期末考試

本試卷分第I卷（選擇題）和第II（非選擇題）兩部分，共150分.考試時間120分鐘.

姓名成績

第I卷（選擇題共40分）

一、本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

I、己知橢圓的焦點在x軸上，焦距為8,焦點到相應的長軸頂點的距離為1,則橢圓的標準方程

為（）

2222o2

A.-----1-----=1B.-----1----=1C.-----1----=1D.-----1-----=1

2592597979

【解析】A

2c=8，a-c=l=>a=5,c=4，h=3

2、已知AABC的三個頂點為A(3,3,2),8(4,-3,7),C(0,5,1),則BC邊上的中線長為

()

A.2B.3C.4D.5

【解析】B

3c的中點為0(2,1,4),M="+22+(_2)2=3

3、橢圓V+my2=i的焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則〃?的值為（）

A.—B?—C.2D.4

42

【解析】A;

2

橢圓化成標準方程為/+寧v=1,?.?焦點在y軸上，

m

...長軸長為，短軸長為2,2、\~=4,加=4.

VtnVm4

4、拋物線V=4y上一點A的縱坐標是4,則點A與拋物線焦點的距離為（）

A.5B.4C.3D.2

【解析】A

拋物線的準線方程為y=-l,故1=4一（-1）=5.

5^已知A（2,-5,1）,B（2,-2,4）,C（l,-4,1）,則向量與AC的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解析】C

AB=（0,3,3）,AC=（-1,1,0）,設(shè)向量AB與4c的夾角為6,

0'Jcos6>=.=-=>6?=60°.

|AB|.|AC|2

若橢圓￡+4=1（。>%>0）的離心率是且，則雙曲線￡-￥=1的離心率是（

6、）

ab~2ab~

A.*B.且C.3D.叵

4224

【解析】B

???橢圓的離心率是,，設(shè)橢圓的半焦距為仿，雙曲線的半焦距為G，

?匕1

=

4a4a4-77

雙曲線的離心率為e=g=J"生

a\a

7、在三棱錐S—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,AC=2,BC=y/l3,58=岳，SC與

AB所成角的余弦值是()

A.0B.晅C.姮D.2

17172

【解析】C

如圖建立空間坐標系，

則A(0,0,0),C(0,2,0),限萬，2,0)

AB1=AC2+CB2=17

SA=J(聞『-17=2后

S(0,0,26)

SC=(0,2,-2碼，AB=(-V13,2,0)

SCAB4VF7

cos(SC,AB)=

|SC|-|AB|-4xVn-17

如圖拋物線C：V=2px,圓G：卜-g+y2=q,其中/>>o,直線/經(jīng)

8、

過G的焦點，依次交G,G于A,B,c,。四點，則的值為（）

222

A.FB.P-C.P-D.P-

234

【解析】D

設(shè)直線/斜率存在，設(shè)為2（2工0）,則/方程為y=

如圖，設(shè)A（%,y）,D（X2,必），

則|冏=芭+勺冏=々+勺歸C|=g網(wǎng)=勺

|陰=網(wǎng)-網(wǎng)=不，「4=怛4一|叫=吃.

...AB-CD^\AB\-\CU\=X1X2.

把直線/的方程代入拋物線方程，有小苦）=2*.

2

化簡得：k2^-k2px-2px+—k2=0

4

22

：.x,x.=^~ABCD=^~

1-44

2

當/垂直于x軸時，x=x,=e,同樣得A8-C￡)=2-.

■24

第n卷（共uo分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.

9、以雙曲線（-亡=1的中心為頂點，且以該雙曲線的右焦點為焦點的拋物線方程是?

45

【解析】>2=]2X

22

雙曲線土-2L=1的中心為0（0,0）,該雙曲線的右焦點為F（3,0）,則拋物線的頂點為（0,0）,

45

焦點為（3,0）,所以〃=6,所求拋物線的方程是丁=12x.

10、已知A（0,2,3）,8（-2,1,6）,C（1,一1,5）,若何=6且a_L43,aVAC,則向量〃的

坐標為.

【解析】（1,1,1）

AB=（-2,-1,3）,4c=（1,-3,2）,設(shè)。=（x,y,z）

.[-2x-y+3z=0

貝"=>x=y=z.

[x-3y+2z=0

又忖=^3,??x=y=z=\?

11、設(shè)P是橢圓（+y2=l上的一點，F(xiàn)、,用是橢圓的兩個焦點，則|尸”歸用的最大值為；

最小值為?

【解析】4:1

由題意得a=2,6=1,r.c=V3,設(shè)|PfJ=x（2-6WXW2+G）,

則由橢圓的定義得|尸用=4-x,則忸居歸周=x（4-x）=-（x-2y+4,

.?.當x=2時，|西療周有最大值4;當x=2—6（或2+6）時，歸用歸用有最小值1.

12、如圖，在正方體ABCD-AqGR中，E、F、G、，分別為A4）、43、

BBi、B?的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于.

