概率一．解答題（共40小題）1．（2022秋?浙江月考）甲，乙兩位同學組隊去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學先答2道題，至少答對一題后，乙同學才有機會答題，同樣也是兩次機會．每答對一道題得10粒小豆．已知甲每題答對的概率均為p，乙第一題答對的概率為，第二題答對的概率為．若乙有機會答題的概率為．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量X的分布列及期望．2．（2022秋?麗水月考）自主招生和強基計劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié)．自主招生是學生通過高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應的降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分一流大學建設高校開展基礎學科招生改革試點（也稱強基計劃）．下表是某高校從2018年起至2022年通過自主招生或強基計劃在部分專業(yè)的招生人數(shù)：年份數(shù)學物理化學總計201847617201958518202069520202187621202298623請根據(jù)表格回答下列問題：（1）統(tǒng)計表明招生總數(shù)和年份間有較強的線性關(guān)系．記x為年份與2017的差，y為當年數(shù)學、物理和化學的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并以此預測2023年的數(shù)學、物理和化學的招生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）在強基計劃實施的首年，為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對2020年強基計劃錄取結(jié)果進行抽檢．此次抽檢從這20名學生中隨機選取3位學生進行評審．記選取到數(shù)學專業(yè)的學生人數(shù)為X，求隨機變量X的數(shù)學期望E（X）；（3）經(jīng)統(tǒng)計該校學生的本科學習年限占比如下：四年畢業(yè)的占76%，五年畢業(yè)的占16%，六年畢業(yè)的占8%．現(xiàn)從2018到2022年間通過上述方式被該校錄取的學生中隨機抽取1名，若該生是數(shù)學專業(yè)的學生，求該生恰好在2025年畢業(yè)的概率．附：為回歸方程，，．3．（2022秋?紹興月考）下表為從某患者動態(tài)心電圖中獲取的二十四小時的心率數(shù)據(jù)（單位：次/分鐘）123456789101112131415161718192021222324最慢心率x657068727072626171787272736065656562646262657267最快心率y981029310091991061231321461461389489859091838887889010594平均心率73797979758280869410010293827472747168696667718776（1）求最快心率y與最慢心率x的線性經(jīng)驗回歸方程（保留小數(shù)點后一位）；（2）依據(jù)已有數(shù)據(jù)估計該病患后續(xù)的心率變化．（i）設該病患后續(xù)48小時中平均心率大于等于100次/分的小時數(shù)為隨機變量X，估計X的期望；（ii）若該病患在后續(xù)48小時中共測出10小時平均心率大于等于100次/分，請運用統(tǒng)計學中的3σ原理分析該結(jié)果．參考公式：．參考數(shù)據(jù)：4．（2022秋?浙江月考）某校組織羽毛球比賽，每場比賽采用五局三勝制（每局比賽沒有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽），兩人第一局獲勝的概率均為，從第二局開始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局獲勝的概率為，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為，且一方第一局、第二局連勝的概率為．（1）在一場比賽中，求甲以3：1獲勝的概率；（2）設一場比賽的總局數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．5．（2022秋?杭州期中）某大學有A，B兩個餐廳為學生提供午餐與晚餐服務，甲、乙兩位學生每天午餐和晚餐都在學校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假設甲、乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．（Ⅰ）分別估計一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；（Ⅱ）記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）；（Ⅲ）假設M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，P（M）＞0，一般來說在推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．6．（2022秋?溫州月考）2021年11月10日，在英國舉辦的《聯(lián)合國氣候變化框架公約》第26次締約方大會上，100多個國家政府、城市、州和主要企業(yè)簽署了《關(guān)于零排放汽車和面包車的格拉斯哥宣言》，以在2035年前實現(xiàn)在主要市場、2040年前在全球范圍內(nèi)結(jié)束內(nèi)燃機銷售，電動汽車將成為汽車發(fā)展的大趨勢．電動汽車生產(chǎn)過程主要包括動力總成系統(tǒng)和整車制造及總裝．某企業(yè)計劃為某品牌電動汽車專門制造動力總成系統(tǒng)．（1）動力總成系統(tǒng)包括電動機系統(tǒng)、電池系統(tǒng)以及電控系統(tǒng)，而且這三個系統(tǒng)的制造互不影響．已知在生產(chǎn)過程中，電動機系統(tǒng)、電池系統(tǒng)以及電控系統(tǒng)產(chǎn)生次品的概率分別為，，．（ⅰ）求：在生產(chǎn)過程中，動力總成系統(tǒng)產(chǎn)生次品的概率；（ⅱ）動力總成系統(tǒng)制造完成之后還要經(jīng)過檢測評估，此檢測程序需先經(jīng)過智能自動化檢測，然后再進行人工檢測，經(jīng)過兩輪檢測恰能檢測出所有次品，已知智能自動化檢測的合格率為95%，求：在智能自動化檢測為合格品的情況下，人工檢測一件產(chǎn)品為合格品的概率．（2）隨著電動汽車市場不斷擴大，該企業(yè)通過技術(shù)革新提升了動力總成系統(tǒng)的制造水平．現(xiàn)針對汽車續(xù)航能力的滿意度進行用戶回訪．統(tǒng)計了100名用戶的數(shù)據(jù)，如下表：對續(xù)航能能力是否滿意產(chǎn)品批次合計技術(shù)革新之前技術(shù)革新之后滿意285785不滿意12315合計4060100試問是否有99.9%的把握可以認為用戶對續(xù)航能力的滿意度與該新款電動汽車動力總成系統(tǒng)的制造水平有關(guān)聯(lián)？參考公式：，n＝a+b+c+dP（χ2≥xa）＝α0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.8287．（2022秋?嘉興月考）某市決定利用兩年時間完成全國文明城市創(chuàng)建的準備工作，其中“禮讓行人”是交警部門主持的重點工作之一．“禮讓行人”即當機動車行經(jīng)人行橫道時應當減速慢行，遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行．如表是該市某一主干路口電子監(jiān)控設備抓拍的今年1﹣6月份機動車駕駛員不“禮讓行人”行為的人數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)．月份123456不“禮讓行人”333640394553（1）請利用所給的數(shù)據(jù)求不“禮讓行人”人數(shù)y與月份x之間的經(jīng)驗回歸方程＝x（1≤x≤12，x∈N），并預測該路口今年11月份不“禮讓行人”的機動車駕駛員人數(shù)（精確到整數(shù)）；（2）交警部門為調(diào)查機動車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年的關(guān)系，從這6個月內(nèi)通過該路口的機動車駕駛員中隨機抽查了100人，如表所示：不“禮讓行人”禮讓行人駕齡不超過3年1842駕齡3年以上436依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否據(jù)此判斷機動車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年有關(guān)？