第四章空間軸對稱問題第一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五由于空間軸對稱問題的幾何形狀，約束情況及軸對稱彈性體所受的外載荷都對稱于z軸，如圖，故這種彈性體內(nèi)各點的各項應力分量、應變分量和位移分量也都對稱于z軸，而與環(huán)向坐標無關，所謂各項應力分量、應變分量和位移分量都與坐標無關，其含義是，在任何一個過z軸的子午面上的位移、應變和應力的分布規(guī)律都相同。§4-1軸對稱問題的彈性力學基本方程第二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五由于各分量都對稱于z軸，與無關，因此彈性體內(nèi)各點只可能存在著徑向位移u和軸向位移w（此時，u,

w只是r,z的函數(shù)），而環(huán)向位移v=0。則必有剪應變，否則這種軸對稱問題的彈性體將不能保持軸對稱狀態(tài)而發(fā)生歪扭，這在實際中是不可能出現(xiàn)的。根據(jù)軸對稱問題彈性體的上述特點，即v=0，，。其平衡微分方程為：(4-1)第三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五幾何方程為物理方程式中——軸對稱問題彈性體的彈性矩陣；——軸對稱問題彈性體的應變列陣。(4-2)(4-3)第四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)軸對稱問題的特點，我們只須考查軸對稱結(jié)構的任意子午面上各單元的各應力分量和各結(jié)點的位移分量。在軸對稱結(jié)構的任意子午面上（即rz平面）任取一個三角形單元i,j,m，基本未知量仍然取結(jié)點位移，單元的結(jié)點位移可用列陣表示為(4-4)§4-2三角形截面環(huán)單元圖5-1軸對稱結(jié)構第五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五仿照平面問題，取線性位移模式類似于平面三角形單元的推導，可得(b)

(a)其中形函數(shù)(c)第六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五而(4-5)(4-6)第七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五(b)式也可寫成矩陣形式(d)將(b)式代入幾何方程(4-2)式，得到單元體內(nèi)的應變，即(e)第八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五其中(e)式仍然還可以簡化成其中(f)(4-7)第九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五由此可見，單元中的應變分量都是常量，但是環(huán)向正應變不是常量，它與中的r有關。單元的應力分量仍可表示為(h)第十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五其中而(i)

(4-8)第十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五顯然，只有應力分量在單元中為常量外，其余三個正應力在單元中都不是常量。在實用上，為了簡化計算和消除對稱軸上由于r=0所引起的麻煩，常把各個單元中的r及z近似地當作常量，并且分別等于各單元形心的坐標，即于是(f)式成為這樣就可把各單元近似地當作常應變單元。將(j)、(k)式代入(4-7)和(4-8)式求得的是單元形心處應變和應力的近似值。

(j)第十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)在，再運用虛功原理求導軸對稱結(jié)構上任意單元的剛度矩陣。由虛功原理知：三角形斷面的環(huán)形單元體積所吸收的虛變形能應等于單元結(jié)點力所做的虛功：假設單元的虛位移為則單元的虛應變?yōu)椤?-3單元剛度矩陣(a)

(b)第十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五將上式代入(a)式，并注意到，得由于虛位移是任意的，所以有(d)第十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五上式右邊與單元結(jié)點位移列陣相乘的矩陣便是單元剛度矩陣它也可以寫成下列分塊形式其中的子矩陣為(4-11)

(4-9)(4-10)第十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五由于在軸對稱問題的矩陣中出現(xiàn)坐標r、z，所以(4-11)式的積分運算比平面問題要復雜得多?，F(xiàn)在仍取單元形心的坐標替代矩陣中的坐標r、z作為一次近似，得到一個近似的單元剛度矩陣。此時，(4-11)式成為(4-12)第十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五對于整體剛度矩陣，如果彈性體被劃分為個單元和n個結(jié)點，于是就可得到個型如(d)式的方程組。與平面問題的情況完全相類似的處理，把各單元的、、等都加以擴大到整個結(jié)構的自由度的維數(shù)，然后疊加得到(f)引進記號：載荷列陣(4-13)第十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五整體剛度矩陣于是(f)式便可以寫成與平面問題相同的標準形式這就是求解結(jié)點位移的平衡方程組。

(4-14)