【解析】60°

連8G、AG，則AB=BG=AG，且所〃入8、GH//BQ,

所以異面直線所與G”所成的角等于60。.

13、己知點耳，K分別是雙曲線鼻-5=1（。>0,b>0）的左、右焦點，過耳且垂直于X軸的直

a~b"

線與雙曲線交于A,B兩點,若AAB鳥是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是

【解析】(1,A/2+1)

=/+〃)，則有(-C)2丁y

依題意，點A橫坐標為-c,才工=G=±T

b2h2e2-l

不妨A位于第二象限，則大囂中，tanNAE,f；=—/2c=—=----

a2acIe

而AABE為銳角三角形oNA瑪耳e(o,；.

tanZA巴耳=^^e(O,1),即<lnee(l,0+1〉

14、M是拋物線C：V=4奴(a>0)上的動點，當"到A(l,0)的距離最小時，M點的位置是M。,

若|%川<1,則。的取值范圍是____________

【解析】(0,

設(shè)M(x,y),由M在y2=4or(a>0)上，則y)

1-±

當-----￥-=-&?+4aW0時，「的最小值在丁=0時取得為1,但慳涸<1，矛盾,

2x—5

16/

-8a2+4a>0,且最小值在產(chǎn)=_8a?+44處取得.

z2、2

2

即|M(/|=-8"+4〃_1+(_&『+4幻=4a2_8/+4a=4a(l-a),

\4a>

.△”,14a-8a2>0八1

..0<4a(1—a)<1,??〈=>0<a<—.

l0<Ml-a)<l2

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

15、(本小題滿分13分)

已知點P是平行四邊形ABC￡)所在平面外一點，AB=(2,-1,-4),AO=(4,2,0),

AP=(-1,2,-1).

⑴求證：AP是平面ABC。的法向量；

⑵求平行四邊形/WCZ)的面積.

【解析】(1)：APA8=(-1,2,-1).(2,-1,-4)=0,

APAD=(-l,2,-1)-(4,2,0)=0,

AAPIAB,APA.AD,ABAD=A,AP_L平面A8C￡),

，AP是平面A8CD的法向量.

(2)|百+(7)2+(-4)2=向,|AD|=X/42+22+02=275,

ABAD=[2,-1,-4).(4,2,0)=6,

4

63

cos〈AB,AD)=-；=----產(chǎn)=,---,

A/21X2V5V105

sinNBAD=

百川邊形A8CQ=朋?|A“sinZBAD=歷x2氐

16、（本題滿分13分）

己知直線/:y=如+1,雙曲線C:3f一丁=],/與。相交于A,8兩點,

⑴若43的中點橫坐標是-2,求實數(shù)機的值；

⑵若Q4_LO8（。為坐標原點），求實數(shù)〃?的值.

；2儂：1］，力肖去y得(S—zz?)/_2/nr_2=0

【解析】

⑴設(shè)A(X1,yj,B(X2,y2),則由

?*-A=—4(3—m2)(-2)=24—4m2>0,即機￡(一指,76j

2m-2

-7^^=---7-

3-m3-m

又AB中點橫坐標為一2,.?.土衛(wèi)=—2,即二T

23-m-

即4〃產(chǎn)一2%-12=0,解得帆=2或一。

2

(2)OA±OB：.OA-O8=0即玉芻+X%=。

-2

X\X2=Z2

由⑴43-m

21n

Xl+X2=~~~7

3-m

則y>2=(1叫+l)(,nr2+1)=小2玉/+〃7(再+工2)+1=32s2+327n2+1=1

—2r

--------+1=0=>3—m2=2n，〃=±1

3-m2

17、（本題滿分13分）

如圖，已知四棱錐P-/WCZ）的底面是正方形，F(xiàn)4_L底面458,且尸4=AO=2,點M、N

分別在棱P。、PC上，且PN」NC,PM=MD.

2

⑴求證：PCI.AM：

⑵求證：PC_L平面4WN；

（3）求二面角8-AN-M的余弦值.

【解析】（1）因為四棱錐P-ABCD的底面是正方形，

%，底面ABC￡）,故建立如圖所示的空間直角坐標系

A-xyz,又PA=A￡>=2,

則有

P(0,0,2),0(0,2,0),M(0,1,1),C(2,2,0)

PC=(2,2,-2),4M=(O,1,1).

A

VPCAM=0+2-2=0,：.PC±AM.

⑵設(shè)N(x,y,z),,:PN=：NC,則有

i2

x-0=—(z2-x),x=—.

_24

同理可得丫=_,z=—.

加24、

即N.

【333)

44?

由尸CA7V=-+------=0,/.PCA-AN.

333

5C*.?PC±AM,AMAN=Af二PC_L平面AMN.

