章末整合專題一專題二專題三專題四專題五專題一

直觀圖的畫法

例1按圖示的建系方法,畫出水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖.畫法(1)如圖①,作AG⊥x軸于點(diǎn)G,作DH⊥x軸于點(diǎn)H.(2)如圖②,畫相應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點(diǎn)O',使∠x'O'y'=45°.(3)在圖②中的x'軸上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,專題一專題二專題三專題四專題五(4)連接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去輔助線G'A',H'D'及坐標(biāo)系,便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A'B'C'D'E'(如圖③).專題一專題二專題三專題四專題五方法技巧

斜二測(cè)畫法的作圖技巧(1)在已知圖形中建立直角坐標(biāo)系.理論上是在任何位置建立直角坐標(biāo)系都行,但在實(shí)際作圖時(shí),一般建立特殊的直角坐標(biāo)系,盡量以原有直線為坐標(biāo)軸,或以圖形中互相垂直的直線為坐標(biāo)軸,或以圖形的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)等.(2)原圖中與x軸或y軸或z軸平行的線段在直觀圖中依然與x'軸或y'軸或z'軸平行;在原圖中不與坐標(biāo)軸平行的線段可以先畫出線段的端點(diǎn)再連線,畫端點(diǎn)時(shí)作坐標(biāo)軸的平行線為輔助線;在原圖中的曲線段可以通過取一些關(guān)鍵點(diǎn),利用上述方法作出直觀圖中的相應(yīng)點(diǎn)后,用平滑的曲線連接而成.(3)在畫一個(gè)水平放置的平面的直觀圖時(shí),由于平面是無限延展的,通常我們只畫出它的一部分來表示該平面.一般地,用平行四邊形表示空間一個(gè)水平平面的直觀圖.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓(xùn)練1用斜二測(cè)畫法畫出棱長(zhǎng)為2cm的正方體ABCD-A'B'C'D'的直觀圖.①

畫法(1)畫軸.如圖①,畫x軸、y軸、z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)畫底面.以點(diǎn)O為中心,在x軸上取線段MN,使MN=2

cm;在y軸上取線段PQ,使PQ=1

cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線,過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線,設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A,B,C,D,四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.專題一專題二專題三專題四專題五(3)畫側(cè)棱.過A,B,C,D分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取2

cm長(zhǎng)的線段AA',BB',CC',DD'.(4)成圖.順次連接A',B',C',D',并加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到正方體的直觀圖(如圖②).圖②

專題一專題二專題三專題四專題五專題二

空間中的平行關(guān)系

例2如圖所示,四邊形ABCD是平行四邊形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置,并給出證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.專題一專題二專題三專題四專題五解存在點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí),平面AFC∥平面PMD,證明如下:如圖,連接BD和AC交于點(diǎn)O,取PB中點(diǎn)F,連接FO,則PF=PB.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以O(shè)是BD的中點(diǎn).所以O(shè)F∥PD.又OF?平面PMD,PD?平面PMD,所以O(shè)F∥平面PMD.又MA∥PB,MA=PB,所以PF∥MA.又因?yàn)镸A∥PB,PF=MA.所以四邊形AFPM是平行四邊形.所以AF∥PM.又AF?平面PMD,PM?平面PMD.所以AF∥平面PMD.又AF∩OF=F,AF?平面AFC,OF?平面AFC.所以平面AFC∥平面PMD.專題一專題二專題三專題四專題五方法技巧

1.判斷線面平行的兩種常用方法面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行,因此掌握線面平行的判定方法是必要的,判定線面平行的兩種方法:(1)利用線面平行的判定定理.(2)利用面面平行的性質(zhì),即當(dāng)兩平面平行時(shí),其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.2.判斷面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)面面平行的傳遞性(α∥β,β∥γ?α∥γ).(3)利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α,l⊥β?α∥β).專題一專題二專題三專題四專題五變式訓(xùn)練2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分別是PB,PC的中點(diǎn).(1)證明:EF∥平面PAD;(2)求三棱錐E-ABC的體積V.專題一專題二專題三專題四專題五(1)證明在△PBC中,E,F分別是PB,PC的中點(diǎn),所以EF∥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以BC∥AD,所以EF∥AD.又因?yàn)锳D?平面PAD,EF?平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)解如圖,連接AE,AC,EC,過E作EG∥PA交AB于點(diǎn)G.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,則EG⊥平面ABCD,且EG=PA.在△PAB中,AP=AB,∠PAB=90°,BP=2,專題一專題二專題三專題四專題五專題三

空間中的垂直關(guān)系

例3(2018全國(guó)Ⅲ高考)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧

所在平面垂直,M是

上異于C,D的點(diǎn).(1)證明:平面AMD⊥平面BMC.(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC∥平面PBD?說明理由.專題一專題二專題三專題四專題五(1)證明由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因?yàn)镸為

