離散型隨機變量高等數(shù)學第一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一§2.1一維離散隨機變量

一、定義：設S={e}是試驗的樣本空間，如果量X是定義在S上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個eS，有一實數(shù)X=X(e)與之對應，則稱X為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z或、、等表示。第二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

：引入適當?shù)碾S機變量描述下列事件：①將3個球隨機地放入三個格子中，事件A={有1個空格}，B={有2個空格}，C={全有球}。②進行5次試驗，事件D={試驗成功一次}，F(xiàn)={試驗至少成功一次}，G={至多成功3次}例1第三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一隨機變量隨機變量的分類第四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一二、一維離散型隨機變量1、定義2.1

若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)

為X的分布律或概率分布。可表為

X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或X

x1 x2

…

xK …

Pk p1 p2 … pk …第五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1設袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X的分布列。

2.分布律的性質(zhì)第六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數(shù)，求X的分布律。例2:第七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一3、幾個常用的離散型分布（1）(0-1)分布(p63)

若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)

X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或第八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一（2）二項分布(p63)

若以X表示n重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記作X～B（n,p)。其分布律為：第九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.例3第十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一例4.某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，試求其命中次數(shù)不少于2的概率。

普哇松定理(p65)：

設隨機變量Xn～B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，記=np，則

第十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一上題用普哇松定理取=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有

P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.（3）普哇松(Poisson)分布P()(p64)X～P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)第十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

普哇松定理表明，普哇松分布是二項分布的極限分布，當n很大，p很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)=np的普哇松分布第十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

.設某國每對夫婦的子女數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。

例5第十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一§2.2二維離散型隨機變量

一、

多維隨機變量

定義2.2：將n個隨機變量X1，X2，...,Xn構成一個n維向量(X1,X2,...,Xn)稱為n維隨機變量。第十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

1、若二維隨機變量(X,Y)只能取至多可列個值(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，則稱(X,Y)為二維離散型隨機變量。

2、若二維離散型隨機變量(X,Y)取(xi,yj)的概率為pij,則稱

P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，(i,j＝1,2,…)為二維離散型隨機變量(X,Y)的分布律，或隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律?？捎洖?/p>

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j}＝pij(i,j=1,2,…)，二、二維離散型隨機變量及其聯(lián)合分布律

第十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一XY

y1y2

…yj

…

p11p12...

P1j...

p21p22...

P2j...

pi1pi2...

Pij...

........................

3、聯(lián)合分布律的性質(zhì)

(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二維離散型隨機變量的分布律也可列表表示如下:第十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

：袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次，令求(X,Y)的分布律。XY1010例1第十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一4、邊際分布律

若隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為(X,Y)～

P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，i,j＝1,2,…，則稱

P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…為(X,Y)關于X的邊際分布律；

P{Y＝y(tǒng)j}＝p·j＝，j＝1,2,…。為(X,Y)關于Y的邊際分布律。邊際分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。第十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一.已知(X,Y)的分布律為x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的邊際分布律。

例2第二十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一問題：聯(lián)合分布列與邊際分布列有什么關系？

例3：袋中有5張外型相同的卡片，其中3張寫上數(shù)字0，另兩張寫著數(shù)字1現(xiàn)從袋中任取兩張，分別以X、Y表第一張與第二張上的數(shù)字，對有放回與不放回兩種方式，分別求（X，Y）的聯(lián)合分布列。第二十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一三、隨機變量的相互獨立性

定義2.3：設(X,Y)是二維離散型隨機變量，其分布律為P{X=xi,Y=yj}=Pij,i,j=1,2,…。若對任意i,j，有Pij=PiPj。則X與Y相互獨立。第二十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一例4：判斷例3中的X與Y是否相互獨立。

例5：已知隨機變量(X,Y)的分布律為且知X與Y獨立，求a、b的值。XY12010.15

0.15ab第二十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一一、一維離散型隨機變量函數(shù)的分布律§2.3離散型隨機變量函數(shù)的分布1、

