高階微分方程二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為高階微分方程。二階微分方程的一般形式：F

(

x,

y,

y

,

y

)

=

0

或

y

=

f

(

x,

y,

y

)主要介紹：可降階的二階微分方程；二階線性微分方程；二階歐拉（Euler）方程?！?.

可降階的高階微分方程所以[]d

x

+

C2同理可得

y(

n-2)

=

[=

依次通過n次積分,可得含n個任意常數(shù)的通解.]d

x

+

C1

x

+

C2一、y(n)

=

f

(

x)

型的微分方程例：y￠￠=x

-e-2

x

.解：e21212-2

xx

+y￠

=e31416-2

xx

-y￠

=e418241-2

x\

y=

x

+1+

C

;12+

C x

+

C

;C2212+3x

+

C

x

+

C

.令

y

=

P(

x)

代入方程：P

=

f

(

x,

P

)為一階微分方程，解得通解：P

=j

(x,C1

)

y

=

P

(

x),

y

=

j

(

x,

C1

)解此一階微分方程，最后得原方程通解：y

=

j

(

x,

C1

)

d

x

+

C2

.二、y

=

f

(

x,

y

)

型的微分方程特點：

方程中不出現(xiàn)未知函數(shù)

y.解法：

變量代換，降階例

題例

題求解下列方程：1.

x

y

=

y

.d

P

=

d

x

x

P

=

P解：

令

y

=

P(

x)y

=

C1

x

,.21221y

=

C

x

+

CP

xP=C1

x

,

即\

通解：

y

=

P

(

x),變量可分離方程1ln

P

=

ln

x

+

lnCxy￠-

2

y￠=

x3

+

x

.2.xxdx

+

C1

]P

=

e

(-

2

)

dx-

(-

2

)

dx[(x2

+

1)

e1231422314Cx

+

C

.x

-x

+\通解：y

==

P

(

x),解：令

y

=

P(

x)

y

xP

-

2P=

x3

+

x

,y

=,x3

+

C1

x2

-

x==

e

2ln

x

[(x2

+

1)

e

-2

ln

xdx

+

C1

]x

P￠-

2

P

=

x2

+

1

,一階非齊次線性方程例：

求

y

+

y

=

0

的過原點且在原點處的切線與直線

y

=

2

x

+

1

平行的積分曲線。的特解。令

y

=

P(

x)代入方程：

P

+

P

=

0

.

可分離變量，

P

=

C1

e

-

x

=

y

,-

xx

=

0

=

2,

C1

=

2,

\

y

=

2e

,

y

=

-2e

-x

+

C2

,

y

x

=

0

=

0,

C2

=

2,\y

=2(1

-e-x

)為所求積分曲線。x=0

=

2解：即求

y

+

y

=

0

滿足

y

x=0

=

0,

y

y

=

P

(

x),P

yd

P

=

-

d

x推廣：y(n)

=

f

(

x,

y(n-1)

)

.例：x

y解：令y

x

P

=

PP

x

dP

=

dxy

=

C

x

,=

P

(

x),=

y

.=

P(

x)

y令

y(n-1)

=

P(

x)

y(n)

=

P￠(

x),原方程化為：P

=

f

(

x,

P

)

為一階微分方程，y(n-1)

=

P(

x)

=

j

(

x,C1

)

,逐次積分n

?1

次。

ln

P

=ln

x

+ln

C

,

P=C

x

,

即\通解：y

=C1

x3

+C2

x

+C3

.令

y

=

P

(

y)代入方程：

P

dP

=

f

(

y,

P

)

為一階微分方程，dy其通解：P

=j

(y,C1

)d

y1j

(

y,

C

)1y

(

y,

C

)

=

y

=

j

(

y,

C1

)2=

d

x

=

x

+

C

.dxdy

dx

dy

y￠=

dP

=

dP dy

=P

dP三、y

=

f

(

y,

y

)

型的微分方程特點：方程右邊不(明顯)出現(xiàn)自變量x.解法：變量代換，降階2y￠2

=0

的通解。1

-

y例：求y￠+解：

令

y

=

P2P

2

=

0,dy

1

-

y代入方程：

P

dP

+.1C1

x

+

C2\

y=

1

-dy

y￠

=P

dP

,

ln

P

=

2ln(

y

-1)

