山西省太原市山西大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.對(duì)于函數(shù)，下列命題正確的是

A．函數(shù)f（x）的圖象恒過(guò)點(diǎn)（1，1）

B．∈R，使得

C．函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增

D．函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減參考答案：A2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若點(diǎn)M為正方形ABCD的中心，則異面直線AB1與D1M所成角的余弦值為（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式，即可求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則向量，則向量與的夾角為,即異面直線與所成角的余弦值為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用空間向量求解異面直線所成的角，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，合理利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，又知，且，，則為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C考點(diǎn)：定積分，等差數(shù)列的性質(zhì)4.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，是第一象限上的點(diǎn)，為第二象限上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略5.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足以下條件；①對(duì)任意；②對(duì)任意.則以下不等式一定成立的是

①

②

③

④

A.①③

B.②④

C.

①④

D.②③參考答案：B由①知，所以函數(shù)為奇函數(shù)。由②知函數(shù)在上單調(diào)遞增。因?yàn)?，所以，即②成立。排除AC.因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在在上單調(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，所以有成立，即④也成立，所以選B.6.設(shè)則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分必要條件

B．必要不充分條件C.充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A7.若集合，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D8.若全集，，，則＝（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且滿足f（x+2）=﹣f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2﹣x，則f的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點(diǎn)】3Q：函數(shù)的周期性．【分析】首先確定函數(shù)的周期，然后結(jié)合函數(shù)的周期和函數(shù)的奇偶性整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果．【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∴f（﹣2017）=f（﹣504×4﹣1）=f（1），f=f（0），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2﹣x，故f（1）=1，f（0）=2，故f=f（0）+f（1）=3，故選：D．10.已知向量=（2，1），=10，|+|=，則||=（）A． B． C．5 D．25參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)所給的向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)，對(duì)|a+b|=兩邊平方，變化為有模長(zhǎng)和數(shù)量積的形式，代入所給的條件，等式變?yōu)殛P(guān)于要求向量的模長(zhǎng)的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算和性質(zhì)，根據(jù)所給的向量表示出要求模的向量，用求模長(zhǎng)的公式寫出關(guān)于變量的方程，解方程即可，解題過(guò)程中注意對(duì)于變量的應(yīng)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角B=______.參考答案：12.兩個(gè)半徑都是1的球O1和球O2相切，且均與直二面角α﹣l﹣β的兩個(gè)半平面都相切，另有一個(gè)半徑為γ（γ＜1）的小球O與這二面角的兩個(gè)半平面也都相切，同時(shí)與球O1和球O2都外切，則γ的值為

． 參考答案：3﹣【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題． 【分析】?jī)蓚€(gè)單位立方體構(gòu)成直二面角，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果． 【解答】解：如圖為兩個(gè)單位立方體構(gòu)成，圖中的左側(cè)面和底面構(gòu)成題目中的直二面角， O1、O2為單位球的球心，小球O在MN上． 設(shè)OH=r，則有：OO1=OO2=r+1，才能滿足外切條件． 如圖，為M為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)為： O（r，0，r），O2（1，1，1） ∴OO22=（1+r）2，（1﹣r）2+1+（1﹣r）2=（1+r）2， 解得：r=3±， 其中r=3﹣為符合題意的解． ∴r=3﹣． 故答案為：3﹣． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查小球半徑的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．13.（2013?汕頭一模）函數(shù)y=lnx在點(diǎn)A（1，0）處的切線方程為_(kāi)．參考答案：14.執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果n=

．參考答案：9模擬程序的運(yùn)行，可得，，第一次執(zhí)行循環(huán)，，，不滿足，則返回繼續(xù)循環(huán)；，，不滿足，則返回繼續(xù)循環(huán)；，，不滿足，則返回繼續(xù)循環(huán)；當(dāng)時(shí)，，則，，最小值為，此時(shí).故答案為.

15.設(shè),其中或1，并記,對(duì)于給定的構(gòu)造無(wú)窮數(shù)列如下：，，，（1）若109，則

(用數(shù)字作答）；（2）給定一個(gè)正整數(shù)，若，則滿足的的最小值為_(kāi)____________.參考答案：(1)91,(2)16.若復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為