并說明理由．附：參考公式：，其中n＝a+b+c+d．獨立性檢驗臨界值表：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8288．（2022秋?上城區(qū)校級月考）有3名志愿者在2022年10月1號至10月5號期間參加核酸檢測工作．（Ⅰ）若每名志愿者在這5天中任選一天參加核酸檢測工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3名志愿者恰好連續(xù)3天參加核酸檢測工作的概率；（Ⅱ）若每名志愿者在這5天中任選兩天參加核酸檢測工作，且各志愿者的選擇互不影響，記ξ表示這3名志愿者在10月1號參加核酸檢測工作的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望E（ξ）．9．（2022?浙江開學）2022年8月28日“山水聯(lián)盟”高三開學考試，據(jù)統(tǒng)計共有6000名學生參加了聯(lián)考，其中男生共有3200名，女生共有2800名．為了解考試情況，對6000名學生采取分層抽樣的方式抽取60名學生調(diào)查數(shù)學成績，其中有29名男生數(shù)學成績優(yōu)秀，有21名女生數(shù)學成績優(yōu)秀．（1）是否有95%的把握認為“數(shù)學成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？（2）在本次考試抽樣調(diào)查中從數(shù)學成績沒有達到優(yōu)秀的10人中隨機抽取兩人做進一步追蹤調(diào)查，設抽到的女生人數(shù)為X，求X的概率分布列．參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中n＝a+b+c+d．臨界值表：P（χ2≥x0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82810．（2022秋?建平縣月考）第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，而北京也成為全球唯一主辦過夏季奧運會和冬季奧運會的雙奧之城．某學校為了慶祝北京冬奧會的召開，特舉行奧運知識競賽．參加的學生從夏奧知識題中抽取2題，冬奧知識題中抽取1題回答，已知學生（含甲）答對每道夏奧知識題的概率為，答對每道冬奧知識題的概率為，每題答對與否不影響后續(xù)答題．（1）學生甲恰好答對兩題的概率是多少？（2）求學生甲答對的題數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．11．（2022?蘇州模擬）甲、乙、丙三人進行圍棋比賽，規(guī)則如下：甲、乙進行第一局比賽，丙旁觀；每局比賽的勝者與旁觀者進行下一局比賽，負者下一局旁觀；直至有人累計勝兩局，則比賽結(jié)束，且先累計勝兩局者為本次比賽獲勝者．已知甲乙對弈，每局雙方獲勝的概率均為0.5，甲丙對弈、乙丙對弈，每局丙獲勝的概率均為0.4、對方獲勝的概率均為0.6，各局比賽結(jié)果相互獨立．（1）設本次比賽共進行了X局，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）若比賽結(jié)束時共進行了4局對弈，求丙是本次比賽獲勝者的概率．12．（2022?青島開學）為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080（1）根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有無關(guān)聯(lián)；（2）從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；（3）為了提高學生體育鍛煉的積極性，學校設置了“學習女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓練．已知甲控制球時，傳給乙的概率為，傳給丙的概率為；乙控制球時，傳給甲和丙的概率均為；丙控制球時，傳給甲的概率為，傳給乙的概率為．若先由甲控制球，經(jīng)過3次傳球后，乙隊員控制球的次數(shù)為X，求X的分布列與期望E（X）．附：α0.0100.0050.001χα6.6357.87910.82813．（2022春?豐城市校級期末）為服務文明城市創(chuàng)建工作，豐城九中校團委暑期計劃招募志愿者，對前來報名者先后進行筆試和面試兩個環(huán)節(jié)測試．筆試共有備選題6道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機挑選出4道題進行測試，答對3道或4道題者，直接錄用為志愿者，否則進入面試環(huán)節(jié)；面試共有100分，面試分只有高于90分者錄用為志愿者．已知高一、高二年級學生報名參加測試，在這6道筆試題中，高一年級學生能答對每道題的概率均為，高二年級學生能答對其中的4道；在面試環(huán)節(jié)，高一、高二學生面試成績高于90分的概率均為．（1）分別求高一年級學生、高二年級學生錄用為志愿者的概率；（2）現(xiàn)有3名高二年級學生參加志愿者選拔，記這3名學生錄用為志愿者的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．14．（2021秋?東昌府區(qū)校級期末）2021年暑假國內(nèi)部分地區(qū)出現(xiàn)新冠肺炎本土確診病例等情況，為精準做好“外防輸入、內(nèi)防反彈”疫情防控工作，有效控制和降低疫情傳播風險，某高校倡議“非必要，不外出”，科學規(guī)劃假期實踐活動，借助抖音平臺舉行了防疫知識宣講和防疫用品（口罩和消毒液的套裝組合）營銷大賽，現(xiàn)統(tǒng)計了某個團隊連續(xù)5天的售出量和收益情況，如表所示：售出量x/套76656收益y/元165148150125142（1）若x與y成線性相關(guān)，則某天售出9套防疫用品，預計收益為多少元？（2）營銷大賽結(jié)束后，該團隊決定將收益以獎學金的形式獎勵給該校品學兼優(yōu)的學生，規(guī)定：考入年級前200名，獲一等獎學金500元；考入年級第201～500名，獲二等獎學金300元；年級第501名及以后的學生將不獲得獎學金．假設甲、乙兩名學生獲得哪個等級的獎學金是相互獨立的；（?。┤艏?、乙兩名學生獲一等獎學金的概率均為，獲二等獎學金的概率均為，甲、乙兩名學生不獲得獎學金的概率均為，求甲、乙兩名學生所獲得獎學金總金額X的分布列；（ⅱ）若甲獲得一、二獎學金的概率分別為，，乙獲得一、二獎學金的概率分別為，，甲、乙兩名學生不獲得獎學金的概率分別為，，你認為甲、乙兩名學生獲得獎學金金額的期望值哪個更高？并說明理由．（附：＝，＝﹣．）15．（2021秋?貴州月考）數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復．數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽．（1）賽前小明在某數(shù)獨APP上進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x/天1234567y（秒/題）910800600440300240210現(xiàn)用y＝a+作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程（a，b用分數(shù)表示）．（2）小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨立，設比賽X局后結(jié)束，求隨機變量X的分布列及期望．參考數(shù)據(jù)（其中ti＝）：tiyiti2﹣7×217500.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．16．（2022?景德鎮(zhèn)模擬）某運動會中，新增加的“趣味乒乓球單打”是這屆運動會的熱門項目，比賽規(guī)則如下：兩人對壘，開局前抽簽決定由誰先發(fā)球（機會均等），此后均由每個球的贏球者發(fā)下一個球，對于每一個球，若發(fā)球者贏此球，發(fā)球者得1分，對手得0分；若對手贏得此球，發(fā)球者得0分，對手得2分．當有一人累計得分超過5分時，比賽就結(jié)束，得分高者獲勝．已知在選手甲和乙的對壘中，發(fā)球一方贏得此球的概率都是0.6，各球結(jié)果相互獨立．（1）假設開局前抽簽結(jié)果是甲發(fā)第一個球，求比賽出現(xiàn)比分2：2的概率；（2）已知現(xiàn)在比分3：3，接下來由甲發(fā)球，兩人又打了X個球后比賽結(jié)束，求X的分布列及數(shù)學期望．17．（2021秋?潮州期末）甲、乙兩所學校之間進行排球比賽，采用五局三勝制（先贏3局的學校獲勝，比賽結(jié)束），約定比賽規(guī)則如下：先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽，直到分出勝負．