上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM?平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)解當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC∥平面PBD.證明如下:連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn),所以MC∥OP.MC?平面PBD,OP?平面PBD,所以MC∥平面PBD.專題一專題二專題三專題四專題五方法技巧

1.判定線面垂直的方法(1)線面垂直定義(一般不易驗(yàn)證任意性).(2)線面垂直的判定定理(a?α,b?α,l⊥a,l⊥b,a∩b=A?l⊥α).(3)平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b,b⊥α?a⊥α).(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β,α∩β=l,a?β,a⊥l?a⊥α).2.判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定義.(2)面面垂直的判定定理.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓(xùn)練3如圖所示,已知AF⊥平面ABCD,四邊形ABEF為矩形,四邊形ABCD為直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.(1)求證:AC⊥平面BCE;(2)求證:AD⊥AE.專題一專題二專題三專題四專題五證明(1)在直角梯形ABCD中,AD=CD=2,AB=4,所以AC=BC=2,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.因?yàn)锳F⊥平面ABCD,AF∥BE,所以BE⊥平面ABCD,又AC?平面ABCD,所以BE⊥AC.又BE?平面BCE,BC?平面BCE,BE∩BC=B,所以AC⊥平面BCE.(2)因?yàn)锳F⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,所以AD⊥AF.又因?yàn)椤螪AB=90°,所以AD⊥AB.又AB?平面ABEF,AF?平面ABEF,AB∩AF=A,所以AD⊥平面ABEF,又AE?平面ABEF,所以AD⊥AE.專題一專題二專題三專題四專題五專題四

空間角問題

例4如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,B'C∩BC'=O,求:(1)異面直線AO與A'C'所成角的大小;(2)異面直線AO與平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB與平面AOC所成角的大小.專題一專題二專題三專題四專題五解(1)因?yàn)锳'C'∥AC,所以異面直線AO與A'C'所成的角就是∠OAC.因?yàn)锳B⊥平面BC',OC?平面BC',所以O(shè)C⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B,AB,BO?平面ABO,所以O(shè)C⊥平面ABO.又OA?平面ABO,所以O(shè)C⊥OA.即AO與A'C'所成角為30°.專題一專題二專題三專題四專題五(2)如圖,作OE⊥BC于E,連接AE.因?yàn)槠矫鍮C'⊥平面ABCD,平面BC'∩平面ABCD=BC,OE?平面BC',OE⊥BC,所以O(shè)E⊥平面ABCD,所以∠OAE為異面直線OA與平面ABCD所成的角.(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.又因?yàn)镺C?平面AOC,所以平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.專題一專題二專題三專題四專題五方法技巧

1.求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角).2.二面角的平面角的作法常有三種:(1)定義法;(2)三垂線法;(3)垂面法.專題一專題二專題三專題四專題五變式訓(xùn)練4(1)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且CD=2AB.若AB=AD,直線PB與CD所成的角為45°,則二面角P-CD-B的大小為

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(2)(2020浙江杭州模擬)如圖,已知四邊形ABCD是正方形,AE⊥平面ABCD,PD∥AE,PD=AD=2EA=2,G,F,H分別為BE,BP,PC的中點(diǎn).①求證:平面ABE⊥平面GHF;②求直線GH與平面PBC所成的角θ的正弦值.專題一專題二專題三專題四專題五(1)解析因?yàn)锳B⊥AD,CD∥AB,所以CD⊥AD.又PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又PD?平面PAD,所以CD⊥PD,所以∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.又直線PB與CD所成的角為45°,所以∠PBA=45°,PA=AB.所以在Rt△PAD中,PA=AD,所以∠PDA=45°,即二面角P-CD-B的大小為45°.答案45°專題一專題二專題三專題四專題五(2)①證明因?yàn)锳E⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以AE⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AB⊥BC.又BA∩AE=A,BA,AE?平面ABE,所以BC⊥平面AEB.因?yàn)镕,H分別為BP,PC的中點(diǎn),所以FH為△PBC的中位線,所以FH∥BC,得FH⊥平面ABE,又FH?平面GHF,所以平面ABE⊥平面GHF;專題一專題二專題三專題四專題五②解因?yàn)锳E⊥平面ABCD,PD∥AE,所以PD⊥平面ABCD,又BC?平面ABCD,所以PD⊥BC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以CD⊥BC,又PD∩CD=D,PD,CD?平面PCD,所以BC⊥平面PCD,又BC?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PCD.連接DH,則DH⊥PC,因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PCD=PC,所以DH⊥平面PBC,所以∠DHG為直線GH與平面PBC所成角的余角,即θ=-∠DHG.專題一專題二專題三專題四專題五專題一專題二專題三專題四專題五專題五

幾何體的表面積與體積

例5如圖所示,在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中,E,F依次是AB,AC的中點(diǎn),AD⊥BC,EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G為垂足,若將△ABC繞AD旋轉(zhuǎn)180°,求陰影部分形成的幾何體的表面積與體積.專題一專題二專題三專題四專題五專題一