第二章隨機(jī)變量第一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五第2章

隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)變量分布函數(shù)

離散型隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布正態(tài)分布

隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

2.1.1隨機(jī)變量

(RandomVariable)為了更有效地研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象。先考察下列兩個隨機(jī)試驗的例子

例2.1

某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。

試驗結(jié)果的事件表達(dá)形式：出現(xiàn)1點；出現(xiàn)2點；出現(xiàn)3點；出現(xiàn)4點；出現(xiàn)5點；出現(xiàn)6點。如果令表示出現(xiàn)的點數(shù)，則的可能取值為

于是，試驗結(jié)果的變量表示為：“出現(xiàn)1點”；“出現(xiàn)2點”“出現(xiàn)3點”；“出現(xiàn)4點”“出現(xiàn)5點”；“出現(xiàn)6點”

§2.1隨機(jī)變量分布函數(shù)第三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.2

某人擲硬幣試驗，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。試驗結(jié)果的事件表達(dá)形式：

國徽面在上面；有字面在上面如果表示國徽面在上面，表示有字面在上面。則試驗結(jié)果的變量表示為：“國徽面在上面”“有字面在上面”特點：試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與實數(shù)建立了對應(yīng)關(guān)系，而且變量取值隨著試驗結(jié)果的變化而變化。第四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五定義1：

設(shè)是一隨機(jī)試驗，其樣本空間為，如果對于中的每一個樣本點，都有一個實數(shù)與之對應(yīng)，并且滿足：（1）是由唯一確定；（2）對任意給定的實數(shù)，集合都表示一個有概率的事件。則稱為一隨機(jī)變量(RandomVariable)。第五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

設(shè)為一個隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)，則集合是隨機(jī)事件，隨著變化，事件也會變化。這說明該事件是實變量的“函數(shù)”。

隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的變量有所不同。

（1）自變量的取值是可以在函數(shù)的定義域內(nèi)隨便指定，隨機(jī)變量的取值只能在其取值范圍內(nèi)由試驗的具體結(jié)果確定，具有偶然性；

（2）的定義域是樣本空間，值域是實數(shù)軸。

隨機(jī)變量的本質(zhì)特性是其取值具有不確定性，在未試驗之前無法確知它取哪個值。

第六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

隨機(jī)變量舉例與分類

例2.3

某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)的可能取值為。

例2.4

某個燈泡的使用壽命的可能取值為。

例2.5

一部電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)的可能取值為。

例2.6

為在區(qū)間上隨機(jī)移動的點，該點的坐標(biāo)的可能取值為。

從隨機(jī)變量取值的有限無限個，及方式的可列不可列的角度來看，隨機(jī)變量可做如下分類：第七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非連續(xù)型有限或無窮可列取值無窮且不可列取值第八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

2.1.2分布函數(shù)(DistributionFunction)隨機(jī)變量的概率分布

定義2：

能反映隨機(jī)變量取值規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為隨機(jī)變量的概率分布律，簡稱概率分布。

概率分布的常用表達(dá)方式有：分布函數(shù)（“通用型”）；概率函數(shù)或概率密度函數(shù)（“針對型”）。分布函數(shù)概念定義3：

設(shè)為隨機(jī)變量，為任意實數(shù)，則稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，其定義域為。

顯然，分布函數(shù)是一個特殊的隨機(jī)事件的概率。

是一個實函數(shù)！第九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

（1）對于任意，有（非負(fù)有界性）；

（2）（規(guī)范性）；

（3）對于任意有（非減性）；

（4）在每一點至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。若已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則對于任意有分布函數(shù)的性質(zhì)第十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.7

已知隨機(jī)變量的所有可能取值為，取各值的概率分別為，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù)并作其圖像。解：由題設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為0.30.30.4210由分布函數(shù)的定義有當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，。分布函數(shù)圖像如圖2.1所示圖2.1第十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五§