按照以往比賽經(jīng)驗，在男生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲校以3：1獲勝的概率；（2）記比賽結(jié)束時女生比賽的局數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望．18．（2022?浙江開學）為調(diào)查某小學學生的視力情況，隨機抽取了該校150名學生（男生100人，女生50人），統(tǒng)計了他們的視力情況，結(jié)果如下：男生中有60人視力正常，女生中有40人視力正常．（Ⅰ）是否有99%的把握認為視力正常與否與性別有關(guān)？（Ⅱ）如果用這150名學生中，男生和女生視力正常的頻率分別代替該校男生和女生視力正常的概率，且每位學生視力正常與否相互獨立．現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人（2男1女），設隨機變量X表示“3人視力正?！钡娜藬?shù)，試求X的分布列和數(shù)學期望．附：．P（χ2≥k）0.100.050.0250.010.005k2.7063.8415.0246.6357.87919．（2022秋?浙江月考）為應對氣候變化，我國計劃在2030年前實現(xiàn)碳排放量到達峰值，2060年前實現(xiàn)“碳中和”．某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機抽取50家企業(yè)進行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標”企業(yè)：硫排放量X[2.55，5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5，175）[175，20.5）[20.5，23.5）頻數(shù)56912864（1）假設該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均值，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得≈12.8，s≈5.2．試估計這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)；（2）通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標”企業(yè)，市政府決定對這8家“超標”企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)計劃在這8家“超標”企業(yè)中任取5家先進行跟蹤調(diào)查，設Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學期望．（參考數(shù)據(jù)：若X～X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．）20．（2022?浙江開學）某學校組織開展了“學習強國答題挑戰(zhàn)賽暨主題黨日活動”規(guī)則如下：每班派兩名選手參賽，每位選手回答三個題，滿分為60分，每題答對得10分，答錯不得分．某班派了甲、乙兩名同學參賽，且甲同學三題能回答正確的概率均為，乙同學三題能回答正確的概率依次為、、，兩人的累計得分為班級總得分，總得分不少于50分班級將獲得參加決賽的資格．（Ⅰ）三題答完結(jié)束后，記X為乙同學的累計得分，求X的分布列和期望；（Ⅱ）求班級獲得決賽資格的概率．21．（2022秋?拱墅區(qū)校級月考）新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外的所有其他能源汽車，被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力．在當今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導向與目標．某車企隨機調(diào)查了今年3月份購買本車企生產(chǎn)的汽車的100位車主，經(jīng)統(tǒng)計其購車種類與性別情況如下表：單位：人購置新能源汽車購置傳統(tǒng)燃油汽車總計男性501060女性251540總計7525100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下，是否可以認為購車種類與性別有關(guān)；（2）用樣本估計總體，用本車企售出汽車樣本的頻率代替售出汽車的概率，從該車企今年3月份售出的汽車中，隨機抽取3輛汽車，設被抽取的3輛汽車中屬于傳統(tǒng)燃油汽車的輛數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．附：χ2＝，n＝a+b+c+d．a(chǎn)＝P（χ2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（2022秋?浙江月考）甲乙兩人進行一場比賽，在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲獲勝的概率為p（0＜p＜1）．（1）若比賽采用五局三勝制，則求甲在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；（2）若比賽采用三局兩勝制，且p＝0.5，則比賽結(jié)束時，求甲獲勝局數(shù)X的期望；（3）結(jié)合（1）（2），比較甲在兩種賽制中獲勝的概率，談談賽制對甲獲得比賽勝利的影響．23．（2022秋?長沙月考）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日至22日在北京人民大會堂順利召開．某部門組織相關(guān)單位采取多種形式學習宣傳和貫徹黨的二十大精神．其中學習二十大精神競賽，甲、乙兩單位在聯(lián)合開展主題學習及知識競賽活動中通過此欄目進行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對或者都沒有全部答對則均記0分；一單位全部答對而另一單位沒有全部答對，則全部答對的單位記1分，沒有全部答對的單位記﹣1分，設每輪比賽中甲單位全部答對的概率為，乙單位全部答對的概率為，甲、乙兩單位答題相互獨立，且每輪比賽互不影響．（1）經(jīng)過1輪比賽，設甲單位的記分為X，求X的分布列和期望；（2）若比賽采取3輪制，試計算第3輪比賽后甲單位累計得分低于乙單位累計得分的概率．24．（2022秋?岳麓區(qū)校級月考）為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080（1）依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；（3）為了提高學生體育鍛煉的積極性，集團設置了“學習女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人．求第n次傳球后球在甲手中的概率．附：α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.82825．（2022秋?邵東市校級月考）2020年1月至2月由新型冠狀病毒引起的肺炎病例陡然增多，為了嚴控疫情擴散，做好重點人群的預防工作，某地區(qū)共統(tǒng)計返鄉(xiāng)人員100人，其中50歲及以上的共有40人．這100人中確診的有10人，其中50歲以下的人占．（1）試估計50歲及以上的返鄉(xiāng)人員因感染新型冠狀病毒而引起肺炎的概率；（2）請將下面的列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，分析確診為新冠肺炎與年齡是否有關(guān)．確診為新冠肺炎（單位：人）未確診為新冠肺炎（單位：人）合計50歲及以上4050歲以下合計10100附表及公式：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828，其中n＝a+b+c+d．26．（2022秋?濰坊月考）2022年11月20日，卡塔爾足球世界杯正式開幕，世界杯上的中國元素隨處可見．從體育場建設到電力保障，從賽場內(nèi)的裁判到賽場外的吉祥物……中國制造為卡塔爾世界杯提供了強有力的支持．國內(nèi)也再次掀起足球熱潮．某地足球協(xié)會組建球隊參加業(yè)余比賽．該足球隊教練組對球員的使用是依據(jù)數(shù)據(jù)分析，為了考查球員甲對球隊的貢獻，作出如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計（甲參加過的比賽均分出了勝負）：球隊負球隊勝總計甲參加32932甲未參加71118總計104050（1）據(jù)此能否有97.5%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關(guān)；（2）根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，乙球員能夠勝任邊鋒、中鋒、后腰以及后衛(wèi)四個位置，且出場率分別為：0.2，0.4，0.3，0.1，當出任邊鋒、中鋒后腰以及后衛(wèi)時，球隊輸球的概率依次為：0.4、0.3、0.4、0.2．