第二章誤差理論與數(shù)據(jù)處理第一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四§2.1隨機(jī)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量同一量值時(shí)，絕對值和符號(hào)的不可預(yù)定方式變化的誤差，該數(shù)的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，但具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。其產(chǎn)生的原因不外乎有測量裝置、環(huán)境方面、人員方面等因素所造成。第二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四二、隨機(jī)誤差的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)誤差常見的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量有均值、均方值、方差等。1、均值均值即算術(shù)平均值。（1）算術(shù)平均值的意義

在測量中，被測量的N個(gè)測得值的代數(shù)和除以N得到的值稱之為算術(shù)平均值。設(shè)n次測得值為則算術(shù)平均值為：第三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四由概率論的大數(shù)定律可知，若測量次數(shù)無限增加時(shí)，則算術(shù)平均值必然接近于真值0。設(shè)被測量的真值為，一系列測得值為，則測量列的隨機(jī)誤差為：式中，由于實(shí)際測量的次數(shù)都是有限的，我們只能用算術(shù)平均值代替被測量的真值進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)定義殘差（測量之殘余誤差）

依據(jù)算術(shù)平均值的定義計(jì)算算術(shù)平均值既煩瑣又易產(chǎn)生錯(cuò)誤，可用下列簡便方法計(jì)算：第四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四任選一個(gè)接近所有測量值的數(shù)(稱為中數(shù))作為參考值，計(jì)算每個(gè)測得值與中數(shù)的差值因則當(dāng)取值合適時(shí)因前后相減而變得好計(jì)算。第五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（2）計(jì)算校核算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用殘余誤差代數(shù)和性質(zhì)進(jìn)行校核。因于是殘余誤差代數(shù)和為零的性質(zhì)可作為校核算術(shù)平均值及其殘余誤差計(jì)算是否正確的依據(jù)。第六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四

但是由于存在有效數(shù)字舍入的情況，實(shí)際得到的可能是經(jīng)過湊整的非準(zhǔn)確數(shù)，存在舍入誤差即

舍前值舍后值第七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四規(guī)則一當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)：

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)：

式中的A為實(shí)際求得的算術(shù)平均值末位數(shù)的一個(gè)單位。第八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四規(guī)則二（1）當(dāng)，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為零；（2）當(dāng)，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為正，其大小為求時(shí)的余數(shù)；（3）當(dāng)，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為負(fù)，其大小為求時(shí)的虧數(shù)；第九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四2、方差（1）定義：方差一般也稱之為標(biāo)準(zhǔn)差，這里計(jì)算單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差。在等精度測量中，單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差按下列公式計(jì)算：

第十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四實(shí)際上真值一般情況下是未知，在有限次測量下，用殘余誤差代替隨機(jī)誤差可得到標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值：第十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四該證明如下：（一）構(gòu)建殘余誤差與隨機(jī)誤差之間的關(guān)系：（二）隨機(jī)誤差一次方與二次方的和式公式：第十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（三）求平均值誤差平方和的公式：（四）展開隨機(jī)誤差平方和公式：第十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（2）測量列算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是算術(shù)平均值作為測量結(jié)果后其不可靠性的評定標(biāo)準(zhǔn)。也可用于表示同一被測量的多個(gè)獨(dú)立測量列算術(shù)平均值的分散性的參數(shù)。因?yàn)楦鱾€(gè)獨(dú)立測量列的算術(shù)平均值由于隨機(jī)誤差的存在也不可能相等，必在真值的上下有一定的分散。第十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四算術(shù)平均數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)差公式推導(dǎo)第十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四結(jié)論在n次測量的等精度測量中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是單次測量標(biāo)準(zhǔn)差，，。但也不是n越大越好，因?yàn)橐鲚^大的勞動(dòng)，而且難保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差。一般情況下去n=10為宜。標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算還有別捷爾斯法，極差法，最大誤差法等。第十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四