2.2離散型隨機(jī)變量及其分布

2.2.1.離散型隨機(jī)變量

定義1：如果隨機(jī)變量所有可能取值為有限或無窮可列，則該隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。定義2：設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取是，而取值的概率為，即有則稱該式為隨機(jī)變量的概率函數(shù)。其也可以用下表表達(dá)：并稱其為隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱分布列。還可以通過作圖直觀表示，稱為隨機(jī)變量的概率分布圖或概率函數(shù)圖。

第十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

圖中線的高度為取值于該點的概率值。

注意：離散型隨機(jī)變量的概率分布除用分布函數(shù)可以表示以外，還可以利用概率函數(shù)或分布列或分布圖表示，概率函數(shù)與分布列，分布圖是等效的，概率函數(shù)比分布列表示簡便，而分布圖則更直觀。第十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五概率函數(shù)的兩個基本性質(zhì):

（1）（非負(fù)性）（2）（歸一性）。

例2.8

設(shè)袋中有五個球，3個白球2個黑球。從中任取兩球，以表示取到的黑球數(shù)。求其概率函數(shù)及其概率分布函數(shù)。解：的可能取值為分別表示事件“沒有取到黑球”、“取到一個黑球”、“取到兩個黑球”，則其概率函數(shù)當(dāng)時，；

當(dāng)時，當(dāng)時，第十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，所以，的分布函數(shù)為

概率函數(shù)和分布函數(shù)用于描述隨機(jī)變量的變化規(guī)律，之間的關(guān)系為：已知概率函數(shù)求分布函數(shù)第十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.9

設(shè)隨機(jī)變量的概率函數(shù)為。

求常數(shù)的值。

解：由于

故而，

已知分布函數(shù)求概率函數(shù)第十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

2.2.2常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布引入隨機(jī)變量的概念以后，客觀世界中的許多隨機(jī)現(xiàn)象，如果拋開其所涉及的具體內(nèi)容，實質(zhì)上可以用同一個概率模型即概率分布來表達(dá)。1.等概分布設(shè)為離散型隨機(jī)變量，若其分布列為：則稱服從等概分布。該分布滿足：(1)非負(fù)性：

(2)規(guī)范性：第十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五2.兩點分布（0-1分布）

若隨機(jī)變量的分布表為其中，則稱服從參數(shù)為的兩點分布。記作。

兩點分布所能刻畫的隨機(jī)現(xiàn)象：

凡是隨機(jī)試驗只有兩個可能的結(jié)果，都可以兩點分布作為其概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負(fù)荷等等。例如，投一枚均勻的骰子，觀察向上面的點數(shù)，用表示向上面的點數(shù)，則服從的等概分布。

第十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五二項分布的概率函數(shù)就是二項式展開式中的通項（這里），所以稱之為二項分布。分布中，當(dāng)時，就是兩點分布，其概率函數(shù)為(1)非負(fù)性：則稱服從參數(shù)為的二項分布（Binomialdistribution），記為若離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為：3.二項分布

～顯然，二項分布的概率函數(shù)滿足：(2)規(guī)范性：

第十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.10

設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門課程要考，已知該學(xué)生每門課程及格的概率為0.8。試求該學(xué)生恰好有3門課及格的概率和至少有3門課及格的概率。解:設(shè)表示該學(xué)生恰好有3門課及格；表示該學(xué)生至少有3門課及格。顯然，這是一個5重貝努里概型，從而有

凡是重貝努里概型中隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布規(guī)律都可用二項分布來刻畫。第二十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.11

某保險公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因為被盜而提出來的?，F(xiàn)已知該公司某個月共收到10個索賠要求，試求其中包含4個以上被盜索賠要求的概率。解:設(shè)表示10個索賠要求中被盜索賠要求的個數(shù)，則于是，所求概率為即10各索賠要求中有4個以上被盜索賠要求的概率為0.00059通過該例題的求解，可以看出：二項分布當(dāng)參數(shù)很大，而很小時，有關(guān)概率的計算是相當(dāng)麻煩的。甚至有時借助于計算工具也難實現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項分布有關(guān)概率計算問題，1837年法國數(shù)學(xué)家S.D.Poisson提出了以下定理。第二十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五Poisson定理