+

ln

C121-1)(

y

-1)2d

y-1y

-1

d

P

=

2

d

yP y

-

11=

C d

x21=

C x

+

C

=

P

=

C

(

yd

xd

y課外作業(yè)習(xí)題11—6(A)1(單)，2(2,

4),

3習(xí)題11—6(B)1(1),2,

3§7.高階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)當(dāng)f

(x)”0

時當(dāng)f

(x)?0

時稱其為齊次線性微分方程；稱其為非齊次線性微分方程。未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的方程，稱為線性微分方程。n

階線性微分方程的一般形式是：y(n)

+

P

(x)y(n-1)

++

P

(x)y

+

P

(x)y

=

f

(x)1

n-1

n其中

P1

,,

Pn

,

f

都是

x

的連續(xù)函數(shù)。線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)(以二階為例)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)(以二階為例)二階齊次線性微分方程：y

+

P(

x)

y

+

Q(

x)

y

=

0

,二階非齊次線性微分方程：y

+

P(

x)

y

+

Q(

x)

y

=

f

(

x),(1)(2)定理1：設(shè)y1,y2

是微分方程(1)

的兩個解，則y

=C1

y1

+C2

y2

也是方程(1)的解，其中

C1,

C2

為任意常數(shù)。——齊次線性微分方程解的疊加原理問題y

=C1

y1

+C2

y2

是否就是方程(1)的通解？

y

=

(C1

+

2C2

)

y1=

C

y1y1,y2

究竟?jié)M足什么條件，才能使其組合為方程(1)的通解？(C

=

C1

+

2C2)如：設(shè)y1是方程(1)的解，則y2

=2

y1也是其解，則由定理1，y

=C1

y1

+C2

2

y1也是方程(1)的解。但不是方程(1)的通解。定義：設(shè)y1

(x),,yn

(x)是定義在區(qū)間I

上的n

個函數(shù)，如果存在n

個不全為零的常數(shù)k1

,

,

kn

,使得當(dāng)x

在該區(qū)間內(nèi)取值時，有

k1

y1

+

k2

y2

+

+

kn

yn

=

0

成立，就稱這n個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)線性相關(guān)；否則，稱線性無關(guān)。例：sin2

x,cos2

x,1

這三個函數(shù)在整個數(shù)軸上是21若yy2y若

y1

?

C（常數(shù)）,2=

C（常數(shù)）,

則

y1

與

y

線性相關(guān)則y1與y2

線性無關(guān)。線性相關(guān)的。而x

2

,

x,

1在任何區(qū)間[a,

b]上都是線性無關(guān)的。定理2：(二階齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)定理)設(shè)y1與y2

是方程(1)

的兩個線性無關(guān)的特解，則y

=C1

y1

+C2

y2(C1,C2

為任意常數(shù))就是二階齊次線性微分方程(1)

的通解。例：對=

e-

x21y

-

y

=

0

,

y

=

e

x

,

yex2

x都是方程解，

=

ee-x\y

=C1ex

+C2e-x

為通解。?常數(shù)，定理3：(二階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)定理)設(shè)y

*是二階非齊次線性微分方程(2)的一個特解，y

是其所對應(yīng)的齊次線性微分方程(1)的通解，則y=y

+y

*是非齊次線性微分方程(2)

的通解。非齊次(2)通解=對應(yīng)齊次(1)通解＋(2)特解定理4：(廣義迭加原理)設(shè)

y

+

P(

x)

y

+

Q(

x)

y

=

f

(

x)

=

f1

(

x)

+

f2

(

x),若

y*

是

y

+

P(

x)

y

+

Q(

x)

y

=

f

(

x)

的特解，1

1y*

是

y

+

P(

x)

y

+

Q(

x)

y

=

f

(

x)

的特解，2

2則

y*

+

y*

是

y

+

P(

x)

y

+

Q(

x)

y

=

f

(

x)

+

f

(

x)

的特解。1

2

1

2y

=x

的特解y

=3

e2

x

的特解例：y￠-y

=x

+3e2

x易證y1*

=-x

是yy2*

=e2

x

是y則y

=y*+y*

=-x

+e2

x

是原方程的特解。1

2y1

,

y2

,

y3設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程

y

+

P(

x)

y

+

Q(

x)

y

=

f

(

x)

的特解,C1

,C2是(B)

C1

y1

+

C2

y2

+

(

C1

+

C2

)

y3

;C1

y1

+

C2

y2

-(1

+

C1

+

C2

)

y3

;C1

y1

+

C2

y2

+

(1

-

C1

-

C2

)

y3

.任意常數(shù),

則該方程的通解是

(

D

).(

A)