（4）別捷爾斯（Peters）法第十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（4）極差法等精度多次測量被測值服從正態(tài)分布，在其中選取最大值與最小值，則兩者之差稱為極差：標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)：極差法可迅速算出標(biāo)準(zhǔn)差，并且有一定精度，一般在n<10均可采用，不象Bessel或Peters法那樣求算術(shù)平均值，殘余誤差那么麻煩。第十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（4）最大誤差法

當(dāng)多個(gè)獨(dú)立測量值服從正態(tài)分布時(shí)，可用下式求得的標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計(jì)：

最大誤差法簡單、迅速、方便，且n<10時(shí)，該法具有一定精度。在代價(jià)較高的破壞性實(shí)驗(yàn)中一般只容許進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)，且需估計(jì)精度情形下，則該法則特別有用。第十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四3．不等精度測量上述都是等精度測量問題，一般測量實(shí)踐中基本都屬于這種類型。為了得到更為精確的測量結(jié)果，我們便會(huì)遇到不等精度測量問題：（一）不同的測量條件；（二）不同的測量儀器；（三）不同的測量方法；（四）不同的測量人員（五）不同的測量次數(shù)。第二十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四測量次數(shù)的不等精度測量問題不同的測量次數(shù)的不等精度測量問題是比較常見的。定義：即在相同的測量條件，同一個(gè)測量者使用相同的測量儀器和測量方法對同一測量量進(jìn)行了多組的測量。如何求得最后的測量結(jié)果及精度？第二十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（1）權(quán)的概念在等精度測量中，各個(gè)測得值認(rèn)為同樣可靠，既具有相同的權(quán)。在不等精度測量中，如不同的測量次數(shù)，各組的平均值的可靠精度不一樣，最終的結(jié)果不能簡單地表示為算術(shù)平均值的形式：而應(yīng)將可靠程度大的測量結(jié)果在最后的結(jié)果中所占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小一些。第二十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四權(quán)的定義各測量結(jié)果可靠程度用一數(shù)值表示出來，即可靠程度大一些的，數(shù)值大一些，用P表示，這就是權(quán)的概念。第二十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（2）權(quán)的確定方法★不同的測量條件：測量條件好的，權(quán)高；測量條件差的，權(quán)低。★不同的測量儀器：精度高的儀器，權(quán)高；精度低的，權(quán)低?！锊煌臏y量方法：測量方法完善的，權(quán)高；測量方法低劣的，權(quán)低。★不同的測量人員：經(jīng)驗(yàn)豐富的，權(quán)高；新手，權(quán)低。第二十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四這些權(quán)的確定，都基于權(quán)代表的數(shù)值的可靠程度這一原則。不同測量次數(shù)的不等精度測量是我們的研究重點(diǎn)。因單次測量精度皆相同，其標(biāo)準(zhǔn)差均為，第i組的權(quán)用表示第二十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四權(quán)與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系第二十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四結(jié)論每組測量結(jié)果的權(quán)與其相應(yīng)的平均值的方差成反比。第二十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四權(quán)的計(jì)算將各組的權(quán)予以約簡，用簡單的數(shù)值來表示各組的權(quán)，如設(shè)，則，則第二十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（3）加權(quán)算術(shù)平均值第二十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四等精度測量是不等精度測量的特例各組的權(quán)相等時(shí)，，可見不等精度測量是等精度測量的特例。第三十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（4）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差當(dāng)單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差可知時(shí)：全部測得值的算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：

第三十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四為什么要權(quán)單位化？當(dāng)不可知時(shí)，各組測量結(jié)果的殘余誤差為。因該殘余誤差是不等精度的測量列，其權(quán)不一致，為此需使得其權(quán)位單位化。第三十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四單位權(quán)化的定義單位權(quán)化的實(shí)質(zhì)就是使任何一個(gè)量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根，得到新的量值權(quán)數(shù)為1。第三十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四證明：第三十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四已知各組測量結(jié)果的殘余誤差為：單位權(quán)化可得：

