2022年遼寧省阜新市第十六高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)作平面

（

）A．只有一個(gè)

B．可作二個(gè)

C．可作無(wú)數(shù)多個(gè)

D．只有一個(gè)或有無(wú)數(shù)多個(gè)參考答案：D略2.若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.(－∞,4] B.[4,+∞) C.(－∞,－4) D.(－4,+∞)參考答案：A【分析】由已知條件推導(dǎo)出，令利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出時(shí)，取得最小值4，由此能求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)增，所以當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有恒成立問(wèn)題向最值靠攏，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題目.3.若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）. . . 參考答案：D略4.霧霾天氣對(duì)我們身體影響巨大，據(jù)統(tǒng)計(jì)我市2015年12月份某8天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）莖葉統(tǒng)計(jì)圖如圖，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A．360 B．361 C．362 D．363參考答案：B【考點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】先寫出這組數(shù)據(jù)，從而求出數(shù)據(jù)的中位數(shù)即可．【解答】解：由莖葉圖得，該組數(shù)據(jù)為：259，300，306，360，362，364，375，430，故（360+362）÷2=361，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了莖葉圖的讀法，考查數(shù)據(jù)的中位數(shù)問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．5.設(shè)，則是的（

）A.既不充分也不必要條件

B.必要但不充分條件 C.充要條件

D.充分但不必要條件參考答案：D6.如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則

A．和都是銳角三角形

B．和都是鈍角三角形C.是銳角三角形，是鈍角三角形D．是鈍角三角形，是銳角三角形

參考答案：C 略7.若直線（1+a）x+y+1=0與圓x2+y2﹣2x=0相切，則a的值為(

)A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】直線與圓．【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)圓心到直線（1+a）x+y+1=0的距離等于半徑，求得a的值．【解答】解：圓x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）為圓心、半徑等于1的圓，再根據(jù)圓心到直線（1+a）x+y+1=0的距離d==1，求得a=﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．8.將曲線y2=4x按變換后得到曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A. B.

C. D.(1,0)參考答案：A9.正三角形中，的中點(diǎn)，則以為焦點(diǎn)且過(guò)的雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．參考答案：A10.過(guò)橢圓+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2=60°，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】把x=﹣c代入橢圓方程求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)∠F1PF2=60°推斷出=整理得e2+2e﹣=0，進(jìn)而求得橢圓的離心率e．【解答】解：由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在軸上射影是,點(diǎn),則的最小值是___________________.參考答案：12.若不等式在上的解集是空集，則的取值范圍是

．參考答案：略13.已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，m)，且sinθ＝，則m＝________.參考答案：3【分析】解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】由題得.當(dāng)m=-3時(shí)，點(diǎn)P在第四象限，不滿足題意.所以m=3.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：15.已知以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸且離心率等于2的雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x=y2的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)拋物線的方程算出其焦點(diǎn)為（2，0），從而得出雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0）．再設(shè)出雙曲線的方程，利用離心率的公式和a、b、c的平方關(guān)系建立方程組，解出a、b的值即可得到該雙曲線的方程．【解答】解：∵拋物線方程為y2=8x，∴2p=8，得拋物線的焦點(diǎn)為（2，0）．∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物y2=8x的焦點(diǎn)重合，∴雙曲線的右焦點(diǎn)為F（2，0）設(shè)雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），可得a2+b2=4…①∵雙曲線的離心率為2，∴，即…②由①②聯(lián)解，得a2=1，b2=3，所以該雙曲線的方程為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線右焦點(diǎn)，求雙曲線的方程．著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．16.關(guān)于函數(shù)，有下列命題：①的表達(dá)式可改寫為；②是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；③的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中正確的命題序號(hào)是___．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）.參考答案：①③【分析】利用函數(shù)的解析式結(jié)合誘導(dǎo)公式可考查①中的結(jié)論是否成立，由最小正周期公式可得函數(shù)的最小正周期，考查函數(shù)在處的函數(shù)值即可確定函數(shù)的對(duì)稱性.【詳解】逐一考查所給的命題：，說(shuō)法①正確；函數(shù)最小正周期：，說(shuō)法②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可知說(shuō)法③正確，說(shuō)法④錯(cuò)誤.綜上可得：正確命題的序號(hào)是①③.