C1

y1

+

C2

y2

+

y3

;例.y1

-y3

,y2

-y3都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).(反證法可證)(89

考研)解都不是!例.個解

y1

=

x

,

y2

=

e

x

,

y3

=

e2

x

,

求此方程滿足初始條解:y(0)=1,y

(0)=3

的特解.y2

-

y1

與

y3

-

y1

是對應(yīng)齊次方程的解,

且y3

-

y1y2

-

y1

e

x

-

x=

?常數(shù)e2

x

-

x因而線性無關(guān),

故原方程通解為y

=

C1

(e

x

-

x)

+

C2

(e2

x

-

x)

+代入初始條件

y(0)

=

1,

y

(0)

=

3,

得

C1

=

-1,

C2

=

2

,故所求特解為

y

=

2e2

x

-

e

x

.已知微分方程

y

+

p(

x)

y

+

q(

x)

y=

f

(

x)

有三件課外作業(yè)習(xí)題11—7(A)1(單)，2,

4習(xí)題11—7(B)2(1),

3§8.常系數(shù)齊次線性微分方程齊次：y

+

py

+

q

y

=

0y

+

py

+

q

y

=

f

(

x)非齊次：(1)(2)二階線性微分方程：y

+

P(

x)y

+

Q(

x)

y

=

f

(

x)若

P(

x)

=

p,

Q(

x)

=

q

(

均為常數(shù)

),

則稱為二階常系數(shù)線性微分方程。求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y

+

py

+

q

y

=

0(1)y

=

e

r

x（其中p,q為常數(shù)）的通解。一、特征方程由(1)的特點，y

,

y

與

y

應(yīng)屬同一類函數(shù)，用指數(shù)函數(shù) 進(jìn)行嘗試，r

=

?設(shè)

y

=

e

rx

是方程

(1)

的解。則

y￠=

re

r

x,

y￠=

r

2e

r

x

,

代入方程：得：

r

2

+

pr

+

q=

0

(*)(*)

稱為方程(1)

的特征方程。(*)

中

r2,

r,

r0

的系數(shù)就是

(1)中y

,

y

,

y

的系數(shù)。.2-

p

–

p2

-

4q②一元二次方程(*)

的根r

1,2

=y

+

py

+

q

y

=

0r

2

+

pr

+

q

=

0

(*)微分方程(1)特征方程特點：①1

2r

,r

是兩個不相等的實根；21

21

2p2

-

4q

>

0,p2

-

4q

=

0,p2

-

4q

<

0,r

=r

=-p

是兩個相等的實根；r

,r

是一對共軛復(fù)根，2=

a

–

ib

.p

4q

-

p2r1,2

=

-

2

–

i二、特征方程的根與微分方程解的關(guān)系設(shè)

y

=

e

rx

是齊次線性微分方程(1)的解，121r

x,

y

=

er

2

x

,

y

=

eyy21

2er

2

xer

1

x(r

-r

)

x=

e且 1

=≠常數(shù)，即

y1,

y2

線性無關(guān)。由定理二，r

x

r

x(1)

的通解：y

=

C1

e

1

+

C2

e

2

.(a)當(dāng)(b)當(dāng)21

2r

=

r

=

-

p1

221r

xr

x=

e

=

y

,

y

=

ey1,y2

線性相關(guān)，另找y2

，使與y1

線性無關(guān)。y1設(shè)

y2

=

u(

x),

y2

=

y1u(

x)

=

e

r

1

xu(

x),所以可取u(x)=x,把

y2

代入方程,

得

u

(

x)

=

0,則y2

=y1u(x)=xe

r

1

x

,r

x(1)

的通解：y

=C1e

r1

x

+C2

xe

1=

(C1

+

C2

x)

e

r

x

.

(r

=

r1

=

r2

)1,2?

0),(c)當(dāng)r,1(a

+ib

)

x=

a

–

ib

(b

y

=

e,2(a

-ib

)

xy

=

e由歐拉公式：e

iq

=cos

q

+i

sinq2再由解的疊加原理，121cos

b

x,a

x(

y

+

y

)

=

e1212isin

b

x,a

x(

y

-

y

)

=

e也是(1)的解，1~y

==2~y2且

1

?