.參考答案：-2017.記拋物線與圓所圍成的封閉圖形為區(qū)域M,則從圓O中隨機(jī)選取一點(diǎn)P,恰好的概率為_(kāi)_____________.參考答案：；設(shè)為事件A，則；M的面積為(2×1－)+()=P(A)==.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.若函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣（ω＞0）的圖象與直線y=m（m為常數(shù)）相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次構(gòu)成公差為π的等差數(shù)列．（Ⅰ）求ω及m的值；（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零點(diǎn)的和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列；三角函數(shù)的求值．【分析】（Ⅰ）把f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，然后由周期公式求周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣），結(jié)合在x∈[0，2π]上的零點(diǎn)求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+sin2ωx﹣=ωx+（1﹣cos2ωx）﹣=2ωx﹣2ωx=sin（2ωx﹣），依題意得函數(shù)f（x）的周期為π且ω＞0，∴2ω=，∴ω=1，則m=±1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣），∴，∴．又∵x∈[0，2π]，∴．∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零點(diǎn)的和為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)兩倍角公式、輔助角公式、等差數(shù)列公差、等差數(shù)列求和方法、函數(shù)零點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．19.（本小題滿分14分）在海岸處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距離的處有一艘走私船,在處北偏西75的方向，距離

2的處的緝私船奉命以

的速度追截走私船，此時(shí)，走私船正以10的速度從處向北偏東30方向逃竄.(1)求線段的長(zhǎng)度；（4分）（2）求的大??；（4分）（參考數(shù)值：）（3）問(wèn)緝私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船?（6分）

參考答案：解:（1）在中，90+30=120,………………

1分由余弦定理，得………………

2分==6，……………

3分所以，=

.……………

4分

（2）在中，由正弦定理，得，所以，………………

6分==.

………………

7分又，.…

……………

8分（3）設(shè)緝私船用th在D處追上走私船,如圖,則有.在△ABC中,

又90+30=120,在△BCD中,由正弦定理,得sin

…

8分.

…

10分∴,又因?yàn)?/p>

…

12分所以==即緝私船沿北偏東60方向能最快追上走私船.…

14分20.設(shè)直線l0過(guò)拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)且與拋物線分別相交于A0，B0兩點(diǎn)，已知|A0B0|=6，直線l0的傾斜角θ滿足sinθ=．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)N是直線l：y=x﹣4上的任一點(diǎn)，過(guò)N作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，試證明直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）求得直線l0的斜率及方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式，即可求得p的值，求得拋物線方程；（2）由題意可知l1和l1的方程，由l1l2都過(guò)N（x0，y0）點(diǎn)，代入直線的方程，即可求得直線AB的方程為：x0x=2（y0+y），又直線l：y=x﹣4過(guò)N點(diǎn)，則y0=x0﹣4，代入整理可得x0（x﹣2）﹣2（y﹣4）=0即可求得直線恒過(guò)定點(diǎn)．【解答】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，），由直線l0的傾斜角θ滿足sinθ=，則l0的斜率k=tanθ=，設(shè)直線l的方程y﹣=x，即x=（y﹣），設(shè)A0（x1，y1），B0（x2，y2）．整理得：2y2﹣4py+=0，則y1+y2=2p，由拋物線的弦長(zhǎng)公式可知：|A0B0|=y1+y2+p=3p=6，則p=2拋物線C的方程為：x2=4y；（2）設(shè)N（x0，y0）是直線l：y=x﹣4上任意一點(diǎn)，過(guò)N作拋物線的切線分別為l1，l2，切點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則l1的方程為：xx1=2（y+y1）

①l2的方程為：xx2=2（y+y2）

②因?yàn)閘1l2都過(guò)N（x0，y0）點(diǎn)，所以有x0x1=2（y0+y1），③x0x2=2（y0+y2），④③和④表示A，B兩點(diǎn)均在直線x0x=2（y0+y），即直線AB的方程為：x0x=2（y0+y），又y0=x0﹣4，所以：x0x=2（x0﹣4+y），所以直線AB的方程可化為：x0（x﹣2）+（﹣2y+8）=0，x0（x﹣2）﹣2（y﹣4）=0即直線AB恒過(guò)（2，4）點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，拋物線切線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．21.熱力公司為某生活小區(qū)鋪設(shè)暖氣管道，為減少熱量損耗，管道外表需要覆蓋保溫層。經(jīng)測(cè)算要覆蓋可使用20年的保溫層，每厘米厚的保溫層材料成本為2萬(wàn)元，小區(qū)每年的氣量損耗用（單位：萬(wàn)元）與保溫層厚度（單位：）滿足關(guān)系：若不加保溫層，每年熱量損耗費(fèi)用為5萬(wàn)元。設(shè)保溫費(fèi)用與20年的熱量損耗費(fèi)用之和為(1）求的值及的表達(dá)式；(2)問(wèn)保溫層多厚時(shí)，總費(fèi)用最小，并求最小值。參考答案：（1）由題意知(2）當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立。所以保溫層的厚底為厘米時(shí)，總費(fèi)用最小，最小為19萬(wàn)元。22.某市環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與時(shí)間x(小時(shí))的關(guān)系為，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的