(g)整體剛度矩陣也可以寫成分塊形式第十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五第十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五其中子矩陣為和平面問題一樣，整體剛度矩陣是對稱的帶狀稀疏陣，在消除剛體位移后，它是正定的。第二十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五(g)式右邊的載荷列陣展開的形式為其中(b)§4-4等效結(jié)點力的計算，載荷列陣(a)與平面問題一樣，等效結(jié)點力也是由作用在環(huán)形單元上的集中力、表面力和體積力分別移置到結(jié)點上而得到的。移置的原則也是根據(jù)這些力和等效結(jié)點力在任意虛位移上所作的虛功相等，即第二十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五式中為集中載荷作用點的徑向坐標。將上節(jié)(b)式代入上式并考慮到，上式可以化成式中右邊第一項是環(huán)形單元上的集中力移置到結(jié)點的等效結(jié)點力，第二項是環(huán)形單元上表面力的等效結(jié)點力，第三項是環(huán)形單元體積力的等效結(jié)點力。

(c)第二十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五采用平面問題中相同的符號：集中力的等效結(jié)點力表面力的等效結(jié)點力體積力的等效結(jié)點力(4-19)

(4-17)

(4-18)第二十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五于是(c)式可以改寫成再將上式代入(a)式，等效載荷列陣可寫成將(4-18)、(4-19)式和(2-39)、(2-40)式比較可見，在軸對稱情況下積分號后的被積函數(shù)比平面問題的多一個變量r，所以雖然也是采用線性位移模式，但是不能象平面問題那樣利用剛體的靜力等效原則求得結(jié)點等效力。當體積力或表面力可表示為坐標r和z的多項式時，不難利用(2-25)或(2-26)式精確積分得到等效結(jié)點力。(d)(e)第二十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

1.體積力(1)自重。在此情況下；其中為密度。于是單元的自重移置到結(jié)點i,j,m上的等效結(jié)點力為由類似等參元的坐標變換式，將r寫成(f’)

(f)第二十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五這樣就得到代入(f)式即得如果單元離開對稱軸較遠，可以認為將的自重移置到每個結(jié)點上。

(4-20)第二十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五(2)離心力。在此情況下，其中為角速度。于是單元的離心力移置到結(jié)點i,j,m上的等效結(jié)點力注意到(f’)式，得代入(g)式即得(4-21)

(g)第二十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

2.表面力設rz平面上單元ijm的ij邊上受有線性分布的徑向表面力。在此情況下有，于是結(jié)點i的等效結(jié)點力為(h)第二十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五注意到在ij邊上，于是積分代入(h)式得到(4-22)第二十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五經(jīng)過類似推導可得移置到結(jié)點j和m上的等效結(jié)點力(4-23)(4-24)第三十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五兩種特殊情況(1)只有當單元離開對稱軸較遠時，才可以認為與大致相等，此時可由(4-25)式得出簡單的結(jié)果；即將面力的移置到結(jié)點i，移置到結(jié)點j。(4-25)第三十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五(2)顯然，只有當單元離開對稱軸較遠時，才可以認為、大致相等，則由上式得出簡單的結(jié)果；即將面力的移置到結(jié)點i，移置到結(jié)點j。需要注意，在軸對稱問題中的結(jié)點力實際上是整個結(jié)圓上的力，這是與平面問題不同的。(4-26)第三十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五

3．考慮溫度改變的影響，由于應力應變關系包含溫度應變，于是公式(e)還應加上熱載荷單元e中結(jié)點i上的溫度改變引起的結(jié)點力為式中為溫度改變引起的應變，將(4-7)、(4-3)式中的矩陣和上式代入(6-27)式得到(4-28)