已成為等精度測量列，也成為等精度測量列，將代入等精度測量列求標(biāo)準(zhǔn)查的公式中，就有

第三十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四例子：工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為：999.9425mm（三次測量），999.9416mm（兩次測量），999.9419mm（五次測量），求最后測量結(jié)果及標(biāo)準(zhǔn)查。解：

測量結(jié)果為：第三十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四三、隨機(jī)誤差的幾種分布隨機(jī)誤差的分布中，最常見的是正態(tài)分布，還有均勻分布、三角形分布、分布、分布、分布等。1、正態(tài)分布測量列的隨機(jī)誤差滿足下列四個(gè)條件的概率分布，稱之為正態(tài)分布，也稱高斯（Gauss）分布。第三十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四高斯公布的四個(gè)特點(diǎn)對稱性：正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)在絕對值相等時(shí)一樣。單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。有界性：在一定測量條件下，隨機(jī)誤差的絕對值不會(huì)超過一定界限。抵償性：隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值更加趨于零。第三十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四正態(tài)分布的密度與分布函數(shù)分別為：

正態(tài)分布曲線第三十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四該分布的數(shù)字期望（均值）為：該分布的均方差（方差）為：第四十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四標(biāo)準(zhǔn)差的討論由圖可見，，，曲線變高，反之低些?？梢?，標(biāo)準(zhǔn)差小，該測量列相應(yīng)小的誤差就有優(yōu)勢，任意單次測量對算術(shù)平均值的分散度就小，測量數(shù)據(jù)的可靠性就大，精度高，反之，亦然?？梢妴未螠y量的標(biāo)準(zhǔn)差是表征同一被測量的測得值的分散性的參數(shù)。第四十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四2、均勻分布該分布的主要特點(diǎn)是：誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，又稱之為矩形分布或等概率分布。典型的有數(shù)字式儀表在±1單位以內(nèi)不能分辨的誤差，數(shù)據(jù)計(jì)算中的舍入誤差等，儀器度盤刻度誤差所引起的誤差等。第四十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四均勻分布的分布密度的分布函數(shù)分別為：均勻分布曲線第四十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四其數(shù)學(xué)期望（均值）為：方差為：第四十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四3、分布令為個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量，每個(gè)隨機(jī)變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義新的隨機(jī)變量：

隨機(jī)變量稱為自由度為的方變量。第四十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四的分布密度如圖所示：卡方分布曲線第四十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四它的數(shù)字期望為：方差為：

分布是分布和分布的基礎(chǔ)，當(dāng)逐漸增大時(shí)，分布函數(shù)逐漸對稱，且趨近正態(tài)曲線。第四十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四4.分布令為自由度為的分布，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，且獨(dú)立，定義新的隨機(jī)變量：

為自由度。

第四十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四分布的密度函數(shù)為（如圖所示）分布曲線第四十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四它的數(shù)字期望為：方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為該分布當(dāng)時(shí)分布曲線趨近于正態(tài)分布。當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時(shí)，極限誤差的估計(jì)或者在檢驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時(shí)經(jīng)常用到。第五十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四5、分布設(shè)隨機(jī)誤差與相互獨(dú)立，且構(gòu)造隨機(jī)變量：則稱為自由度是（，）的分布，為第一自由度，為第二自由度。第五十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四分布的分布密度為：分布曲線第五十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四分布的數(shù)字期望方差為

第五十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四四、測量的極限誤差設(shè)測量列的測量次數(shù)足夠多且單次測量誤差滿足正態(tài)分布，測量的極限誤差就是測量結(jié)果（含單次測量和算術(shù)平均值）的誤差不超過對應(yīng)概率的誤差區(qū)間的誤差。第五十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四對于單次測量，我們知道隨機(jī)誤差在范圍內(nèi)的概率為：令，有

