利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

引入:在群山之中，各個山峰的頂端，雖然不一定是群山的最高處，但它卻是其附近的最高點.同樣，各個谷底雖然不一定是群山的最低處，但它卻是其附近的最低點.那么，在數(shù)學(xué)中，這種現(xiàn)象如何來刻畫呢？問題1:觀察函數(shù)y=f(x)在點x1

、x3

處的函數(shù)值f(x1)、f(x3)，與它們“附近”各點處的函數(shù)值相比有什么特點?探究點1:

函數(shù)的極值如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象.解析:f(x1)f(x3)yxOaby=f(x)x1x2x3x4f(x1)比x1“附近”各點處的函數(shù)值都大.f(x3)比x3“附近”各點處的函數(shù)值都大.解析:f(x2)f(x4)yxOaby=f(x)x1x2x3x4問題2:觀察函數(shù)y=f(x)在點x2

、x4

處的函數(shù)值f(x2)、f(x4)，與它們“附近”各點處的函數(shù)值相比有什么特點?f(x2)比x2“附近”各點處的函數(shù)值都小.f(x4)比x4“附近”各點處的函數(shù)值都小.函數(shù)的極值解析：1.圖中有哪些極值點？2.函數(shù)極值點可以有多個嗎？極大值一定比極小值大么？3.區(qū)間端點可能是極值點嗎？【想一想】1.d、e、f、g、h、i.2.可以,不一定.3.不可能.fabidegh探究點2:

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象.解析:f(x1)f(x3)yxOaby=f(x)x1x2x3x4問題1:函數(shù)y=f(x)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值有何特點？都等于0.f(x2)f(x4)解析:問題2:函數(shù)y=f(x)在極值點“附近”的導(dǎo)數(shù)值有何特點？極值點“附近”左側(cè)和右側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號.問題3:如果f′(x0)=0，則x0一定是函數(shù)y=f(x)的極值點嗎？解析:不一定,xyoy=x3可導(dǎo)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)極值點處的導(dǎo)數(shù)值

；導(dǎo)數(shù)值等于0的點

.一定等于0不一定是極值點，例1:求函數(shù)的極值.

解：令，解得列表如下：求可導(dǎo)函數(shù)y=f

(x)極值的一般步驟：(1)求函數(shù)的

；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)求方程

f′(x)=0的所有實根；(4)對每個實根進行檢驗，判斷在每個根的左右側(cè)，導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號變化情況：如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是

；如果f′(x)的符號由負變正，則f(x0)是

；

如果f′(x)的符號不改變，則f(x0)

.定義域極大值極小值不是極值導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點!解:例2：yxOaby=f(x)x1x2x3x42.可導(dǎo)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：1.函數(shù)極值的定義.函數(shù)極值點處的導(dǎo)數(shù)一定等于0；導(dǎo)數(shù)等于0的點不一定是極