PAGE1PAGE33.1.1兩角和與差的余弦【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.利用向量的數(shù)量積去發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式2.靈活正反使用兩角差的余弦3.通過求兩個向量的夾角，發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦，培養(yǎng)融會貫通的能力【重點和難點】教學(xué)重點：靈活應(yīng)用兩角差的公式解決問題教學(xué)難點：兩角差的余弦的推導(dǎo)以及靈活運用【學(xué)前預(yù)習(xí)】[情境導(dǎo)學(xué)]我們已經(jīng)知道cos45°＝eq\f(\r(2),2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，由此我們能否得到cos15°＝cos(45°－30°)＝？大家可以猜想，是不是等于cos45°－cos30°呢？根據(jù)我們在第一章所學(xué)的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式.【課堂探究案】復(fù)習(xí)：獨立思考以下問題：(1)向量的數(shù)量積則(2)單位圓上的點的坐標(biāo)表示由圖可知：(),()則問題1：問題2：由出發(fā)，你能推廣到對任意的兩個角都成立嗎？探究一：兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)思考如圖，以坐標(biāo)原點為中心，作單位圓，以O(shè)x為始邊作角α與β，設(shè)它們的終邊分別與單位圓相交于點P，Q，請回答下列問題：(1)P點坐標(biāo)是(，)，向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝(，)，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝.Q點坐標(biāo)是(，)，向量eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(，)，|eq\o(OQ,\s\up6(→))|＝.(2)當(dāng)α為鈍角，β為銳角時，α－β和向量eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))的夾角〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))〉之間的關(guān)系是：α－β＝；當(dāng)α為銳角，β為鈍角時，α－β和向量eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))的夾角〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))〉之間的關(guān)系是：α－β＝；當(dāng)α，β均為任意角時，α－β和〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))〉的關(guān)系是：α－β＝。(3)向量eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))的數(shù)量積eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝＝；另一方面，eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OQ,\s\up6(→))的數(shù)量積用點坐標(biāo)形式表示：eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝＝；從而，對任意角α，β均有cos(α－β)＝思考：，對于任意的角都成立嗎？正因為α、β的任意性，所以賦予C(α-β)公式的強(qiáng)大生命力探究二：兩角和的余弦公式（學(xué)生回答）根據(jù)兩角差的余弦公式，你可以猜猜探究三：互相交流，小組活動公式應(yīng)用闖關(guān)第一關(guān)：小試身手請用特殊角分別代替公式中α、β，你能求哪些非特殊角的值呢？（選擇的特殊角可以是30°60°45°等）第二關(guān)：再接再厲若β固定，分別用代替α，你將會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？第三關(guān)：各顯神通倘若讓你對C(α±β)公式中的α、β自由賦值，你又將發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論呢？例1．利用和、差角余弦公式求cos75°、cos15°的值.變式1在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，則△ABC一定為()A.等邊三角形B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形例2.化簡:變式2.化簡:例3：知，求的值。變式3.【即時訓(xùn)練】1.求值：(1).cos105°(2).cos215°-sin215°2.化簡求值eq\f(2cos10°－sin20°,cos20°)＝________.3.已知△ABC中，sinC＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(2,3)，求cosA.【隨堂練習(xí)】1.cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),3)2.