常數(shù)~y~y

y

=

ea

x

(C

cos

b

x

+

C

sin

b

x)1

22

21

1~y

,∴

(1)

的通解：

y

=

C

~y

+

Cy1

=

ea

xy2

=

ea

xei

b

x

=

ea

x

(cos

b

x

+

i

sin

b

x

)e

-

i

b

x

=

ea

x

(cos

b

x

-

i

sin

b

x

)求

y

+

py

+

q

y

=

0寫出對應(yīng)的特征方程：r

2

+pr

+q

=0;求出特征根：

r1

,

r2

;根據(jù)下表寫出方程(1)

的通解：(1)

通解的步驟：r1

?r

2

(實數(shù))y

=

C1e

r1

x

+

C2

e

r2

xr1

=

r2

=

ry

=

(C1

+

C2

x)

e

rxr1,2

=a

–ib

(b

?

0)y

=

ea

x

(C

cos

b

x

+

C

sin

b

x)1

2例1：求下列微分方程的通解：1.

y

-

5

y

=

05

x

+

C

e-

5

x2\

y

=

C1

e解：特征方程：r

2

-5

=02.

y

+

6

y

+

9

y

=

0解：特征方程：r

2

+6r

+9

=0,

r

=

-3,

r

1,2

=

–

5

,為通解。3

x\y

=(C1

+C2

x)e-

為通解。r

x

r

xy

=

C1

e

1

+

C2

e

2

.y

=

(C1

+

C2

x)

e

r

x

.3.y

-

2

y

+

5

y

=

0

.4.解：特征方程：r

2

-2r

+5

=0,

r

=

1

–

2i

,(a

=

1,

b

=

2

)\y

=e

x

(C

cos

2

x

+C

sin

2

x)為通解。1

2解：特征方程：r

2

+1

=0,

r

=

–

i

,

(a

=

0,

b

=

1

)y

+y

=0.

(

若y

+

y

=

0，？)(r

2

+

r

=

0)(

r

=

0,

-1

)\y

=C1

cos

x

+C2

sin

x

為通解。(\

y

=

C1

+

C2

e

-

x

).y

=

ea

x

(C1

cos

b

x

+

C2

sin

b

x)x

=

0

=

6+

4

y

+

3

y

=

0

,

y(0)

=

2,

y

(0)

=

6例2：求y\

y

=

C1

e

-x+C2

e

-3

x

為通解。

y(0)

=

2

,

2

=

C1

+

C2

y

(0)

=(-

C1e

-

x

-

3

C2

e

-3

x

)C1

+

C2

=

21

2-

C

-

3

C

=

6

\y

=6e

-x

-4

e

-3

x

為所求特解。的特解。解：特征方程：r

2

+4r

+3

=0(r

+

1)(r+

3)

=

0

r1

=

-1,

r2

=

-3

C1

=

6,

C2

=

-4,推廣到n

階常系數(shù)線性微分方程：n

階常系數(shù)線性微分方程的一般形式：y

+

p y

=

0.y(

n)

+

p

y(

n-1)

+

+

p1

n-1

n其中

p1

,

,

pn

為常數(shù)。解法：寫出特征方程：r

n+

p1

r

n-1+

+

pn-1

r

+

pn

=

0,解此一元n

次代數(shù)方程得n

個根，根據(jù)每個根的情況得到對應(yīng)微分方程通解中一項yi(

i

=

1,

2,…,

n

)

,\

通解

y=

C1

y1

+

C2

y2

+

+

Cn

yn

.特征方程的根高階微分方程通解中的對應(yīng)項r

為單實根r

x一項

C1er1,2

=

a

–

ib為一對單復(fù)根兩項ea

x

(C

cos

b

x

+

C

sin

b

x)1

2r

為k

重實根k

項(C

+

C x

+

C

x2

+

+

C

xk

-1

)

e

r

x1

2

3

kr1，2

=

a

–

ib為k

重復(fù)根2k

項ea

x

[(C

+

C x

+

+

C

xk

-1

)cos

b

x1

2

k+

(C

+

C x

+

+

C

xk

-1

)sin

b

x]1

2

k通解y

=

C1

y1

+

C2

y2

+

+

Cn

yn

.例1：y(4)-4

y￠￠+10

y￠-12

y￠+5

y

=0.解：特征方程：r

4

-4r

3

+10

r

2

-12

r

+5

=0

(r

-

1)2

(r

2

-

2r

+

5)

=

0,

r

1,

2

=

1

,

r

3,4

=

1

–

2

i

,\

y

=

(C

+

C

x)

e

x1

2+

e

x

(C

cos

2

x

+

C

sin

2

x)3

4=

e

x

(C

+

C x

+

C

cos

2

x

+

C

sin

2

x).1

2

3

4例2：y(4)+12

y￠+36

y

=0.解：特征方程：r

4

+12

r

2

+36=0,

(r

2

+

6)2

=

0,6

i

,有二重單復(fù)根：r1,2

=

–(

a

=

0

,

b

=

6

)+

(C3

+

C4

x)sin 6

x.6

x\

y

=

(C1

+

C2

x)

cos課外作業(yè)習(xí)題11—8

(A)1(2,4,6), 2(1,3)習(xí)題11—8(B)1(1,

4)§9、常系數(shù)非齊次線性微分方程一般形式：

y

+

py

+

q

y

=

f

(

x)