則：①當乙球員參加比賽時，求球隊某場比賽輸球的概率；②當乙球員參加比賽時，在球隊輸了某場比賽的條件下，求乙球員擔任邊鋒的概率；③如果你是教練員，應用概率統(tǒng)計有關(guān)知識，該如何使用乙球員？附表及公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828．27．（2022秋?新鄉(xiāng)月考）乒乓球被稱為中國的“國球”．甲、乙兩位乒乓球愛好者決定進行一場友誼賽，制定如下比賽規(guī)則：比賽分兩天進行，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局者獲得該天的勝利．若兩天比賽中一方連續(xù)勝利，則該方獲得勝利；若兩天比賽中雙方各勝一天，則第三天加賽一局，一局定勝負．設每局比賽甲獲勝的概率為p（0＜p＜1），各局比賽相互獨立，沒有平局．（1）當時，求第一天比賽甲獲勝的概率；（2）記比賽結(jié)束時的總局數(shù)為Y，當時，求隨機變量Y的分布列和數(shù)學期望．28．（2022秋?大祥區(qū)校級月考）奧密克戎BA.5變異毒株的潛伏期又縮短了，但具體到個人，感染后潛伏期的長短還是有個體差異的．潛伏期是指已經(jīng)感染了奧密克戎變異株，但未出現(xiàn)臨床癥狀的和體征的一段時期，奧密克戎潛伏期做核算檢測可能為陰性，建議可以多做幾次核算檢測，有助于明確診斷．某研究機構(gòu)對某地1000名患者進行了調(diào)查和統(tǒng)計，得到如下表：潛伏期：（單位：天）[0，2]（2，4]（4，6]（6，8]（8，10]（10，12]（12，14]人數(shù)80210310250130155（1）求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值．（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認為潛伏期與患者年齡有關(guān)．潛伏期≤6天潛伏期＞6天總計50歲以上（含50）15050歲以下85總計300（3）為了做好防疫工作，各個部門、單位抓緊將各項細節(jié)落到實處，對“確診”、“疑似”、“無法明確排除”和“確診密接者”等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人．若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認為“確診患者的密接接觸”，現(xiàn)醫(yī)護人員要對這5人進行逐一“單人單管”核酸檢測，只要出現(xiàn)一例陽性，則該小區(qū)將被劃為“封控區(qū)”．假設每人被確診的概率為p（0＜p＜1）且相互獨立，若當p＝p0時，至少檢測了4人該小區(qū)就被劃為“封控區(qū)”的概率取得最大值，求p0．附：，其中n＝a+b+c+dP（χ2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.87929．（2022秋?湖北月考）2022年9月28日晚，中國女排在世錦賽小組賽第三輪比賽中，又一次以3：0的比分酣暢淋漓地戰(zhàn)勝了老對手日本女排，沖上了熱搜榜第八位，令國人振奮！同學們，你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎？其規(guī)則是：每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）．比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負隊積0分；以3：2取勝的球隊積2分，負隊積1分．已知甲、乙兩隊比賽，甲隊每局獲勝的概率為．（1）如果甲、乙兩隊比賽1場，求甲隊的積分X的概率分布列和數(shù)學期望；（2）如果甲、乙兩隊約定比賽2場，求兩隊積分相等的概率．30．（2022秋?雨花區(qū)校級月考）某新型智能家電在網(wǎng)上銷售，由于安裝和使用等原因，必須有售后服務人員上門安裝和現(xiàn)場教學示范操作，所以每個銷售地區(qū)需配備若干售后服務店．A地區(qū)通過幾個月的網(wǎng)上銷售，發(fā)現(xiàn)每月利潤（萬元）與該地區(qū)的售后服務店個數(shù)有相關(guān)性．如表中x表示該地區(qū)的售后服務店個數(shù)，y表示在有x個售后服務店情況下的月利潤額．x（個）23456y（萬元）1934465769（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）假設x個售后服務店每月需消耗資金t＝3.8+0.5x2（單位：萬元），請結(jié)合（1）中的線性回歸方程，估算A地區(qū)開設多少個售后服務店時，才能使A地區(qū)每月所得利潤平均到每個售后服務店最高．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，．參考數(shù)據(jù)：．31．（2022秋?湖北月考）為進一步推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)健康有序發(fā)展，財政部、工業(yè)和信息化部、科技部，發(fā)展改革委聯(lián)合發(fā)布了《財政部工業(yè)和信息化部科技部發(fā)展改革委關(guān)于2022年新能源汽車推廣應用財政補貼政策的通知》，進一步明確了2022年新能源汽車推廣應用財政補貼政策有關(guān)要求．為了解消費者對新能源汽車的購買意愿與財政補貼幅度的關(guān)系，隨機選取200人進行調(diào)查，整理數(shù)據(jù)后獲得如下統(tǒng)計表：愿意購買新能源汽車不愿意購買新能源汽車購買時補貼大于1.5萬6535購買時補貼不大于1.5萬4555（1）能否有95%的把握認為新能源汽車的購買意愿與購買時財政補貼幅度有關(guān)？（2）若從購買時補貼大于1.5萬的樣本中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，從這20人中隨機抽取3人調(diào)查家族收入情況，記X表示這3人中愿意購買新能源汽車的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82832．（2022秋?禹州市校級月考）2022年2月4日﹣2月20日北京冬奧會如期舉行，各國媒體爭相報道運動會盛況，因此每天有很多民眾通過手機、電視等方式觀看冬奧新聞．某機構(gòu)將每天關(guān)注冬奧時間在1小時以上的人稱為“冬奧迷”，否則稱為“非冬奧迷”，通過調(diào)查并從參與調(diào)查的人群中隨機抽取了200人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：非冬奧迷冬奧迷合計50歲及以下406010050歲以上8020100合計12080200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“非冬奧迷”還是“冬奧迷”與年齡有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的50歲及以下的人中，按“非冬奧迷”與“冬奧迷”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后，再從這5人中隨機選出2人，其中“冬奧迷”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望．參考公式：，其中n＝a+b+c+d．參考數(shù)據(jù)：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63533．（2022秋?河南月考）3月30日，由中國教育國際交流協(xié)會主辦的2022聯(lián)合國國際教育日﹣中國活動在京舉辦，活動主題為“她改變：女童和婦女教育與可持續(xù)發(fā)展”，教育部副部長、中國聯(lián)合國教科文組織全國委員會主任田學軍以視頻方式出席活動，來自20多個國家的駐華使節(jié)、國際組織代表和專家學者在線參加活動．會前調(diào)查組對甲、乙兩地區(qū)婦女受教育情況進行了調(diào)查，獲得了一個容量為300的樣本，調(diào)查表如下．完成了義務教育未完成義務教育合計甲地100乙地4070合計300（1）完成上面2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認為受教育程度與地區(qū)有關(guān)；（2）調(diào)查組從該樣本的完成義務教育中根據(jù)地區(qū)按分層抽樣抽取出7人，參加一次交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位婦女都是來自甲地的概率．