設(shè)隨機(jī)變量，若時，有，則有

證明：令，于是有對于固定的有所以第二十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五有百分之一的希望就要做百分之百的努力

實際應(yīng)用中：當(dāng)較大,較小，適中時，即可用泊松定理的結(jié)果對二項概率進(jìn)行近似計算。

例2.12

某人購買彩票，每次中獎的概率為0.02，連續(xù)購買400次，求至少兩次中獎的概率。解:400次購買400重Bernoulli概型；

記為中獎的次數(shù)，則。由于，所以由Poisson定理有

第二十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

4．泊松（Poisson）分布

若隨機(jī)變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為。

若中獎的的概率為1%，連續(xù)購買400次，則該人至少中獎一次的概率為。這表明隨著實驗次數(shù)的增多，小概率事件是會發(fā)生的！顯然，泊松分布的概率函數(shù)滿足：：

(1)非負(fù)性：；

(2)規(guī)范性：第二十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五泊松分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：

服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)；交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)；礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目；

單位時間內(nèi)市級醫(yī)院急診病人數(shù)；

一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)。

特別注意:體積相對較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù)

可以由觀測值的平均值求出。第二十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五這時，如果直接計算，計算量很大。由于很大，很小，可利用泊松分布（）近似計算。解：設(shè)患有該種疾病的人數(shù)為隨機(jī)變量，則故，例2.13已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位現(xiàn)有職工5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)超過5人的概率有多大？～第二十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五（設(shè)時)(1)非負(fù)性：都是正整數(shù)，且為參數(shù)，則稱服從參數(shù)為的超幾何分布，記作。顯然，它的概率函數(shù)式滿足：設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為：

5．超幾何分布(2)規(guī)范性：第二十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五思考：幾個常見的離散型隨機(jī)變量分布的關(guān)系？第二十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)：P75習(xí)題二：1.2.3.第二十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五成立，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。Def設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在非負(fù)的可積函數(shù)，使得對任意的，有§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

2.3.1連續(xù)型隨機(jī)變量

可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)具有如下兩條基本性質(zhì)：(1)(2)

第三十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五(3)對任意給定的，；(4)在的連續(xù)點處，總有；(5)連續(xù)型隨機(jī)變量取任一點的概率始終為零，即

證明：對任意的，令，則由，有由于是連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時，有所以。第三十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五該性質(zhì)表明連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布不能用逐點取值的概率表達(dá)，而只能用概率密度來表達(dá)。由此，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，有如下的結(jié)果：設(shè)任意的實數(shù)，有第三十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五求①系數(shù)的值；②在區(qū)間內(nèi)取值的概率；③的分布函數(shù)。例2.14

設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為:解：①由概率密度函數(shù)性質(zhì)（2）知所以第三十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，；

當(dāng)時，

當(dāng)時，③由式知②從而得第三十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.15

設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求①系數(shù)；②在區(qū)間內(nèi)取值的概率；③的密度函數(shù)。解：①由，，有第三十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五解得，。

②③注意：如果隨機(jī)變量具有以上形式的密度函數(shù)，則稱服從柯西分布(Cauchydistribution)。第三十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，記為

均勻分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：“等可能”地取區(qū)間中的值。這里的“等可能”理解為：落在區(qū)間中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的；或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。這正是幾何概型的情形。

2.3.2幾個常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

1.均勻分布（UniformDistribution）第三十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五即，則對任意滿足的，總有這表明，落在的子區(qū)間上的概率，只與子區(qū)間的長度有關(guān)（成正比），而與子區(qū)間在區(qū)間中的具體位置無關(guān)。均勻分布無論在理論上還是應(yīng)用上都非常有價值。例2.16