已知銳角α、β滿足sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，求α＋β.【課后鞏固】1.化簡：cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)得()A.eq\f(1,2)B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(\r(3),2)2.計算：cos70°cos335°＋sin110°sin25°的結(jié)果是()A.1B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,2)3.已知點A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.14.若sin(π＋θ)＝－eq\f(3,5)，θ是第二象限角，＝－eq\f(2\r(5),5)，φ是第三象限角,則cos(θ－φ)的值是()A.－eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(11\r(5),25)D.eq\r(5)5.若cos(α－β)＝eq\f(1,3)，則(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝.6.已知cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，sinα－sinβ＝－eq\f(1,3)，求cos(α－β).7.已知，求的值.【課堂小結(jié)】該節(jié)課你的收獲：<<兩角和與差的余弦>>學(xué)情分析本課時授課對象是對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求渴望的高一學(xué)生，他們已經(jīng)掌握了任意角的三角函數(shù)和向量的相關(guān)知識，但獨立地利用向量的方法來推導(dǎo)公式存在困難。根據(jù)學(xué)生已有的知識儲備和心理特征，確定學(xué)法為：引導(dǎo)探究、小組討論、合作交流。在將這一節(jié)課的時候，高一年級的學(xué)生已經(jīng)掌握了向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運算，將式子適當(dāng)變形可以得到兩角差的余項公式，再利用學(xué)生已經(jīng)掌握的誘導(dǎo)公式可以得出兩角和的余項公式。該節(jié)課就會變得順理成章。該節(jié)課的學(xué)生在上一章學(xué)習(xí)的向量和前面的誘導(dǎo)公式都為這一節(jié)的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。<<兩角和與差的余弦>>效果分析該節(jié)課總體來講,效果還可以主要體現(xiàn)在下面兩點上:（1）注意優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)。①教材說明：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以掌握兩角和（差）的余弦公式，可以正確運用這些公式進(jìn)行簡單三角式的化解、求值與恒等式證明；本小節(jié)首先通過向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，用這一公式推出余弦和角公式，以此為基礎(chǔ)，又推出余弦差角公式。在推導(dǎo)過程中，α從銳角推廣到了任意角，然后介紹了和（差）角公式的初步應(yīng)用；重點是余弦和（差）角公式，它是其余和（差）角公式及倍角公式的基礎(chǔ)；余弦和角公式推導(dǎo)是一個難點，公式的綜合運用是另一個難點。②根據(jù)以上分析：為突出教學(xué)重點，順利完成教學(xué)任務(wù)，在備課中，把“90°±α”誘導(dǎo)公式的結(jié)論及應(yīng)用提到前面教學(xué)中完成；為克服推導(dǎo)余弦和角公式的難點，以“先行組織者”為設(shè)計原則，做好鋪墊，為新的學(xué)習(xí)任務(wù)提供觀念上的固定點，提醒學(xué)生已有知識和即將學(xué)習(xí)的新材料之間的關(guān)系,以促進(jìn)類屬性的學(xué)習(xí);為克服公式綜合應(yīng)用這一難點，除講清公式的特點和用途外，采用“變式訓(xùn)練”，進(jìn)行思維與逆向思維的訓(xùn)練和綜合練習(xí)。（2）注重體現(xiàn)若干教學(xué)原則。本節(jié)課實施過程中，想主要體現(xiàn)以下等幾個課堂教學(xué)原則：①暴露過程原則：數(shù)學(xué)是思維活動的過程，在數(shù)學(xué)中揭露數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展過程，有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展。②自主活動原則：教學(xué)活動應(yīng)是學(xué)生主動獲取知識的實踐活動，學(xué)生應(yīng)自己動腦、動口、動手主動去獲取知識。這樣有利于學(xué)生對知識的牢固掌握，還有利于培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和熱愛探索的學(xué)習(xí)精神。③反饋調(diào)控原則：一個成功的教學(xué)過程應(yīng)具備可控型，而對過程的調(diào)控有賴于反饋的信息。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，通過多項反饋，及時調(diào)控，使“反饋——調(diào)控”貫穿始終。<<兩角和與差的余弦>>教材分析1、教材的地位和作用