(2)（

p,q

為常數(shù)）對應(yīng)齊次微分方程：y

+

py

+

q

y

=

0

,(1)(*)其特征方程：r

2

+pr

+q

=0.由非齊次(2)的通解結(jié)構(gòu)知：y

=y

+y

*.如何求

y

*

?y

*

與f

(x)有關(guān)。對兩種常見的f

(x),利用待定系數(shù)法求y

*.一、

f

(

x)

=

e

lx

Pm

(

x)

型

.分析：f

(x)是m

次多項式與指數(shù)函數(shù)的乘積，∴如y*與f(x)屬同一形式函數(shù)，就能使方程成立?！嗤茰yy

*

=

Q(

x)

el

x其中Q(x)是待定的x

的多項式。y*

=

Q

(

x)

el

x

+

lQ(

x)el

x

=

e

l

x[

Q

(

x)

+

l

Q(

x)

],y

*￠=

e

l

x[l2

Q(

x)

+

2lQ￠(

x)

+

Q￠(

x)],y

+

py

+

q

y

=

f

(

x)

(2)即l2

+pl

+q

?0要使(★)成立，必須Q(x)與Pm(x)同次，mx

+

b

,\

Q(

x)

=

Q

(

x)

=

b

xm

+

b

xm

-1

+

+

bm

0

1

m

-1+

py

+

q

y

=

elx

[

Q￠+

2lQ￠+

l2Q]

y將

y

*

=

Q(

x)

el

x

代入方程：+

el

x

p[Q￠+

lQ]

+

elxq

Q

=

elx

Pm

(

x)

=

f

(

x)

Q

(

x)

+

(2l

+

p)Q

(

x)

+

(l2

+

pl

+

q)Q(

x)

=

Pm

(

x)

(★)即為Q(x)所需滿足的條件。分三種情況討論：①l

不是特征方程r

2

+pr

+q

=0

的根。Q￠(

x)

+

(2l

+

p)Q￠(

x)+

(l2

+

pl

+

q)Q(

x)

=

Pm

(

x)

(★)②l

是特征方程r

2

+pr

+q

=0

的單根。即l2

+pl

+q

=0，但2l

+p

?0,

Q

(

x)

+

(2l

+

p)Q

(

x)=

Pm

(

x)(★’)要使(★’)成立，必須Q

(x)與Pm

(x)同次，即Q(x)為m

+1次多項式\令Q(x)=x

Qm

(x)=x(b0

xm

+

+bm

),

y*

=

x

Qm

(

x)

e

lx

.Q￠(

x)

+

(2l

+

p)Q￠(

x)+

(l2

+

pl

+

q)Q(

x)

=

Pm

(

x)

(★)(★’’)③

l

是特征方程

r

2

+

pr

+

q

=

0

的二重根。即l2

+pl

+q

=0，且2l

+p

=0,

Q

(

x)

=

Pm

(

x)要使(★’’)成立，必須

Q

(

x)

與

Pm

(

x)

同次，即Q(x)為m

+2次多項式\令Q(x)=x

2

Qm

(x)=x2

(b0

xm

+

+bm

),

y*

=

x2

Qm

(

x)

e

lx

.對

f

(

x)

=

e

l

x

Pm

(

x)

型，

為求其特解，可令

y*

=

xk

Qm

(

x)

e

l

x

.①

當(dāng)

λ

不是特征方程的根時，取

k

=

0;②

當(dāng)

λ

是特征方程的單根時，取

k=

1;③

當(dāng)

λ

是特征方程的二重根時，取

k

=

2.例

題例

題例1：求下列各方程的通解：(1)y

-

4

y

+

6

y

=

3

x

+

2.解：①求出對應(yīng)齊次微分方程的通解y

:由r

2

-4

r

+6

=0

r

=

2

–

i

2

,\y

=

e

2

x

(

C1

cos

2

x

+

C2

sin

2

x

).②求原方程的特解y*:f

(

x)

=

3

x

+

2

m

=

1,l

=0

不是特征方程的根，\令y*

=x0Q1

(x)e0

x=

b0

x

+

b1.l

=

02

x

).