設X一個隨機變量，分布律為

X～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若y＝g(x)是一元單值實函數(shù)，則Y＝g(X)也是一個隨機變量。求Y的分布律.例:已知XPk-101求：Y=X2的分布律YPk10第二十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一或

Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk，k＝1,2,…（其中g(xk)有相同的，其對應概率合并。）一般地XPkY=g(X)第二十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

例2．1：設X服從參數(shù)為的普哇松分布的隨機變量，又

試求的Y=f(X)分布列。

第二十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一二、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律設二維離散型隨機變量（X，Y），(X,Y)～P(X＝xi,Y＝y(tǒng)j)＝pij，i,j＝1,2,…則Z＝g(X,Y)～P{Z＝zk}＝＝pk,k＝1,2,…(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)…(xi,yj)…pijp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或第二十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

例：設隨機變量X與Y獨立，且均服從0-1分布，其分布律均為

X

0

1

Piqp(1)求W＝X＋Y的分布律;(2)求V＝max(X,Y)的分布律；(3)求U＝min(X,Y)的分布律。(4)求w與V的聯(lián)合分布律。第二十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一例2．12：設X、Y是兩個獨立的隨機變量，它們分別服從參數(shù)為的普蛙松分布，求Z=X+Y的分布列。

說明：（1）普蛙松分布具有可加性；（2）習題2.27可證明二項分布也具有可加性。第二十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一§2.4數(shù)學期望的定義與性質(zhì)

數(shù)學期望——描述隨機變量取值的平均特征第三十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

1.若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,則稱

定義2.若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且為r.v.X的數(shù)學期望，簡稱期望或均值。，則稱為r.v.X的數(shù)學期望定義一.數(shù)學期望的定義第三十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

擲一顆均勻的骰子，以X表示擲得的點數(shù)，求X的數(shù)學期望。

例2:第三十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一1.0-1分布的數(shù)學期望EX=p2.二項分布B(n,p)二.幾個重要r.v.的期望第三十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一3.普哇松分布第三十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一例1：設隨機變量X的分布律為求隨機變量Y=X2的數(shù)學期望。XPk-101三.隨機變量函數(shù)的期望第三十五頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

2.2：若X～P{X=xk}=pk,k=1,2,…,且則Y=g(X)的期望E(g(X))為

定理2.3:若(X,Y)～P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,且則Z=g(X，Y)的期望定理第三十六頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

設隨機變量(X,Y)的分布列如下，求E(XY)。例4：XY12

01

0.150.150.450.25第三十七頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一1.E(c)=c,c為常數(shù);2.E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),a,b為常數(shù);3.若X與Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y).四.數(shù)學期望的性質(zhì)第三十八頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一解:設第i次試驗事件A發(fā)生第i次試驗事件A不發(fā)生則例3：若X~B(n,p),求E(X)。第三十九頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一一.方差的定義方差是衡量隨機變量取值波動程度的一個數(shù)字特征。如何定義？§2.5方差的定義及性質(zhì)第四十頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

：

若E(X),E(X2)存在，則稱E[X-E(X)]2為r.v.X的方差，記為D(X),或Var(X).稱

為r.v.X的標準差易見：1.定義推論：D(X)=E(X2)-[E(X)]2.第四十一頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

(1)D(c)=0反之，若D（X）=0，則存在常數(shù)C，使P{X=C}=1,且C=E(X);

(2)D(aX)=a2D(X),a為常數(shù)；二、方差的性質(zhì)(3)若X，Y獨立，則D(X+Y)=D(X)+D(Y);第四十二頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一1.二項分布B(n,p)：三、幾個重要r.v.的方差第四十三頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一2.普哇松分布p()：第四十四頁，共五十頁，編輯于2023年，星期一

例2：設隨機變量X1、X2、X3、X4相互獨立，且有EXi=i，DXi=5-i，i=1,2,3,4

設Y=2X1-X2+3X3-0.5X4，求：E(Y)，D(Y)第四十五頁，共五十頁，編輯于20