本節(jié)課的內(nèi)容具有承上、啟下的作用。它是前面所學(xué)的任意角的三角函數(shù)和誘導(dǎo)公式等知識的延伸，同時又是兩角和與差的正弦、正切和二倍角公式的基礎(chǔ)。對于三角變換、三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明等問題的解決有重要的支撐作用。

2、目標(biāo)分析

（1）知識目標(biāo)：使學(xué)生理解兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)，并能初步應(yīng)用它們進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值及恒等式證明。

（2）能力目標(biāo)：

①經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，體會向量和三角函數(shù)間的聯(lián)系，感受特殊到一般和數(shù)形結(jié)合的思想。

②在余弦和角公式和誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程中體會角的代換思想。

（3）情感目標(biāo)：

①讓學(xué)生在公式的推導(dǎo)和運用過程中體驗成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生不怕困難，勇于探索的求知精神。

②通過觀察、對比體會公式的對稱美、思維的和諧美，給學(xué)生以美的陶冶。

3、教學(xué)重點與難點

教學(xué)重點：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

教學(xué)難點：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)。

設(shè)計意圖：由于“兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及應(yīng)用”對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定性的意義，因此它是本節(jié)課的一個重點。由于“兩角差的余弦公式的推導(dǎo)”需要構(gòu)造向量來解決，所以它是本節(jié)課的一個難點<<兩角和與差的余弦>>評測練習(xí)一、選擇題：1．.若cosα＝a，sinβ=b，且α∈（0，），β∈（0，π），則cos（α+β）的值的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.42.△ABC中，cosA=且cosB=，則cosC等于()A.－ B. C.－ D.3.已知△ABC中，sinA·sinB＜cosA·cosB，則此三角形外心位于它的()A.內(nèi)部 B.外部C.一邊上 D.不同于以上結(jié)論4．已知在△ABC中，滿足tanAtanB＞1，則這個三角形一定是()A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形二、解答題5.求cos80°cos35°+cos10°cos55°的值.（，2π），求cos2α、cos2β的值.<<兩角和與差的余弦>>教學(xué)反思進(jìn)行教學(xué)反思是必要的，這是發(fā)展和提高教學(xué)能力的重要手段。下面就“兩角和與差的余弦”教學(xué)談?wù)剛€人的一些思考和體會。一、反思部分1．關(guān)于本課教學(xué)目標(biāo)的反思《兩角和與差的余弦》是《三角恒等變換》一章中的重要內(nèi)容。本課采用探究式教學(xué)模式，注重教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)評價相聯(lián)系；在認(rèn)知目標(biāo)上，強(qiáng)調(diào)對公式的推理、構(gòu)成、特征的掌握；在能力目標(biāo)上強(qiáng)調(diào)將公式簡單應(yīng)用于一些數(shù)學(xué)問題解決中，提高學(xué)生解決問題的能力；在智育目標(biāo)上，強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化內(nèi)在價值的體驗，注意認(rèn)識、能力、情感目標(biāo)的協(xié)調(diào)銜接，在探究中品嘗成功的滋味，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心和毅力。2．關(guān)于本課教學(xué)設(shè)計的反思（1）注意優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)。①教材說明：通過本小節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以掌握兩角和（差）的余弦公式，可以正確運用這些公式進(jìn)行簡單三角式的化解、求值與恒等式證明；本小節(jié)首先通過向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，用這一公式推出余弦和角公式，以此為基礎(chǔ)，又推出余弦差角公式。