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82834．（2022秋?安陽月考）產(chǎn)品開發(fā)是企業(yè)改進老產(chǎn)品、開發(fā)新產(chǎn)品，使其具有新的特征或用途，以滿足市場需求的流程．某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進入到樣品試制階段，需要對5個樣品進行性能測試，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測試方案，每個樣品隨機選擇其中的一種進行測試，已知選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結(jié)果互不影響．（1）若3個樣品選擇甲方案，2個樣品選擇乙方案．（i）求5個樣品全部測試合格的概率；（ii）求4個樣品測試合格的概率．（2）若測試合格的樣品個數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進行測試的樣品個數(shù)．35．（2022?濟寧三模）某娛樂節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下：選手依次參加第一、二、三關(guān)，每關(guān)闖關(guān)成功可獲得的獎金分別為600元、900元、1500元，獎金可累加；若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應獎金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)；若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束，選手小李參加該闖關(guān)游戲，已知他第一、二、三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，，第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響．（1）求小李第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎金為零的概率；（2）設小李所得總獎金為X，求隨機變量X的分布列及其數(shù)學期望．36．（2022春?天河區(qū)校級月考）在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機抽取了參加本次質(zhì)檢考試的100名學生的數(shù)學考試成績，并將其統(tǒng)計如下表所示．成績X[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125]人數(shù)Y62442208（1）已知本次質(zhì)檢中的數(shù)學測試成績X～N（μ，σ2），其中μ近似為樣本的平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，若該市有5萬考生，試估計數(shù)學成績介于90～120分的人數(shù)；（以各組的區(qū)間的中點值代表該組的取值）（2）現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績在[75，85）以及[115，125]之間的學生中隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取3人進行試卷分析，記被抽取的3人中成績在[75，85）之間的人數(shù)為X，求X的分布列以及期望E（X）．參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．37．（2022?河南模擬）相對于二維碼支付，刷臉支付更加便利，以往出門一部手機解決所有，現(xiàn)在連手機都不需要了，畢竟手機支付還需要攜帶手機，打開“掃一掃”也需要手機信號和時間，從而刷臉支付可能將會替代手機支付，成為新的支付方式．現(xiàn)從某大型超市門口隨機抽取100名顧客進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：男性女性總計刷臉支付2570非刷臉支付10總計100（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為顧客是否使用刷臉支付與性別有關(guān)；（2）根據(jù)是否刷臉支付，按照分層抽樣的方法在女性中抽取9名，為進一步了解情況，再從抽取的9人中隨機抽取4人，求抽到使用刷臉支付的女性人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.82838．（2022?襄城區(qū)校級四模）社會生活日新月異，看紙質(zhì)書的人越來越少，更多的年輕人（35歲以下）喜歡閱讀電子書籍，他們認為電子書不僅攜帶方便，而且可以隨時隨地閱讀，而年長者（35歲以上）更喜歡閱讀紙質(zhì)書．現(xiàn)在某書店隨機抽取40名顧客進行調(diào)查，得到了如下列聯(lián)表：年長者年輕人總計喜歡閱讀電子書1620喜歡閱讀紙質(zhì)書8總計40（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有90%的把握認為喜歡閱讀電子書與年齡有關(guān)；（2）若在年輕人中按照分層抽樣的方法抽取了7人，為進一步了解情況，再從抽取的7人中隨機抽取4人，求抽到喜歡閱讀電子書的年輕人人數(shù)X的分布列及數(shù)學期望．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.87939．（2022?湖南三模）唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史，制作工藝十分復雜，且優(yōu)質(zhì)品的檢驗異常嚴格．優(yōu)質(zhì)品的檢驗方案是：先從燒制的這批唐三彩中任取3件進行檢驗，記這3件唐三彩中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)為n，如果n＝2，再從這批唐三彩中任取3件進行檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批唐三彩通過檢驗；如果n＝3，再從這批唐三彩中任取1件進行檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批唐三彩通過檢驗；其他情況下，這批唐三彩都不能通過檢驗，假設這批唐三彩的優(yōu)質(zhì)品率為，即取出的每件唐三彩是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件唐三彩是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立．（1）求這批唐三彩通過優(yōu)質(zhì)品檢驗的概率；（2）已知每件唐三彩的檢驗費用為100元，且抽取的每件唐三彩都需要檢驗，對這批唐三彩進行檢驗所需的總費用記為X元，求X的分布列及數(shù)學期望．40．（2022秋?沈陽月考）據(jù)悉強基計劃的校考由試點高校自主命題，?？歼^程中達到筆試優(yōu)秀才能進入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設有三門考試科目且每門科目是否達到優(yōu)秀相互獨立．若某考生報考甲大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報考乙大學，每門科目達到優(yōu)秀的概率依次為，，n，其中0＜n＜1．（Ⅰ）若，分別求出該考生報考甲、乙兩所大學在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達到優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）強基計劃規(guī)定每名考生只能報考一所試點高校，若以筆試過程中達到優(yōu)秀科目個數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進入甲大學的面試環(huán)節(jié)，求n的范圍．