(4-27)第三十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五上式中的兩個積分通?？捎脭?shù)值積分法求積，或簡單地取近似表達式將以上兩式代入(4-28)式，并注意到§4-2中的(i)式，使得溫度改變引起的等效結(jié)點力的近似表達式(4-29)第三十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五在§4-3中我們導得單元剛度矩陣，它可以劃分為3個2×2的子矩陣，即由于子矩陣、與坐標r、z有關，上式的積分不可能象平面問題那樣簡單地進行。為了避免復雜的積分運算，在§4-3中用單元形心的坐標值代替其中的坐標r和z，導得近似剛度矩陣(4-12)式。現(xiàn)在我們來推導精確的剛度矩陣。為此，把子矩陣分成兩部分(a)§4-5精確剛度矩陣的計算第三十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五其中是象§4-3中那樣，用單元形心坐標代入后得到的；第三十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五而是它的變化部分。由(4-7)式可知(b)第三十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五把(a)式代入(4-11)式，有注意到矩陣、的元素都是常量，它們可以提到積分號的外面，而且(c)第三十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五故有于是(c)式可以化成其中第一項即(4-12)式給出的近似剛度矩陣，第二項是它的修正部分(4-30)第三十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五(4-31)第四十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五上式使用了縮寫符號(4-32)按照(4-3)式計算修正項必須先求出In，也就是需要求出上述三個積分，它的積分區(qū)域在三角形ijm上（左圖）。當具體積分時，可以在三個梯形i1imm1、m1mjj1和i1ijj1上進行，由前面二個梯形面積分的和中減去第三個梯形面積分。經(jīng)過運算并加以整理后，得到第四十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五其中在(4-33)式中的和號表示大括號中各項對i,j,m輪換后再相加。(4-33)

(4-34)第四十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五利用(4-33)式進行計算時，有兩種特殊情況會出現(xiàn)奇異性。一種情況是當單元的某個結(jié)點i位于對稱軸上（即ri=0），于是(4-33)式中包含對數(shù)的項變成0×∞。這項的極限可由羅彼塔(L’Hopital)法則來確定，事實上這個極限總是零。因此，如果單元的某個結(jié)點的r為零時，只要將其對應的對數(shù)項除去即可。第二種情況是當兩個結(jié)點的徑向坐標相等時，例如rj=rm即ci=0；此時，相應的Amj、Bmj都成為無限大，利用(4-33)式計算又會引起困難。然而，在此情況下，梯形j1jmm1的面積等于零，因此，對于jm無需進行積分（上頁右圖），我們只需令系數(shù)Amj、Bmj等于零。第四十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五結(jié)合以上兩種情況，可以將(4-34)式改寫成如下的形式以消除計算中的奇異性，即(4-35)第四十四頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五對于有兩個結(jié)點在對稱軸上的單元，例如結(jié)點i和j，則有ri=rj=0，此時除了子矩陣外，其它子矩陣的積分均發(fā)散。但是，由于此時ui=uj=0，正好可將剛度矩陣中的第2i-1行和2i-1列以及2j-1行和2j-1列劃去。因此，在計算程序中，可以統(tǒng)一應用公式(4-35)使(4-33)式的右端獲得一個有限值。這些有限值出現(xiàn)在將要劃去的行和列上，因此，并不影響計算的正確性。第四十五頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五實際上，一些例子表明，精確剛度矩陣與近似剛度矩陣，對于主對角元，修正影響甚微，修正項在精確剛度矩陣的相應元素中所占的比例均在5%以下；對于非主對角元，一些元素的修正項所占的比例可達33%。盡管如此，對于位移與應力的計算，其影響并不大。如果采取較大的單元進行同樣的計算，結(jié)論基本是相同的。因此，近似剛度矩陣（單元不很大的情況下）就位移和應力而言，在工程誤差(5%)要求的范圍內(nèi)完全可以采用的。但使用近似等效結(jié)點力通常對計算結(jié)果影響較大。所以使用精確等效結(jié)點力，在實際計算中是有意義的。第四十六頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五實際上，原來三角形環(huán)單元現(xiàn)在將用八結(jié)點等參元代替，它的位移公式與平面八結(jié)點等參元相同，即坐標變換式和位移模式分別具有下列形式(4-36)§4-6軸對稱等參單元第四十七頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五應變的計算公式(4-37)第四十八頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五其中記號和分別表示Ni對r和z的偏導數(shù)(4-39)(4-38)第四十九頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五其中和就是平面八結(jié)點等參元中的(3-29)式，矩陣是雅可比矩陣的逆矩陣雅可比行列式是(4-41)(4-40)第五十頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五其中(4-42)應力公式形式上與前面軸對稱三角形單元相應公式相同，即(4-43)第五十一頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五但是(4-44)其中常數(shù)(4-45)第五十二頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五當r=0時，即對稱軸上有，因此，可以用來代替單元剛度矩陣具有以下的形式其中每一個子矩陣是(4-47)以消除(4-44)式中的奇異項。(4-46)第五十三頁，共六十頁，編輯于2023年，星期五而(4-48