為N（0，1）的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率積分，由查表可知。第五十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)t=3時(shí)，即=時(shí)，在370次測量中，只有一次誤差絕對值超出范圍，由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認(rèn)為絕對值大于的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個(gè)誤差稱為單次測量的極限誤差，即：。第五十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)t=3時(shí)，對應(yīng)的概率為99.73%，如圖所示t=3時(shí)，大概370次有一次測量結(jié)果在區(qū)間之外第五十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四極限誤差的求法：對于單次測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差，給定置信系數(shù)t，則可由，求得極限誤差。對應(yīng)于多次測量列的算術(shù)平均值，設(shè)其滿足正態(tài)分布，設(shè)t為置信系數(shù)，同樣可使多次測量列的算術(shù)平均值的極限誤差為：。第五十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四對應(yīng)于t分布，同樣可使其極限差，為置信系數(shù)。為超出極限誤差的概率（顯著水平）通常取。（測量次數(shù)較少時(shí)，正態(tài)分布應(yīng)視之為“學(xué)生氏分布”或t分布。）第五十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四例2.9中，應(yīng)注意，按照公式求出算術(shù)平均值；標(biāo)準(zhǔn)差，后，當(dāng)較小時(shí)（次），則應(yīng)按“學(xué)生氏”分布對待之，一般令置信概率為，查表時(shí)應(yīng)代入查。而正態(tài)分布得，。從而相差很大。第六十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四§2.2系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的特征是在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一樣，同時(shí)存在于測量結(jié)果中，但與隨機(jī)誤差的不同的是系統(tǒng)誤差不易被發(fā)現(xiàn)，同時(shí)多次重復(fù)測量不可能將系統(tǒng)誤差剔除掉，這種潛伏性使得系統(tǒng)誤差更具危險(xiǎn)性，因此，研究系統(tǒng)誤差的特征與規(guī)律性，用一定方法發(fā)現(xiàn)和減小或消除系統(tǒng)誤差就顯得十分重要。第六十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四一、系統(tǒng)誤差的特征從系統(tǒng)誤差的定義看，系統(tǒng)誤差即是服從某一確定規(guī)律的誤差，這樣確定性規(guī)律一般分為不變、線性、周期性和復(fù)雜規(guī)律第六十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（一）不變的系統(tǒng)誤差即在整個(gè)測量過程中，誤差符號(hào)和大小固定不變的系統(tǒng)誤差，如量塊的公稱尺寸為10mm，實(shí)際尺寸為10.001mm，誤差為-0.001mm，若按公稱尺寸使用，存在-0.001mm的系統(tǒng)誤差。第六十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四隨機(jī)誤差和不變系統(tǒng)誤差同時(shí)存在是被測量的真實(shí)值，為固定系統(tǒng)誤差，為正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，為極限誤差之范圍。第六十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（二）線性變化的系統(tǒng)誤差即在整個(gè)測量過程中，隨著測量值或時(shí)間的變化，誤差值成比例地增大或減小。如固定誤差為1mm的標(biāo)準(zhǔn)刻尺，由于存在刻劃誤差，每一刻度間距實(shí)際為(1+/mm)mm，若用它與另一長度比較，得到的比值為K，則被測長度的實(shí)際值為L=K（1+/mm)mm。第六十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（三）周期性系統(tǒng)誤差

即在整個(gè)測量過程中，若隨著測量值的或時(shí)間的變化，誤差是按周期性規(guī)律變化的，稱為周期性變化的系統(tǒng)誤差。如儀表指針的回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有偏心值e，則指針在任一轉(zhuǎn)角引起的讀數(shù)誤差即為周期系統(tǒng)誤差。此誤差變化規(guī)律符合正弦曲線，指針在和時(shí)誤差為零，而在和時(shí)誤差最大，誤差為。第六十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四第六十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（四）復(fù)雜規(guī)律的系統(tǒng)誤差即在某個(gè)測量過程中，若誤差是按確定的且復(fù)雜的規(guī)律變化的。如微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力矩不能嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差等第六十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四二、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)為了消除或減少系統(tǒng)誤差，首先碰到的問題是如何發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差必須根據(jù)具體測量過程和測量儀器進(jìn)行全面的仔細(xì)的分析，這是一件困難而又復(fù)雜的工作，目前還沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法，下面只介紹適用與發(fā)現(xiàn)某些系統(tǒng)誤差常用的幾種方法。第六十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（一）實(shí)驗(yàn)對比法