參考答案與試題解析一．解答題（共40小題）1．（2022秋?浙江月考）甲，乙兩位同學組隊去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學先答2道題，至少答對一題后，乙同學才有機會答題，同樣也是兩次機會．每答對一道題得10粒小豆．已知甲每題答對的概率均為p，乙第一題答對的概率為，第二題答對的概率為．若乙有機會答題的概率為．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量X的分布列及期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）X的分布列為：X010203040PE（X）＝．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，當甲至少答對1題后，乙才有機會答題，所以乙有機會答題的概率，解得；（Ⅱ）X的可能取值為0，10，20，30，40，，，，，，所以X的分布列為：X010203040P．2．（2022秋?麗水月考）自主招生和強基計劃是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié)．自主招生是學生通過高校組織的筆試和面試之后，可以得到相應的降分政策.2020年1月，教育部決定2020年起不再組織開展高校自主招生工作，而是在部分一流大學建設高校開展基礎學科招生改革試點（也稱強基計劃）．下表是某高校從2018年起至2022年通過自主招生或強基計劃在部分專業(yè)的招生人數(shù)：年份數(shù)學物理化學總計201847617201958518202069520202187621202298623請根據(jù)表格回答下列問題：（1）統(tǒng)計表明招生總數(shù)和年份間有較強的線性關(guān)系．記x為年份與2017的差，y為當年數(shù)學、物理和化學的招生總?cè)藬?shù)，試用最小二乘法建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并以此預測2023年的數(shù)學、物理和化學的招生總?cè)藬?shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）在強基計劃實施的首年，為了保證招生錄取結(jié)果的公平公正，該校招生辦對2020年強基計劃錄取結(jié)果進行抽檢．此次抽檢從這20名學生中隨機選取3位學生進行評審．記選取到數(shù)學專業(yè)的學生人數(shù)為X，求隨機變量X的數(shù)學期望E（X）；（3）經(jīng)統(tǒng)計該校學生的本科學習年限占比如下：四年畢業(yè)的占76%，五年畢業(yè)的占16%，六年畢業(yè)的占8%．現(xiàn)從2018到2022年間通過上述方式被該校錄取的學生中隨機抽取1名，若該生是數(shù)學專業(yè)的學生，求該生恰好在2025年畢業(yè)的概率．附：為回歸方程，，．【答案】（1），24；（2）；（3）．【解答】解：（1）由題意，x的取值集合為{1，2，3，4，5}，y的取值集合為{17，18，20，21，23}，，，則，，故回歸方程為，當x＝6時，則，故預測2023年的招生總?cè)藬?shù)為24人；（2）由已知條件可知，X可取0，1，2，3，，，，，故E（X）＝＝；（3）因為2025年畢業(yè)，則入學年份可能為2021年，2020年，2019年，由條件概率公式可知，該生被數(shù)學系錄取的條件下，其在第k年入學的概率為：，故，，，故．3．（2022秋?紹興月考）下表為從某患者動態(tài)心電圖中獲取的二十四小時的心率數(shù)據(jù)（單位：次/分鐘）123456789101112131415161718192021222324最慢心率x657068727072626171787272736065656562646262657267最快心率y981029310091991061231321461461389489859091838887889010594平均心率73797979758280869410010293827472747168696667718776（1）求最快心率y與最慢心率x的線性經(jīng)驗回歸方程（保留小數(shù)點后一位）；（2）依據(jù)已有數(shù)據(jù)估計該病患后續(xù)的心率變化．（i）設該病患后續(xù)48小時中平均心率大于等于100次/分的小時數(shù)為隨機變量X，估計X的期望；（ii）若該病患在后續(xù)48小時中共測出10小時平均心率大于等于100次/分，請運用統(tǒng)計學中的3σ原理分析該結(jié)果．參考公式：．參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）；（2）（i）4；（ii）答案見解析．【解答】解：（1），，故；（2）（i）由已知數(shù)據(jù)可得每小時平均心率大于等于100次的概率約為，故X的分布列近似二項分布X～B（48，），故E（X）＝；（ii）由（i）可得，故，由10＞E（x）+3σ得，“48小時中共測出10小時平均心率大于等于100次/分”幾平不可能發(fā)生，故病患極有可能發(fā)生病情突變．4．（2022秋?浙江月考）某校組織羽毛球比賽，每場比賽采用五局三勝制（每局比賽沒有平局，先勝三局者獲勝并結(jié)束比賽），兩人第一局獲勝的概率均為，從第二局開始，每局獲勝的概率受上局比賽結(jié)果的影響，若上局獲勝，則該局獲勝的概率為，若上局未獲勝，則該局獲勝的概率為，且一方第一局、第二局連勝的概率為．（1）在一場比賽中，求甲以3：1獲勝的概率；（2）設一場比賽的總局數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）X的分布列為：X345P（X）．【解答】解：（1）令事件Ai為甲在第i局獲勝，i＝1，2，3，甲連勝兩局的概率，解得，故在一場比賽中，甲以3：1獲勝的概率為；（2）由題意可知，X可能的值為3，4，5，，，，故X的分布列為：X345P（X）故．5．（2022秋?杭州期中）某大學有A，B兩個餐廳為學生提供午餐與晚餐服務，甲、乙兩位學生每天午餐和晚餐都在學校就餐，近100天選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計如下：選擇餐廳情況（午餐，晚餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲30天20天40天10天乙20天25天15天40天假設甲、乙選擇餐廳相互獨立，用頻率估計概率．（Ⅰ）分別估計一天中甲午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率，乙午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率；（Ⅱ）記X為甲、乙在一天中就餐餐廳的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望E（X）；（Ⅲ）假設M表示事件“A餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學生去A餐廳就餐”，P（M）＞0，一般來說在推出優(yōu)惠套餐的情況下學生去該餐廳就餐的概率會比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐廳就餐的概率要大，證明：．【答案】（Ⅰ）0.3；0.4；（Ⅱ）X的分布列為：X12P0.10.9E（X）＝1.9；（Ⅱ）證明過程見解析．【解答】解：（Ⅰ）設事件C為“一天中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐”，事件D為“乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐”，因為100個工作日中甲員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的天數(shù)為30，乙員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的天數(shù)為40，所以，．（Ⅱ）由題意知，甲員工午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.1，乙員工午餐和晚餐都選擇A餐廳就餐的概率為0.2，記X為甲、乙兩員工在一天中就餐餐廳的個數(shù)，則X的所有可能取值為1、2，所以P（X＝1）＝0.3×0.2+0.1×0.4＝0.1，P（X＝2）＝1﹣P（X＝1）＝0.9，所以X的分布列為：X12P0.10.9所以X的數(shù)學期望E（X）＝1×0.1+2×0.9＝1.9．（Ⅲ）證明：由題知，即，即P（NM）＞P（N）?P（M），即P（NM）﹣P（N）P（NM）＞P（N）?P（M）﹣P（N）P（NM），即，即，即．6．（2022秋?溫州月考）2021年11月10日，在英國舉辦的《聯(lián)合國氣候變化框架公約》第26次締約方大會上，100多個國家政府、城市、州和主要企業(yè)簽署了《關(guān)于零排放汽車和面包車的格拉斯哥宣言》，以在2035年前實現(xiàn)在主要市場、2040年前在全球范圍內(nèi)結(jié)束內(nèi)燃機銷售，電動汽車將成為汽車發(fā)展的大趨勢．電動汽車生產(chǎn)過程主要包括動力總成系統(tǒng)和整車制造及總裝．某企業(yè)計劃為某品牌電動汽車專門制造動力總成系統(tǒng)．（1）動力總成系統(tǒng)包括電動機系統(tǒng)、電池系統(tǒng)以及電控系統(tǒng)，而且這三個系統(tǒng)的制造互不影響．