在推導(dǎo)過程中，α從銳角推廣到了任意角，然后介紹了和（差）角公式的初步應(yīng)用；重點是余弦和（差）角公式，它是其余和（差）角公式及倍角公式的基礎(chǔ)；余弦和角公式推導(dǎo)是一個難點，公式的綜合運用是另一個難點。②根據(jù)以上分析：為突出教學(xué)重點，順利完成教學(xué)任務(wù)，在備課中，把“90°±α”誘導(dǎo)公式的結(jié)論及應(yīng)用提到前面教學(xué)中完成；為克服推導(dǎo)余弦和角公式的難點，以“先行組織者”為設(shè)計原則，做好鋪墊，為新的學(xué)習(xí)任務(wù)提供觀念上的固定點，提醒學(xué)生已有知識和即將學(xué)習(xí)的新材料之間的關(guān)系,以促進(jìn)類屬性的學(xué)習(xí);為克服公式綜合應(yīng)用這一難點，除講清公式的特點和用途外，采用“變式訓(xùn)練”，進(jìn)行思維與逆向思維的訓(xùn)練和綜合練習(xí)。（2）注重體現(xiàn)若干教學(xué)原則。本節(jié)課實施過程中，想主要體現(xiàn)以下等幾個課堂教學(xué)原則：①暴露過程原則：數(shù)學(xué)是思維活動的過程，在數(shù)學(xué)中揭露數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展過程，有利于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展。②自主活動原則：教學(xué)活動應(yīng)是學(xué)生主動獲取知識的實踐活動，學(xué)生應(yīng)自己動腦、動口、動手主動去獲取知識。這樣有利于學(xué)生對知識的牢固掌握，還有利于培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和熱愛探索的學(xué)習(xí)精神。③反饋調(diào)控原則：一個成功的教學(xué)過程應(yīng)具備可控型，而對過程的調(diào)控有賴于反饋的信息。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)依據(jù)教學(xué)目標(biāo)，通過多項反饋，及時調(diào)控，使“反饋——調(diào)控”貫穿始終。3．關(guān)于本課教學(xué)特點的反思（1）充分體現(xiàn)“在教學(xué)中，教師其主導(dǎo)作用，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體”。把“學(xué)生為主，教師為輔”的教學(xué)指導(dǎo)原則落到實處。（2）面向全體，抓好雙基。注重采用典型的例子，逐層遞進(jìn)，使學(xué)生的思維始終處在活躍狀態(tài)。重議練，重分析，適時總結(jié)解題方法。（3）教學(xué)語言清楚準(zhǔn)確、易懂、易明了，富有表達(dá)力度。二、實踐與啟示1.教學(xué)效果小結(jié)教學(xué)目的a.教學(xué)目標(biāo)具體、明確、符合大綱、教材和學(xué)生實際。b.教學(xué)目標(biāo)達(dá)成意識強(qiáng)，貫穿教學(xué)過程始終重點和難點的提出與處理雖抓住了關(guān)鍵，但處理中略有不得當(dāng)之處，不能以簡駕繁，雖所教知識準(zhǔn)確，但學(xué)生接受有點費力。教學(xué)程序a.教學(xué)思路清晰，教學(xué)密度在設(shè)計時合理。b.面向全體，傳授知識的量和訓(xùn)練能力的度適中，突出重點。c.體現(xiàn)知識形成過程，結(jié)論由學(xué)生自悟與發(fā)現(xiàn)a.課堂結(jié)構(gòu)略有松散，有前松后緊的感覺。b.雖給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會，讓他們主動參與，主動發(fā)展，但教師的講述多了一些，還宜放手，增強(qiáng)學(xué)生主體參與的力度。教學(xué)方法a.精講精練，體現(xiàn)思維訓(xùn)練為重點，落實“雙基”。b.符合教材，學(xué)生和教師實際。a.教學(xué)信息多項交流過程中，會略反饋，注重于預(yù)定的方案，教法欠靈活。b.運用現(xiàn)代技術(shù)輔助教學(xué)不夠突出其他a.教學(xué)民主，師生平等，教態(tài)親切、自然。b.用普通話教學(xué)，語言規(guī)范簡潔，生動形象。c.板書工整、層次清楚。a.教學(xué)語言缺少一定的激情，節(jié)奏較平淡。b.受開課影響，課堂氣氛不太活躍，學(xué)生有一定負(fù)擔(dān)，教師調(diào)控課堂能力仍需加強(qiáng)2.探索與啟示（1）新教材提供了較為豐富的教學(xué)資源，在教學(xué)中，我認(rèn)為不必按步就班，死搬硬套，可根據(jù)實際情況，調(diào)整教材順尋；可選區(qū)教材中的部分教學(xué)資源，增添貼近學(xué)生生活的的內(nèi)容用于教學(xué)中，這是符合新課程精神的，也是對教材的充實，更受學(xué)生的歡迎。（2）荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說過“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是人的一種活動，如同游泳一樣，要在游泳中學(xué)會游泳，我們也必須在數(shù)學(xué)中學(xué)會數(shù)學(xué)”。我在實際教學(xué)中，深深的體會到讓學(xué)生參與