某市規(guī)定公共汽車每隔10分鐘發(fā)一趟班車，即每隔10分鐘就要有一輛公共汽車經(jīng)過公共汽車站。一位乘客隨機(jī)地來到一個公共汽車站，問等車時間在5分鐘之內(nèi)的概率是多少？第三十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五解：設(shè)公共汽車均勻地來到車站，乘客的等車時間可以看作是區(qū)間上的均勻分布。則有

若用分布函數(shù)計算有第三十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五均勻分布的概率密度函數(shù)滿足(1)非負(fù)性：(2)規(guī)范性：其圖像為圖2.1第四十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五均勻分布的分布函數(shù)為求解過程黑板演示。第四十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

2.指數(shù)分布（ExponentialDistribution）

Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為

例2.17

設(shè)在上服從均勻分布，求方程有實根的概率。解:方程有實數(shù)根等價于，即；

所求概率為。第四十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五指數(shù)分布的概率密度函數(shù)滿足（1）非負(fù)性：；

（2）歸一性：

其圖像為：第四十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五指數(shù)分布的分布函數(shù)為：求解過程與均勻分布類似，省略。

指數(shù)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：

隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間；電話的通話時間；無線電元件的壽命；動植物的壽命。第四十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.18

設(shè)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試寫出它的密度函數(shù)并求。

解:的概率密度為

例2.19

多年統(tǒng)計經(jīng)驗表明，某廠生產(chǎn)的電視機(jī)壽命（單位：萬小時）。某人購買了一臺該廠生產(chǎn)的電視機(jī)，問其壽命超過4萬小時的概率是多少？解：所求的概率為第四十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五其中，，為參數(shù)，分別為形狀、尺度和位置參數(shù)。則稱服從威布爾分布（Weibulldistribution），記作。若連續(xù)型隨機(jī)變量具有密度函數(shù)

3．威布爾分布

第四十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)參數(shù)，時，變?yōu)闉榍懊娼榻B過的指數(shù)分布，這里參數(shù)。對于參數(shù)取不同的值，可以得出不同的曲線，其多樣性使威布爾分布的適應(yīng)性比較廣泛，在很多方面都有應(yīng)用，比如在農(nóng)林科學(xué)中可以用以描述樹高和胸徑的近似分布。第四十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

其中參數(shù)滿足，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為。

§2.4正態(tài)分布（NormalDistribution）2.4.1正態(tài)分布

Def若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為第四十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像特點：

圖像呈單峰狀；

圖像關(guān)于直線對稱；圖像在點處有拐點；圖像以軸為水平漸近線。Gauss參數(shù)對密度曲線的影響

相同不同密度曲線情況位置參數(shù)變化第四十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

相同不同密度曲線情況形狀參數(shù)變化

正態(tài)分布的密度函數(shù)滿足：（1）非負(fù)性（2）歸一性第五十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

正態(tài)分布的分布函數(shù)為其圖像是一條S型曲線，如下第五十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五正態(tài)分布所能刻畫隨機(jī)現(xiàn)象：

若隨機(jī)變量受到眾多相互獨立的隨機(jī)因素的影響，每一個別因素的影響都是微小的，而且這些影響具有加性特征則服從正態(tài)分布。例如：

各種測量的誤差；人的生理特征指標(biāo)；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們的考試成績等等。正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，體現(xiàn)在以下方面：

⑴正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機(jī)現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的。事實上如果一個隨機(jī)指標(biāo)受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機(jī)指標(biāo)一定服從或近似服從正態(tài)分布。⑵正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。⑶正態(tài)分布有許多其它分布所不具備的良好的性質(zhì)。第五十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五2.4.2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

定義：在正態(tài)分布的概率密度函數(shù)中，如果時，即若隨機(jī)變量的概率密度為

則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（StandardNormalistrution），記作

其分布函數(shù)為

第五十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)圖為：由圖可以看出，該曲線為以軸為對稱軸的單峰曲線。第五十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計算可以由分布函數(shù)與其密度函數(shù)的關(guān)系解決：

因為，所以直接查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表即可解決概率計算。

思考：一般正態(tài)分布的概率計算也可以制表解決么？為什么？

第五十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五利用查表法計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值