y

=

e

2

x

(

C1

cos 2

x

+

C2

sin\令y*

=b0

x

+b1

,y

-

4

y

+

6

y

=

3

x

+

2.則

y*

=

b0

y*=0，代入原方程:

6

b0

x

-

4b0

+

6b1

=

3

x

+

26

b0

=

30

1比較系數(shù):

-

4b

+

6b

=

22

30

1

b

=

1,

b

=

2,

y*

=

1

x

+

2

.2

3212x)

+

1

x

+

2

.2

32x

+

C

sin\

y

=

e2

x

(C

cos(2)

y

+

y

-

2

y

=

cosh

x

.2e

x

+

e-

xcosh

x

=解：\

y￠+

y￠-

2

y

=

+2

2e-x

ex=

f1

(

x)

+

f2

(

x),步驟：①求y+y

-2

y

=0

的通解y

;*的特解y1

;e-

x②求y￠+y￠-2

y=③求2*22ex的特解

y

;y￠+

y￠-

2

y=④得原方程通解:y

=

y

+

y*

+

y*

.1

2

y￠+

y￠-

2

y

=

+2

2e-x

ex=

f1

(

x)

+

f2

(

x),①特征方程：r

2

+r

-2

=0,2\

y

=

C1

ex

+

C2

e-2

x

.e-x②對f1

=m

=

0,1=

a

e

,\令y14*

-

x

*1e

.-x

y

=

-ex③

對

f2

=

2

,m

=

0,2*

x=

bxe

,\令y16*2xxe

.

y

=l

=-1不是特征方程的根，l

=1

是特征方程的單根，

r1

=

1,

r2

=

-2,④

\

y=

C1

ex

+

C2

e-2

x

-

1

e-x

+

1

xe

x

.4

6?y

?x解：?P

=?Q\

e

x

-j

(

x)

=

j

(

x)

-

2j

(

x)(1)\

j

(

x)

-

2j

(

x)

+j

(

x)

=

ex求j

(x)-2j

(x)+j

(x)=0

的通解y特征方程r

2

-

2r

+

1

=

0

r

=

r

=

11

2\

y=

(c

+

c

x)ex1

2j

(0)

=

1,

求函數(shù)j

(

x),

使下列方程為全微分方程。y[e

x

-j

(

x)]dx

+[j

￠(

x)

-

2j

(

x)]dy

=

0例2.

設(shè)

j

(

x)

具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),

且

j

(0)

=

0,(2)求j

(x)-2j

(x)+j

(x)=e

x

的特解y

*令y*

=x2ae

x

=

ax2e

x\

y*

=

(2ax

+

ax2

)e

x

,

y*

=

(2a

+

4ax

+

ax2

)e

x代入原方程，得：

a

=

1

\

y*

=

1

x2ex2

2(3)

原方程的通解為：j

(

x)

=

y

+

y

*x=

(c

+

c

x)e

+1

2x

e2

x12(4)由初始條件j

(0)=0,j

(0)=1,可求得：c1

=

0,

c2

=

12j

(

x)

=

xe

x

+

1

x2ex

r1,2

=

1

,①特征方程：r

2

-2

r

+1

=0\

y

=

(

C1

+

C2

x

)

exm

=

1,x=0y

=

1②

對

f

(x)

=

xe

x

,

l

=

1解：即求

y(0)=0,例3：求

y￠-

2

y￠+

y

=

x

e

x

的在原點處與直線

y

=

x

相切的積分曲線。

y

-

2

y

+

y

=

xe

xl

=1

是特征方程的二重根，\

令

y*

=

x2

(b0

x

+

b1

)

e

x

,其中Q(x)=x2

(b0

x

+b1)\

y

=

(

C1

+

C2

x

)

ex610=

1

,

b

=0,Q

(

x)

=

6

b0

x

+

2b1

=

x

b通解：1621x3

)ex

;6y=

(

C

+

C x

+

y*

=

1

x3

ex

.y

x=0

=

1

y(0)

=

0,

y

-

2

y

+

y

=

xe

x\

令

y*

=

x2

(b0

x

+

b1

)

e

x

,其中Q(x)=x2

(b0

x

+b1)滿足

Q

(

x)

=

Pm

(

x)

(★’’)Q￠(

x)

=

3

b0

x2

+

2b1

x,6

所求曲線：y=(x

+1

x3

)e

x

.6y

=

(

C1

+

C2

x

+

1

x3

)ex;x

)e122

x2y￠=

(

C

+x

)e163

x+

(

C1

+

C2

x

+

y(0)