已知在生產(chǎn)過程中，電動機系統(tǒng)、電池系統(tǒng)以及電控系統(tǒng)產(chǎn)生次品的概率分別為，，．（?。┣螅涸谏a(chǎn)過程中，動力總成系統(tǒng)產(chǎn)生次品的概率；（ⅱ）動力總成系統(tǒng)制造完成之后還要經(jīng)過檢測評估，此檢測程序需先經(jīng)過智能自動化檢測，然后再進行人工檢測，經(jīng)過兩輪檢測恰能檢測出所有次品，已知智能自動化檢測的合格率為95%，求：在智能自動化檢測為合格品的情況下，人工檢測一件產(chǎn)品為合格品的概率．（2）隨著電動汽車市場不斷擴大，該企業(yè)通過技術(shù)革新提升了動力總成系統(tǒng)的制造水平．現(xiàn)針對汽車續(xù)航能力的滿意度進行用戶回訪．統(tǒng)計了100名用戶的數(shù)據(jù)，如下表：對續(xù)航能能力是否滿意產(chǎn)品批次合計技術(shù)革新之前技術(shù)革新之后滿意285785不滿意12315合計4060100試問是否有99.9%的把握可以認為用戶對續(xù)航能力的滿意度與該新款電動汽車動力總成系統(tǒng)的制造水平有關(guān)聯(lián)？參考公式：，n＝a+b+c+dP（χ2≥xa）＝α0.10.050.010.0050.001xa2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（i）；（ii）；（2）有99.9%的把握認為兩事件有關(guān)聯(lián)．【解答】解：（1）（i）動力總成系統(tǒng)產(chǎn)生次品的概率；（ii）記自動化檢測為合格品為事件A，人工檢測為合格品為事件，∴；（2），故有99.9%的把握認為兩事件有關(guān)聯(lián)．7．（2022秋?嘉興月考）某市決定利用兩年時間完成全國文明城市創(chuàng)建的準備工作，其中“禮讓行人”是交警部門主持的重點工作之一．“禮讓行人”即當機動車行經(jīng)人行橫道時應當減速慢行，遇行人正在通過人行橫道，應當停車讓行．如表是該市某一主干路口電子監(jiān)控設備抓拍的今年1﹣6月份機動車駕駛員不“禮讓行人”行為的人數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)．月份123456不“禮讓行人”333640394553（1）請利用所給的數(shù)據(jù)求不“禮讓行人”人數(shù)y與月份x之間的經(jīng)驗回歸方程＝x（1≤x≤12，x∈N），并預測該路口今年11月份不“禮讓行人”的機動車駕駛員人數(shù)（精確到整數(shù)）；（2）交警部門為調(diào)查機動車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年的關(guān)系，從這6個月內(nèi)通過該路口的機動車駕駛員中隨機抽查了100人，如表所示：不“禮讓行人”禮讓行人駕齡不超過3年1842駕齡3年以上436依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否據(jù)此判斷機動車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年有關(guān)？并說明理由．附：參考公式：，其中n＝a+b+c+d．獨立性檢驗臨界值表：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）預測該路口今年11月份不“禮讓行人”的機動車駕駛員人數(shù)為68人；（2）依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能判斷機動車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年有關(guān)．【解答】解：（1），，＝＝＝3.6，，∴線性回歸方程為．當x＝11時，．即預測該路口今年11月份不“禮讓行人”的機動車駕駛員人數(shù)為68人；（2）≈5.594大于3.841．依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能判斷機動車駕駛員“禮讓行人”行為與駕齡滿3年有關(guān)．8．（2022秋?上城區(qū)校級月考）有3名志愿者在2022年10月1號至10月5號期間參加核酸檢測工作．（Ⅰ）若每名志愿者在這5天中任選一天參加核酸檢測工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3名志愿者恰好連續(xù)3天參加核酸檢測工作的概率；（Ⅱ）若每名志愿者在這5天中任選兩天參加核酸檢測工作，且各志愿者的選擇互不影響，記ξ表示這3名志愿者在10月1號參加核酸檢測工作的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學期望E（ξ）．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列為：ξ0123P期望為．【解答】解：（Ⅰ）3名志愿者每人任選一天參加核酸檢測，共有53種不同的結(jié)果，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．設“3名志愿者恰好連續(xù)3天參加核酸檢測工作”為事件A，則該事件共包括不同的結(jié)果．所以．（Ⅱ）ξ的可能取值為0、1、2、3，，，ξ的分布列為：ξ0123P．9．（2022?浙江開學）2022年8月28日“山水聯(lián)盟”高三開學考試，據(jù)統(tǒng)計共有6000名學生參加了聯(lián)考，其中男生共有3200名，女生共有2800名．為了解考試情況，對6000名學生采取分層抽樣的方式抽取60名學生調(diào)查數(shù)學成績，其中有29名男生數(shù)學成績優(yōu)秀，有21名女生數(shù)學成績優(yōu)秀．（1）是否有95%的把握認為“數(shù)學成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？（2）在本次考試抽樣調(diào)查中從數(shù)學成績沒有達到優(yōu)秀的10人中隨機抽取兩人做進一步追蹤調(diào)查，設抽到的女生人數(shù)為X，求X的概率分布列．參考公式：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中n＝a+b+c+d．臨界值表：P（χ2≥x0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001x02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）抽取男生數(shù)為，女生數(shù)為，根據(jù)列聯(lián)表：優(yōu)秀不優(yōu)秀合計男生29332女生21728合計501060可以求出，P（χ2≥3.841）＝0.05，而2.625＜3.841，∴沒有95%的把握認為數(shù)學成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)系．（2）由題意可知：10名成績末達到優(yōu)秀的人中男生有3人，女生有7人，故X可取的值為0，1，2，故，分布列為：X012P10．（2022秋?建平縣月考）第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日至20日在北京和張家口舉行，而北京也成為全球唯一主辦過夏季奧運會和冬季奧運會的雙奧之城．某學校為了慶祝北京冬奧會的召開，特舉行奧運知識競賽．參加的學生從夏奧知識題中抽取2題，冬奧知識題中抽取1題回答，已知學生（含甲）答對每道夏奧知識題的概率為，答對每道冬奧知識題的概率為，每題答對與否不影響后續(xù)答題．（1）學生甲恰好答對兩題的概率是多少？（2）求學生甲答對的題數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望：．【解答】解：（1）學生甲恰好答對兩題的概率P＝（）2×+2×××＝．（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，所以P（X＝0）＝（）2×＝，P（X＝1）＝×××+（）2×＝，由（1）知P（X＝2）＝，又P（X＝3）＝（）2×＝，所以X的分布列為：X0123PE（X）＝1×+2×+3×＝．11．（2022?蘇州模擬）甲、乙、丙三人進行圍棋比賽，規(guī)則如下：甲、乙進行第一局比賽，丙旁觀；每局比賽的勝者與旁觀者進行下一局比賽，負者下一局旁觀；直至有人累計勝兩局，則比賽結(jié)束，且先累計勝兩局者為本次比賽獲勝者．已知甲乙對弈，每局雙方獲勝的概率均為0.5，甲丙對弈、乙丙對弈，每局丙獲勝的概率均為0.4、對方獲勝的概率均為0.6，各局比賽結(jié)果相互獨立．（1）設本次比賽共進行了X局，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）若比賽結(jié)束時共進行了4局對弈，求丙是本次比賽獲勝者的概率．