即改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進(jìn)行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。只能發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。如用高一精度的量塊測量同一長度。第七十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（二）殘余誤差觀察法即根據(jù)測量列的各個(gè)殘余誤差大小和符號(hào)的變化規(guī)律，直接給出誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差，這種方法主要適用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。理論依據(jù)如下：設(shè)測量列的系統(tǒng)誤差為，不含系統(tǒng)誤差之值為：，則有：對應(yīng)的算術(shù)平均值為：又，則有設(shè)系統(tǒng)誤差顯著大于隨機(jī)誤差，可忽略，則。第七十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四此式表明任一測量值的殘余誤差為系統(tǒng)誤差與測量列系統(tǒng)誤差平均值之差。該式表明對不變的系統(tǒng)，=0，與不存在系統(tǒng)誤差的隨機(jī)測量列一樣，對測量列的殘余誤差作圖即如下圖所示的情況。a)表示無不變外的系統(tǒng)誤差b)表示存在線性系統(tǒng)誤差第七十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四c)表示含周期性系統(tǒng)誤差

d)表示b)+c)的情形第七十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（三）殘余誤差校核法1.用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差設(shè)測量列有n個(gè)數(shù)據(jù)，取（n為偶數(shù)）或（n為奇數(shù)）足夠大時(shí)，，則顯著不為零時(shí)，有理由認(rèn)為測量列存在系統(tǒng)誤差，又稱馬利科夫準(zhǔn)則，但是=0，不能說明測量列不存在系統(tǒng)誤差，因?yàn)闇y量列誤差相對中心點(diǎn)對稱時(shí)，=0，但存在系統(tǒng)誤差（線性的）。第七十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四2.用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差設(shè)測量列殘余誤差排列為統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則判斷為：當(dāng)時(shí)，認(rèn)為測量列中含有系統(tǒng)誤差（周期性的）。第七十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（四）不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法依據(jù)：對等精度測量,可用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差,通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。作法：按Bessel分式：按Peters公式：取：若：則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。第七十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（五）計(jì)算數(shù)據(jù)比較法依據(jù)：對同一量進(jìn)行多組測量，各組間的數(shù)據(jù)相減，當(dāng)結(jié)果滿足隨機(jī)誤差條件，可認(rèn)為不存在系統(tǒng)誤差。作法：測得m組，其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差排列如下：取其標(biāo)準(zhǔn)差為若，則不存在系統(tǒng)誤差。如著名的雪萊實(shí)驗(yàn)：化學(xué)法制氮：，大氣中提取氮：，因：。此揭示出兩種方法的本質(zhì)區(qū)別，仍在于空氣中存在惰性氣體。第七十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（六）秩和檢驗(yàn)法作法：獨(dú)立測得兩組數(shù)據(jù)為：

將它們混合在一起，按大小順序重新排列，取測得數(shù)據(jù)較少的一組，依次數(shù)出它們在混合列中的序號(hào)，相加之，即得秩和。當(dāng)，查頁的秩和檢驗(yàn)表。設(shè)，，如滿足，則認(rèn)為兩組之間不存在系統(tǒng)誤差。當(dāng)，秩和近似服從正態(tài)分布。

第七十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四這時(shí)將秩和代入極限誤差公式：算出。選取概率，由正態(tài)分布積分表查詢，若，則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。