=

0,

y

(0)

=

1,

C1

=

0

C2

=

1x=0y

=

1通解：

y(0)

=

0,

y

-

2

y

+

y

=

xe

xy3

=xe

x

+e2

x

-e-x

是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個解，求此微分方程。y1

=

xe

x

+

e2

x

,

y2

=

xe

x

+

e-

x

,解

設(shè)所求微分方程為y

+

py

+

qy

=

f

(

x)由題意知，

y1

=

y1

-

y3

=

e-

x是對應(yīng)的齊次方也是對應(yīng)的齊程的解，

y2

=

y1

-

y2

=

e2

x

-

e-

x次方程的解，即

y1

,

y2

是

y

+

py

+

qy

=

0

的兩個特解，例4：已知(

y1

)￠=

-e-

x

,

(

y1

)￠=

e-

x

,(1)代入齊次方程得：1

-p

+q

=0(

y2

)￠=

2e2

x

+

e-

x

,

(

y2

)￠=

4e2

x

-

e-

x

,(2)代入齊次方程得：4

+2

p

+q

=0由(1)、(2)

解得：p

=-1,q

=-2,則所求的微分方程為再把y1

代入此方程得y

-

y

-

2

y

=

f

(

x)f

(

x)

=

(1

-

2

x)e

x

,所以所求的微分方程為y￠-y￠-2

y

=(1

-2

x)e

xy1

=

e-

xy2

=

e2

x

-

e-

xy1

=

xe

x

+

e2

x例5.

求

y(4)

+

3

y

-

4

y

=

e

x

的通解。

r1,2

=

–1,

f

=

ex

,10代入方程，

b

=

1

,101xe

x

,

y*

=.10121xx+

C3

cos

2

x

+

C4

sin

2

x

+

xe+

C

e\

y

=

C

e-

x解：由r

4

+

3r

2

-

4

=

0

(r

2

-1)(r

2

+

4)

=

0,r3,4

=

–

2

i

,\

y

=

C1ex

+

C2e-x

+

C3

cos

2

x

+

C4

sin

2

x

;則m

=0,且l

=1

是特征方程的單根，\令y*

=bxe

x

,為通解。課外作業(yè)習(xí)題11—9

(A)1(3,5), 2(1,3)習(xí)題

11

— 9(B)1(4),

2(1)二、f

(x)=e

l

x

[Pl

(x)cosw

x

+Pn

(x)sinw

x]型(Pl

(x)是l

次多項式，Pn

(x)是n

次多項式)由歐拉公式及類似前述分析，y

+

py

+

q

y

=

f

(

x)m

my*

=

xke

l

x

[R(1)(

x)cosw

x

+

R(2)(

x)sinw

x]m

=

max

(

l,

n

)

,當(dāng)當(dāng)l

–

iwl

–

iwr

2

+

pr

+

q

=

0不是特征方程的根時，取k

=0;是特征方程的根時，取k

=1.特征方程可設(shè)

(2)

的特解為：\

y

=

C1

cos

2

x

+

C2

sin

2

x

.y

*

=

e

x

(

2b

cos

x

-

2a

sin

x

),例1：求下列微分方程的通解：(1)

y￠+

4

y

=

2

e

x

sin

x

.解：由r

2

+4

=0

r

=

–

2

i

,

f

(

x)

=

2

e

x

sin

x

,

m

=

0,l

=

1,

w

=

1,

l

–iw

=1

–i

不是特征方程的根，\k

=0.令y*

=e

x

(a

cos

x

+bsin

x

),y

*

=

e

x

[(

a

+

b)cos

x

+

(b

-

a)sin

x

],代入方程得2b

cos

x

-

2a

sin

x

+

4a

cos

x

+

4b

sin

x

=

2sin

x\

y*

=

e

x

(

-

1

cos

x

+

2

sin

x

),5

52bcos

x

-

2a

sin

x

+

4a

cos

x

+

4b

sin

x

=

2sin

x

-

2a

+

4

b

=

2比較系數(shù)：

4

a

+

2

b

=

0

a

=

-

1

,

b

=

2,5

5令y*

=e

x

(a

cos

x

+bsin

x

),代入方程得y￠+

4

y

=

2

e

x

sin

x

.\

y

=

C1

cos

2

x

+

C2

sin

2

x

.為通解。5

y

=

C1

cos

2

x

+

C2

sin

2

x

-

1

ex

(cos

x

-

2sin

x).(2)