⑶連結(jié)BN,設(shè)平面&W的法向量為〃=(x,y，z),

n-AB=2x=0

由v...224取“=(0,-2,1)

n-AN=—x+—y+—z=n0,

333

而PC=(2,2,—2)為平面AMN的法向量，

./n-PC-4-2715

??cos(〃,PC)=----7=—/=—T==---------

'/|n|.|PC|y[5xjn5

結(jié)合圖形可知，所求二面角B-AN-”的余弦值為-孚

18、（本題滿分13分）

己知橢圓G:5+y2=i,過點（團，0）作圓V+y2=］的切線/交橢圓G于4B兩點

⑴求橢圓G的焦點坐標和離心率；

⑵將|AB|表示為小的函數(shù)，并求|AB|的最大值.

焦點坐標為（土石，0）,離心率e=當；

【解析】⑴

⑵依題意，切線斜率不可能為0,故可設(shè)切線方程為x="+〃?；

由圓心到切線的距離為1,可得：!=1,即,"=/+1：

V1+/2

x=ty+m

聯(lián)立］Y,消去X可得：（*+4）丁+2"町，+（%2-4）=0

—4-V=1

14?

于是A=4t2irr-4（r+4）（nr-4）=16r2-16m2+64=48；

由弦長公式可得：伏網(wǎng)=5叱￥&=糜上1；

11r+4m~+3

由于點（〃?，0）必定不在圓內(nèi)，所以|同21；

，|如旦W華=2；

加喘26

當且僅當|同=百時等號成立，此時弦長\AB\取最大值2.

19、（本小題滿分14分）

A

OC

B

如圖，在三棱錐P—A8c中，ABA.BC,AB=BC=kPA,點、O、。分別是AC、尸C的中點,

OP_L底面ABC.

⑴求證：8〃平面%3；

⑵當k=*!■時，求直線8與平面P8C所成角的正弦值.

2

⑶當A取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△P3C的重心？

【解析】：O尸_L平面ABC,OA=OC,AB=BC,

：.OALOB,OAA.OP,OBA.OP.

以O(shè)為原點，08,0。，0「為天,）,2軸建立如圖的空間直角坐標系0-曲2,設(shè)A3=l,

〃?BC=-----x+——y=0(

22.

則＜,令x=l得：n=1,1,

72714

〃?PB=——x-------z=0

22

y/2y[2

...cos〈OD,〃〉=°Dn

設(shè)8與平面P8C所成的角為6,則sine=

30

：.8與平面P3C所成的角的正弦值為

30

⑶APBC的重心G借條可，.?.麗=（里博,%,

：平面又

OG_LP8C,OG^PB,PB=[—2,0,-h

AOGPB=---lr=0,Ah=—,

632

二PA=JoT+/=I,即％=i,

反之，當人=1時，三棱錐O—P8C為正三棱錐，

O在平面PBC內(nèi)的射影為△P3C的重心.故左=1.

20、（本題滿分14分）

已知橢圓氏4+工=1（"＞力＞0）過點p（l,—L離心率e=立.

ab-I2J2

⑴求橢圓E的方程；

⑵過點M（0,2）的直線/與橢圓E相交于A,8兩點.

①當直線。4,08的斜率之和為士時（其中。為坐標原點），求直線/的斜率k;

3

②求.MB的取值范圍.

U=j_

【解析】⑴由題意得，a22,解得/=2(:2,b2=c2.

,。

a2=h~+c~2

設(shè)橢圓E的方程為￡+耳=1,又因為點尸（1,日）

在橢圓E上,

產(chǎn)I2

所以yy+yy=l,2c?=/=2,=1,

y-2

所以橢圓石的方程為上+y2=1.

2

⑵①因為直線/與橢圓E有兩個交點，所以A=8（2公—3）＞0,k2＞~.

2

—8k6

設(shè)A（玉，乂），B（X,%），則玉+9=

21+2公'—]+2〃

y=3+2,必=3+2?

又％?)B_X?%=_占(二?+2)+'(3+2)

X]工2X1X2x{x2

)攵+

_2kxix?+2($+w_2(=2—2k=一4

菁工2I633

解得人=-2,經(jīng)檢驗成立.所以，直線/的斜率々=-2.

②當直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=0,

2

》多x=0代入'+/=1,解得y=±l,則A（o,1）,B（0,-1）.MA-MB=3

當直線/的斜率存在時，由⑵①得

MAMB=(耳，y,-2)?(x2，y2-2)=xtx2+(yt-2)(%-2)

.，八，.、八，.、6

因為％2＞

7

綜上，得M4./W8的取值范圍是3,

附加題

本題滿分20分，不計入試卷總分

8

如圖，已知橢圓T+方=1（。＞6＞0）的離心率為乎，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點

片,鳥為頂點的三角形的周長為4（0+1）.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該

雙曲線上異于頂點的任一點，直線尸片和Pg與橢圓的交點分別為A、8和C、D.

⑴求橢圓和雙曲線的標準方程：

（2）設(shè)直線PFt、PF2的斜率分別為用、k2,證明/《=1；

⑶是否存在常數(shù)4,使得|4叫+|8|=川4郎|。必恒成立？若存在，求力的值；若不存在，請

說明理由.

【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c,

由題意知：—=,2a+2c=4（&+1）,

所以a=2j^,c=2,又〃°因此b=2.

r22