例2.20

設(shè)隨機(jī)變量，試求解:查表知

所以有第五十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五一般正態(tài)分布的概率計算（標(biāo)準(zhǔn)化變換）分布函數(shù)

在求解一般正態(tài)分布的概率計算問題時，先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問題，然后利用查表法可計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計算問題。第五十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五定理2.4.1

設(shè)，令，則也是一個隨機(jī)變量，且。證明：設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，概率密度函數(shù)為。由分布函數(shù)的定義知

第五十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五由此，易知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

這恰好是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，所以。這里稱變換為標(biāo)準(zhǔn)化變換。若，則的分布函數(shù)為第五十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五從而有也就是說，借助標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表即可解決一般正態(tài)分布隨機(jī)變量的概率計算問題。第六十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.21設(shè)，計算的值。解：第六十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.22若

，求的值，此處為常數(shù)。解：第六十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五由上例題可以得到，常用來作為質(zhì)量控制依據(jù)的“”準(zhǔn)則。即

據(jù)此認(rèn)為隨機(jī)變量落在之外幾乎不可能，因為其概率僅為0.26%。

第六十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

2.4.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)

雙側(cè)分位數(shù)Def設(shè)隨機(jī)變量，對于給定的，如果實數(shù)滿足，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布關(guān)于的雙側(cè)分位數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的意義如下圖所示。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的計算：由定義可知

直接查附表即可。

第六十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五統(tǒng)計中常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)有

第六十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五單側(cè)分位數(shù)設(shè)，若有滿足，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)。

設(shè)若有滿足，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)分位數(shù)。

上下側(cè)分位數(shù)的意義如下圖所示。第六十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五上側(cè)分位數(shù)下側(cè)分位數(shù)第六十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五上側(cè)分位數(shù)的計算：由定義知，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表即可得。或者可由雙側(cè)分位數(shù)與上側(cè)分位數(shù)之間的關(guān)系求得：即關(guān)于的上側(cè)分位數(shù)就等于關(guān)于的雙側(cè)分位數(shù)。下側(cè)分位數(shù)的計算：下側(cè)分位數(shù)就等于上側(cè)分位數(shù)的相反數(shù)。例如：

第六十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五一般正態(tài)分布的分位數(shù)計算：對一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量，要求的。先由

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得再由求得分位數(shù)第六十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.23某省高考采用標(biāo)準(zhǔn)化計分方法，并認(rèn)為考生成績服從正態(tài)分布。如果某一科的錄取率為30.9%，問錄取分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃定在多少分以上？解：假設(shè)錄取分?jǐn)?shù)線應(yīng)劃定在分以上，由來確定由于查正態(tài)分布表得故第七十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)：P75習(xí)題二：5.6.8.9.10.第七十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.24

已知的分布如下。求及的概率分布。

在實際問題中，不僅要研究隨機(jī)變量，往往還要研究隨機(jī)變量函數(shù)的分布。本節(jié)將討論如何由已知的隨機(jī)變量的分布，求的函數(shù)的分布。在這里，是一個已知的連續(xù)函數(shù)?！?.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布

2.5.1離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

-1012

0.20.30.10.4解

，的分布如表2.7與表2.8所示。第七十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

-20240.20.30.10.4

0140.10.70.2第七十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五這個例子給出了計算離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的一般方法，歸納起來如下：設(shè)是離散型隨機(jī)變量，概率分布如下表,是連續(xù)函數(shù)，則也是離散型隨機(jī)變量。求的概率分布步驟如下：（1）計算的函數(shù)值（2）計算相應(yīng)取值的概率，分兩種情況：第七十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五（1）用隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)表示的分布函數(shù)；（2）對的分布函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)，得的概率密度函數(shù)。