y￠+

4

y

=

cos2

x

.2

2①21②

對

f

=

1

,12

4

a

=

122③

對

f

=

1

cos

2

x

,

l

–iw

=–2

i

是特征方程的一對單復(fù)根，取

k

=

1,

\

令

y2*

=

x

(

Acos

2

x

+

B

sin

2

x

),y

=

C1

cos

2

x

+

C2

sin

2

x

.m

=0,且l

=0

不是特征方程的根，81取

k

=

0,

\

令

y

*

=a,

y

*

=

1

;m=0,

且l

=0,

w

=2，

r

=

–

2

i

,1

2解：

y￠+

4

y

=

1

+

1

cos

2

x

=

f

(

x)

+

f

(

x),令y2*

=x

(Acos

2

x

+B

sin

2

x

),y2

*

=

(

A

+

2B)cos

2

x

+

(B

-

2

Ax)sin

2

x

,y2*

=(4B

-

4

Ax)cos

2

x

-(4

A

+

4Bx)sin

2

x

,28

81

2=

C

cos

2

x

+

C

sin

2

x

+

1

xsin

2

x

+

1

.\

y

=

y

+

y1

*

+

y2

*y

=

C1

cos

2

x

+

C2

sin

2

x

.81y

*

=

1

;12

21

2+

1

cos

2

x

=

f

(

x)

+

f

(

x),y￠+

4

y

=

cos2

x

=

4B

cos

2

x

-

4

Asin

2

x

=

1

cos

2

x

,82

y

*

=

1

x

sin

2

x

,代入方程1

-

4A

=

0

4B

=

28

A

=

0,

B

=

1,例2.

設(shè)

f

(

x)

二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),

且滿足方程x0(

x

-

t

)

f

(t

)

dtf

(

x)

=

sin

x

-求f

(x).解:x0x0t f

(t

)

dt,f

(t

)

dt

+f

(

x)

=

-sin

x

-

f

(

x)f

(

x)

=

sin

x

-

x則

f

(

x)

=

cos

x

-x0f

(t

)dt

-

x

f

(

x)

+

x

f

(

x)問題化為解初值問題:f

(

x)

+

f

(

x)

=

-sin

xf

(0)

=

0

,最后求得f

(0)

=

1請同學(xué)們完成求解過程.課外作業(yè)習(xí)題11—9

(A)1(6,8),

2(2)習(xí)題

11

— 9(B)1(1),

2(2),

5§10.歐拉方程(L.Euler

1707—1783)瑞士數(shù)學(xué)家讀讀歐拉，這是我們一切人的老師?！绽箤τ行┨厥獾淖兿禂?shù)線性微分方程，可以通過變量代換化成常系數(shù)線性微分方程，從而求得其解。歐拉方程就是其中一種。形如：xn

y(

n)

+

p

xn-1

y(

n-1)

+

+

p

xy

+

p y

=

f

(

x)1

n-1

n(p1

,p2

,,pn

為常數(shù))的方程稱為歐拉方程。xn

y(

n)

+

p

xn-1

y(

n-1)

+

+

p

xy

+

p y

=

f

(

x)d

xdt

xy￠=

d

y

;d

x x

dtdxd

2

y

d

1

d

yy￠=

2

=

(22dtdtd

2

y

dy-

;

x

y￠=同理，233dtdtdtd

3

y

d

2

y

dy-

3

+

2

;x y￠￠

=dt

d

x x

dty￠=

d

y

=

d

y

dt

=

1

d

y

,dtx21

d

y)

=

-1

d

2

y d

y=

(

-

)x2

dt

2

dtd

x+

x

dt

21

d

2

y

dt令

x

=

e

t

,

t

=

ln

x

,(

x

<

0

時,

令

x

=

e

-

t

)1

n-1

n解法：當(dāng)x

>0

時作變換，(x

<0

時類似討論),d引進(jìn)算子：D

=dt

,d

y則Dy

=dt

,dtd

tdt

x

y￠=2d

2

y d

y2-

=

D y

-

Dy2dtdt

dt3

2d

3

y d

2

y d

y3-

3

+

2x

y￠￠

==

D3

y

-

3D2

y

+

2Dy

=

D

(

D

-

1)(

D

-

2)

y

;一般：xky(k

)=D(D

-1)(D

-2)(D

-k

+1)y(k

=

1,

2,

,

n),22dtd

2

yD y

==

D(

D

-1)

y

,

x

y￠=

d

y

=

Dy

,1nxy

+

p y

=

f

(

x