角三角形時，角A一定是銳角，可得．即可判斷出．【解答】解：由只能得到角A是銳角，無法得到△ABC為銳角三角形；但△ABC為銳角三角形時，角A一定是銳角，故．∴“?＞0”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件．故選：B．7.下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減的是（）A．y=x3 B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|參考答案：C【考點】3K：函數奇偶性的判斷；3E：函數單調性的判斷與證明．【分析】根據偶函數的定義判斷各個選項中的函數是否為偶函數，再看函數是否在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減，從而得出結論．【解答】解：y=x3為奇函數；y=e﹣x為非奇非偶函數；y=﹣x2+1符合條件，y=lg|x|在定義域（0，+∞）上為增函數．故選C．8.，則方程組

（

）

A．有且僅有一組實數解

B．有且僅有兩組不同的實數解C．有兩組解，但不一定都是實數解

D．由于為參數，以上情況均有可能出現(xiàn)參考答案：B提示：原方程組可變?yōu)?/p>

(1)表示過點的直線,(2)表示橢圓,中心為,短半軸長為.由知,點在橢圓內部,因此,過點

的直線與橢圓必有兩個不同的交點.

故選.9.設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列四個命題：（1）；

（2）；（3）

；

（4）；其中正確命題的序號是

(

)A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（3）（4）

D．（1）（4）參考答案：A10.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數，則實數m的值為()A.1 B.0 C.－1 D.－1或1參考答案：B【分析】根據復數為純虛數的概念，得到復數的實部為0，并且虛部不為0求出m．【詳解】因為復數z=m（m+1）+（m2－1）i（i為虛數單位）是純虛數，所以，解得m=0；故答案為：B．【點睛】本題考查了復數的基本概念；如果復數a+bi（a，b是實數）是純虛數，那么a=0并且b≠0．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設為雙曲線上一動點，為坐標原點，為線段的中點，則點的軌跡方程是

參考答案：略12.已知圓和點則過點P的圓的最短弦所在直線的方程是

參考答案：13.已知A（4，1，3），B（2，﹣5，1），C（3，7，λ），若，則λ的值為．參考答案：﹣14【考點】向量的數量積判斷向量的共線與垂直．【分析】利用?即可求出．【解答】解：∵，=（﹣1，6，λ﹣3），．∴=﹣2×（﹣1）﹣6×6﹣2（λ﹣3）=0，解得λ=﹣14．故答案為﹣14．14.設平面內有ｎ條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這ｎ條直線交點的個數，則當ｎ＞４時，＝

（用含n的數學表達式表示）。參考答案：15.如圖，在中，，點為的中點，點為線段垂直平分線上的一點，且.固定邊，在平面內移動頂點，使得的內切圓始終與切于線段的中點，且在直線的同側，在移動過程中，當取得最小值時，點到直線的距離為

.參考答案：16.直線y=2x與直線x+y=3的交點坐標是

．

參考答案：17.在區(qū)間上隨機取一個數，的值介于0至之間的概率為________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.數列滿足。（Ⅰ）計算；（Ⅱ）猜想通項公式，并用數學歸納法證明。參考答案：解：（Ⅰ）…4分

（Ⅱ）猜想，…6分

證明：1

當n=1時，a1=1猜想顯然成立；………7分2

假設當n=k)時，猜想成立，即，那么，，………11分綜合①②，當時猜想成立?！?2分略19.（10分）下表提供了某新生嬰兒成長過程中時間x（月）與相應的體重y（公斤）的幾組對照數據．x0123y33.54.55（1）如y與x具有較好的線性關系，請根據表中提供的數據，求出線性回歸方程：=bx+a；（2）由此推測當嬰兒生長到五個月時的體重為多少？參考公式：a=，b=．參考答案：考點： 線性回歸方程．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： （1）利用已知條件求出，樣本中心坐標，利用參考公式求出b，a，然后求出線性回歸方程：=bx+a；（2）通過x=5，利用回歸直線方程，推測當嬰兒生長到五個月時的體重．解答： 解：（1）；==，．（2）當x=5時，．答：由此推測當嬰兒生長到五個月時的體重約是6.45公斤．點評： 本題考查回歸直線方程的求法與應用，基本知識的考查，難度不大．20.已知△ABC的三頂點是A(－1，－1)，B(3，1)，C(1，6)．直線l平行于AB，交AC，BC分別于E，F(xiàn)，△CEF的面積是△CAB面積的．求直線l的方程．參考答案：x－2y＋5＝0．解析：由已知，直線AB的斜率k＝＝．因為EF∥AB，所以直線EF的斜率為．因為△CEF的面積是△CAB面積的，所以E是CA的中點．點E的坐標是(0，)．直線EF的方程是y－＝x，即x－2y＋5＝0．略21.在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，且，、分別為、的中點．（Ⅰ）求證：平面．（Ⅱ）求證：面平面．（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值為？說明理由．參考答案：（）連接．∵底面是正方形，且是中點，∴是中點．∵在中，是中點，是中點，∴．又平面，平面，∴平面．（）∵平面平面，平面平面，，∴平面，∴．又∵中，，∴，即，∴平面．∵平面．∴平面平面．（）如圖，取的中點，連接，。．∵，∴．∵側面底面，∴面．又∵，分別是，的中點，∴，而是正方形，故．∵，∴，．以為原點，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則有，， ，．若在上存在點，使得二面角的余弦值為，連接，，設．由（）知