2.5.2連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的一般計算方法，即所謂的分布函數(shù)法：①若兩兩互不相同，則的概率分布為②若中有相同的取值，則將這些相同的值合并，把相應(yīng)的概率函數(shù)的取值相加，就得出的概率分布。第七十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.25設(shè)隨機(jī)變量，令，求的概率密度函數(shù)。解：設(shè)分別為隨機(jī)變量的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)，則當(dāng)時，有當(dāng)時，有又由得的概率密度函數(shù)為第七十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五通常稱上式中的服從對數(shù)正態(tài)分布（LogarithmsNormalDistribution），它是研究壽命問題常用的概率分布。第七十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.26

已知連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)是，求的概率密度函數(shù)。解：令的分布函數(shù)為，而是的分布函數(shù)，是的密度函數(shù)。由分布函數(shù)的定義有當(dāng)時，不可能成立，故，當(dāng)時，從而有第七十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五所以，的概率密度函數(shù)為

例2.27

設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，令（為任意實數(shù)），求的概率分布。第七十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時，解：設(shè)的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為，，則當(dāng)時第八十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五所以，的密度函數(shù)為

例2.28

設(shè)，即概率密度函數(shù)為求的概率分布。（2.5.1）第八十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五解：令的密度函數(shù)為，由上例的結(jié)果有顯然，服從正態(tài)分布。這一結(jié)果表明：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)分布，第八十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法還有公式法：

定理2.5.1設(shè)的密度函數(shù)為，令。如果是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，且處處可導(dǎo)。則是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為其中為的反函數(shù)。證明略。第八十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.29

設(shè)隨機(jī)變量，令。求的概率密度函數(shù)。

解：設(shè)的密度函數(shù)為。由于是嚴(yán)格的單調(diào)上升的可導(dǎo)增函數(shù)，其反函數(shù)也是嚴(yán)格單調(diào)上升的可導(dǎo)函數(shù)。從而，由上述定理知的概率密度函數(shù)為：第八十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五§2.6隨機(jī)變量的數(shù)字特征

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量

的概率分布，那么，的全部概率特征也就知道了.

然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.第八十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

2.6.1數(shù)學(xué)期望

以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均，反映了這7位同學(xué)高數(shù)成績的平均狀態(tài)。

1引例用7名學(xué)生的高數(shù)成績來考察高數(shù)的成績狀況。設(shè)某7學(xué)生的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)榈诎耸摚惨话偃?，編輯?023年，星期五分析：如果選擇另外的7名學(xué)生做同樣的考查，則會得到一組不同的頻率，由此可知頻率具有觀測的隨機(jī)波動性，用概率代替頻率，則可消除隨機(jī)波動對頻率的影響。由此得到的平均值為理論上真正的平均值，且其為確定的數(shù)值，我們稱其為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。第八十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)期望的定義定義2.6.1（離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望）

設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)為若級數(shù)絕對收斂，則稱的值為離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作。即若級數(shù)，則稱的數(shù)學(xué)期望不存在。

第八十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五定義2.6.2（連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，若積分絕對收斂，則稱的值為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，記作。即

若，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在第八十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的意義隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量所有可能取值的平均值，是隨機(jī)變量取值的最好代表。

例2.30已知隨機(jī)變量的概率分布率為求解：由離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義得

4561/41/21/4第九十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.31設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求解：由定義可得或利用奇函數(shù)的性質(zhì)

第九十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五常用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（1）兩點分布若隨機(jī)變量服從兩點分布，即其分布列為其中則（2）二項分布若，則其概率函數(shù)為第九十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

其中故所以，則第九十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五用表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，則，其中，所求期望

例2.32

某種產(chǎn)品的次品率為0.1，檢驗員每天檢驗4次，每次隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，如果發(fā)現(xiàn)其中次品數(shù)大于1，則應(yīng)調(diào)整設(shè)備。設(shè)各種產(chǎn)品是否為次品是相互獨立的，求一天中調(diào)整設(shè)備次數(shù)的期望。解：用表示10件產(chǎn)品中次品數(shù)，則，從而每次檢驗后需要調(diào)整設(shè)備的概率第九十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五（3）泊松分布若，則其概率函數(shù)為其中于是所以若，則第九十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五（4）超幾何分布若，則其概率函數(shù)為故