注意：

若兩組數(shù)據(jù)中有相同的數(shù)據(jù)，排序時(shí)應(yīng)錯(cuò)開排列，該數(shù)據(jù)的秩按排列的兩個(gè)次序的平均值計(jì)算。若相同數(shù)據(jù)排在同一組中，也應(yīng)錯(cuò)開排列，秩的計(jì)算同相異的數(shù)。第七十九頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（七）t檢驗(yàn)法作法：獨(dú)立測得兩組數(shù)，令變量此變量服從自由度為的t分布。取顯著度，由t分布查表，得表中的，若實(shí)測數(shù)列中算出之，則無根據(jù)懷疑兩組間有系統(tǒng)誤差。第八十頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四前四種方法用于測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，后三種方法用于發(fā)現(xiàn)各組測量列之間的系統(tǒng)誤差。各種方法具有不同之特點(diǎn)，必須根據(jù)具體的測量儀器和測量過程選用相應(yīng)的方法。如實(shí)驗(yàn)比對法要需較高的儀表作比對，殘余誤差觀察法則發(fā)現(xiàn)不了不變的系統(tǒng)誤差。第八十一頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四三、系統(tǒng)誤差的減小和消除減小和消除系統(tǒng)誤差和具體的測量對象、測量方法、測量人員有關(guān)，沒有統(tǒng)一的方法。這里介紹最基本的方法和適用與各種系統(tǒng)誤差的特殊方法。（一）從產(chǎn)生誤差的根源上消除系統(tǒng)誤差這是最基本的方法，要求測量人員對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各個(gè)環(huán)節(jié)作認(rèn)真的分析，進(jìn)而消除之，如經(jīng)常調(diào)整零點(diǎn)、儀器經(jīng)常定期檢定等，一般一年一次。第八十二頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（二）用修正方法消除系統(tǒng)誤差這種方法是先將測量儀器（表）的系統(tǒng)誤差檢定出來，做出誤差或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同而符號(hào)相反的值作為修正值，將實(shí)際測得值加上相應(yīng)的修正值，即可得到不包含該系統(tǒng)誤差的測量結(jié)果。即測量結(jié)果=實(shí)測值+修正值第八十三頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（三）不變系統(tǒng)誤差消除法1.代替法該法實(shí)質(zhì)即是在測量上對被測量測量后不改變測量條件，立即用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量代替被測量，放在測量裝置上再次進(jìn)行測量，從而求出被測量與標(biāo)準(zhǔn)量的差值，即：被測量=標(biāo)準(zhǔn)量+差值第八十四頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四如在等臂天平上稱重，被測重量X先與媒介物重量Q平衡，如天平的兩臂長有誤差，設(shè)長度為，，則移去X，用已知質(zhì)量P為標(biāo)準(zhǔn)砝碼代替，重新平衡后有：則

若不能平衡，讀出差值，從而第八十五頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四2.交換法該法是根據(jù)誤差產(chǎn)生原因，將某些條件交換，以消除系統(tǒng)誤差，如上列條件已知X，P交換位置后，才能平衡，即則取第八十六頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（四）線性系統(tǒng)誤差消除法對稱法是有效消除線性誤差的有效誤差之一。其原因如圖所示，設(shè)某系統(tǒng)誤差隨時(shí)間或被測量成線性誤差。取對稱點(diǎn)作基準(zhǔn)，如圖的三點(diǎn)，這時(shí)：從而將系統(tǒng)誤差的線性誤差消除成不變的系統(tǒng)誤差。第八十七頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四（五）周期性系統(tǒng)誤差的消除法—半周期法對周期性誤差，可以相隔半個(gè)周期進(jìn)行兩次測量，取兩次讀數(shù)平均值，即可有效地消除系統(tǒng)誤差。理由如下：設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)：令則第八十八頁，共九十八頁，編輯于2023年，星期四§2.3粗大誤差超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差，粗大誤差原因不外乎測量