17.在中，，，，則

.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知直三棱柱中,,，是和的交點(diǎn),若.（1）求的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

參考答案：解法一:(1)連AC交AC于E,易證ACCA為正方形,AC=3……………

5分(2)在面BBCC內(nèi)作CDBC,則CD就是點(diǎn)C平面ABC的距離CD=…8分(3)易得AC面ACB,過(guò)E作EHAB于H,連HC,則HCABCHE為二面角C－AB－C的平面角.…………

9分sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為………12分解法二:(1)分別以直線CB、CC、CA為x、y為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)|CA|=h,則C(0,0,0),B(4,0,0),B(4,－3,0),C(0,－3,0),A(0,0,h),A(0,－3,h),G(2,－,－)=(2,－,－),=(0,－3,－h(huán))

………4分·=0,

h=3(2)設(shè)平面ABC得法向量=(a,b,c),則可求得=(3,4,0)(令a=3)點(diǎn)A到平面ABC的距離為H=||=………8分(3)設(shè)平面ABC的法向量為=(x,y,z),則可求得=(0,1,1)(令z=1)二面角C－AB－C的大小滿足cos==………

11分二面角C－AB－C的平面角的正弦大小為

………………12分19.（本小題滿分12分）

已知四棱錐底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分別是線段AB．BC的中點(diǎn)，（1）證明：PF⊥FD；（2）在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；．（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．參考答案：解：（1）證明：連接AF，則AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，……………4分

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD且AH＝AD．再過(guò)點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．從而滿足AG＝AP的點(diǎn)G為所求．………………8分

⑶建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以是與平面所成的角．又有已知得，所以，所以．設(shè)平面的法向量為，由得，令，解得：．所以．又因?yàn)椋允瞧矫娴姆ㄏ蛄?，易得，所以．由圖知，所求二面角的余弦值為．……12分20.已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位相同，圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+2x﹣2y=0，射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=．（1）求射線OM的直角坐標(biāo)方程；（2）已知射線OM與圓C的交于兩點(diǎn)，求相交線段的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5S：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（1）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是x=ρcosθ，y=ρsinθ，從而tanθ=，由此能求出射線OM的直角坐標(biāo)方程．（2）圓C的直角坐標(biāo)方程與射線OM的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立方程組，求出射線與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，由此能求出相交線段的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵射線OM的極坐標(biāo)方程為θ=，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系是x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴tanθ=，即=﹣1，．∴θ=表示的是射線y=﹣x（x≤0），故射線OM的直角坐標(biāo)方程為y=﹣x（x≤0）．（2）圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+2x﹣2y=0，圓心C（﹣1，1），半徑r===，聯(lián)立，得或，∴射線OM與圓C的交于兩點(diǎn)（0，0），（﹣2，2），∴相交線段的長(zhǎng)為：=2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查射線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推量論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．21.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，a2=8，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），Tn是數(shù)列{log2an}的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Tn；（3）求滿足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞的最大正整數(shù)n的值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（1）由已知條件得Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），從而an+1=4an，由此推導(dǎo)出數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．從而=22n﹣1．（2）由log2an==2n﹣1，能求出數(shù)列{log2an}的前n項(xiàng)和．（3）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，令＞，能求出滿足條件的最大正整數(shù)n的值為1．【解答】解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1+4Sn﹣1=5Sn（n≥2），∴Sn+1﹣Sn=4（Sn﹣Sn﹣1），∴an+1=4an，∵a1=2，a2=8，∴a2=4a1，∴數(shù)列{an}是以a1=2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．∴=22n﹣1．（2）由（1）得：log2an==2n﹣1，∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+3+…+（2n﹣1）==n2．（3）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=（1﹣）（1﹣）…（1﹣）===，令＞，解得：n＜故滿足條件的最大正整數(shù)n的值為1．22