第九十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五所以若，則（5）均勻分布若，則其概率密度函數(shù)為于是第九十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五（6）指數(shù)分布若，則其概率密度函數(shù)為其中故

第九十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五（7）正態(tài)分布若，則其概率密度函數(shù)為

于是第九十九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五說明：

（1）計算過程中，用到兩點，一是因為被積函數(shù)是奇函數(shù)，且為關(guān)于原點對稱區(qū)間上的積分；二是（2）結(jié)果說明正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望正是它的第一個參數(shù)，即是正態(tài)隨機(jī)變量取值的中心。第一百頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五一元隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的函數(shù)（1）離散型（2）連續(xù)型第一百零一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.解：因為第一百零二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

例2.34已知的分布表如下，試求及的數(shù)學(xué)期望。解：第一百零三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五利用X的分布可求出的分布是自由度為1的卡方分布

即若，則

，且

。

例2.35

已知隨機(jī)變量

，求

的數(shù)學(xué)期望。解：由定義計算第一百零四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C；

2.若k是常數(shù)，如果隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，則的數(shù)學(xué)期望也存在，即E(kX)=kE(X)；

3.如果隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，則的數(shù)學(xué)期望也存在，即第一百零五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.36獨立地操作兩臺儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為p1+

p2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X則X的所有可能取值為0,1,2所以，產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望第一百零六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個應(yīng)用AnapplicationofExpectedValueinMedicine

考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進(jìn)行化驗。如果結(jié)果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個人再逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨立的。試問：這種分組化驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？分析：設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗次數(shù)為X，需要計算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較第一百零七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

化驗次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗次數(shù)X的分布律{X=1}=“10人都是陰性”{X=11}=“至少1人陽性”結(jié)論：分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)。注意求X期望值的步驟！問題的進(jìn)一步討論

1.概率p對是否分組的影響？2.概率p對每組人數(shù)n的影響?第一百零八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)期望在使用過程中也有不便之處，主要是由于①對于比較復(fù)雜的分布,計算上比較繁瑣；②對于有的分布，數(shù)學(xué)期望不存在；③用試驗觀測數(shù)據(jù)計算數(shù)學(xué)期望時，若試驗觀測數(shù)據(jù)中有一些離群的數(shù)據(jù)（通常是指極大、極小的極端值），而又沒有充分根據(jù)剔除它們的時候，用數(shù)學(xué)期望來代表全體數(shù)據(jù)取值的平均水平不是很理想。為此，概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，引入如下定義表達(dá)“平均值”的數(shù)字特征。第一百零九頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五中位數(shù)

定義2.6.3設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果存在實數(shù)，使得，則稱實數(shù)為隨機(jī)變量的中位數(shù)，記作：說明：直觀上，的中位數(shù)反映“取值比小及比大的可能性相等”這種意義下的“平均值”。

例2.37設(shè)，試求其中位數(shù)解：因為，故，于是

正態(tài)分布的中位數(shù)與數(shù)學(xué)期望一致。

第一百一十頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五例2.38設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求①；②。解：①首先求出密度函數(shù)由于所以不存在。

第一百一十一頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五②因為要使，即須，所以是其中位數(shù)，即第一百一十二頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)：P75習(xí)題二：11～13.17.20.21.23.第一百一十三頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五

2.6.2方差Variance

定義：設(shè)是一隨機(jī)變量，如果存在，則稱為的方差，記作或方差的計算公式

與

有相同的量綱均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）

即第一百一十四頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五引理：第一百一十五頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為f(x)方差的統(tǒng)計意義

隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量所有可能取值偏離其均值的平均偏差程度。常見隨機(jī)變量的方差第一百一十六頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五1．二點分布

由前面知識可知，而所以2．二項分布

設(shè)，由前面知識可知，而第一百一十七頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五所以第一百一十八頁，共一百三十六頁，編輯于2023年，星期五3