【答案】（1）分布列見解析，E（X）＝2.64；（2）0【解答】解：（1）由題可知的可能取值為2，3，4，設A1表示“甲勝乙”，A2表示“乙勝甲”，B1表示“甲勝丙”，B2表示“丙勝甲”，C1表示“乙勝丙”，C2表示“丙勝乙”．X＝2包含“A1B1甲勝，A2C1乙勝”，∴P（X＝2）＝0.5×0.6+0.5×0.6＝0.6，X＝3包含“A1B2C2丙勝，A2C2B2丙勝”，∴P（X＝3）＝0.5×0.4×0.4+0.5×0.4×0.4＝0.16，P（X＝4）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）＝0.24，X的分布列為：X234P0.60.160.24X的數(shù)學期望為E（X）＝2×0.6+3×0.16+4×0.24＝2.64；（2）若比賽結(jié)束時共進行了4局對弈，由（1）知，可能的情況有：A1B2C1A1甲勝，A1B2C1A2乙勝，A2C2B1A1甲勝，A2C2B1A2乙勝，所以對弈4局比賽結(jié)束，丙是本次比賽獲勝者的概率為0．12．（2022?青島開學）為了有針對性地提高學生體育鍛煉的積極性，某中學需要了解性別因素是否對學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080（1）根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，分析性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有無關(guān)聯(lián)；（2）從這200人中隨機選擇1人，已知選到的學生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；（3）為了提高學生體育鍛煉的積極性，學校設置了“學習女排精神，塑造健康體魄”的主題活動，在該活動的某次排球訓練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓練．已知甲控制球時，傳給乙的概率為，傳給丙的概率為；乙控制球時，傳給甲和丙的概率均為；丙控制球時，傳給甲的概率為，傳給乙的概率為．若先由甲控制球，經(jīng)過3次傳球后，乙隊員控制球的次數(shù)為X，求X的分布列與期望E（X）．附：α0.0100.0050.001χα6.6357.87910.828【答案】（1）認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005；（2）；（3）分布列答案見解析，數(shù)學期望：．【解答】解：（1）零假設為H0：性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性無關(guān)聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到X2＝≈9.524＞7.879＝x0.005，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為性別因素與學生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005．（2）用A表示事件“選到經(jīng)常參加體育鍛煉的學生”，B表示事件“選到男生”，則P（B|A）＝＝＝．（3）由題知X的所有可能取值為0，1，2，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝+++＝，P（X＝2）＝+＝；所以X的分布列為：X012PE（X）＝0×+1×+2×＝．13．（2022春?豐城市校級期末）為服務文明城市創(chuàng)建工作，豐城九中校團委暑期計劃招募志愿者，對前來報名者先后進行筆試和面試兩個環(huán)節(jié)測試．筆試共有備選題6道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機挑選出4道題進行測試，答對3道或4道題者，直接錄用為志愿者，否則進入面試環(huán)節(jié)；面試共有100分，面試分只有高于90分者錄用為志愿者．已知高一、高二年級學生報名參加測試，在這6道筆試題中，高一年級學生能答對每道題的概率均為，高二年級學生能答對其中的4道；在面試環(huán)節(jié)，高一、高二學生面試成績高于90分的概率均為．（1）分別求高一年級學生、高二年級學生錄用為志愿者的概率；（2）現(xiàn)有3名高二年級學生參加志愿者選拔，記這3名學生錄用為志愿者的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）；；（2）ξ的分布列為：ξ0123PE（ξ）＝．【解答】解：（1）設事件A為高一年級學生錄用為志愿者，事件B為高二年級學生錄用為志愿者，依題意可得P（A）＝×（）3×+（）4+[1﹣×（）3×﹣（）4]×＝，P（B）＝++×＝．（2）依題意可得ξ～B（3，），則ξ的可能取值為0、1、2、3，所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，故ξ的分布列為：ξ0123P所以E（ξ）＝3×＝．14．（2021秋?東昌府區(qū)校級期末）2021年暑假國內(nèi)部分地區(qū)出現(xiàn)新冠肺炎本土確診病例等情況，為精準做好“外防輸入、內(nèi)防反彈”疫情防控工作，有效控制和降低疫情傳播風險，某高校倡議“非必要，不外出”，科學規(guī)劃假期實踐活動，借助抖音平臺舉行了防疫知識宣講和防疫用品（口罩和消毒液的套裝組合）營銷大賽，現(xiàn)統(tǒng)計了某個團隊連續(xù)5天的售出量和收益情況，如表所示：售出量x/套76656收益y/元165148150125142（1）若x與y成線性相關(guān)，則某天售出9套防疫用品，預計收益為多少元？（2）營銷大賽結(jié)束后，該團隊決定將收益以獎學金的形式獎勵給該校品學兼優(yōu)的學生，規(guī)定：考入年級前200名，獲一等獎學金500元；考入年級第201～500名，獲二等獎學金300元；年級第501名及以后的學生將不獲得獎學金．假設甲、乙兩名學生獲得哪個等級的獎學金是相互獨立的；（ⅰ）若甲、乙兩名學生獲一等獎學金的概率均為，獲二等獎學金的概率均為，甲、乙兩名學生不獲得獎學金的概率均為，求甲、乙兩名學生所獲得獎學金總金額X的分布列；（ⅱ）若甲獲得一、二獎學金的概率分別為，，乙獲得一、二獎學金的概率分別為，，甲、乙兩名學生不獲得獎學金的概率分別為，，你認為甲、乙兩名學生獲得獎學金金額的期望值哪個更高？并說明理由．（附：＝，＝﹣．）【答案】（1）206．（2）（i）X的分布列為：X10008006005003000P（ii）甲的期望值更高，理由詳見解析．【解答】解：（1）由題意可得，，，售出量x/套76656收益y/元165148150125142100﹣101924﹣21﹣4則，，所以，當x＝9時，預測值為20×9+26＝206．（2）（?。的所有可能取值為1000，800，600，500，300，0，，，，，，，所以X的分布列為：X10008006005003000P（ⅱ）設甲獲得獎學金為Y，則Y的分布列為：Y5003000P所以．設乙獲得獎學金為Z，則Z的分布列為：Z5003000P所以．E（Y）＞E（Z），所以甲的期望值更高．15．（2021秋?貴州月考）數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3×3）內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復．數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽．（1）賽前小明在某數(shù)獨APP上進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x/天1234567y（秒/題）910800600440300240210現(xiàn)用y＝a+作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程（a，b用分數(shù)表示）．（2）小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，且各局之間相互獨立，設比賽X局后結(jié)束，求隨機變量X的分布列及期望．參考數(shù)據(jù)（其中ti＝）：tiyiti2﹣7×217500.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．【答案】（1）．（2）分布列詳見解析，．【解答】解：（1）∵y＝a+，，∴y＝a+bt，∵＝．＝，∴＝，∴，故所求方程為．（2）由題意可得，隨機變量X的可能取值為3，4，5，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝×，故X的分布列為：X345P故E（X）＝．16．（2022?景德鎮(zhèn)模擬）某運動會中，新增加的“趣味乒乓球單打”是這屆運動會的熱門項目，比賽規(guī)則如下：兩人對壘，開局前抽簽決定由誰先發(fā)球（機會均等），此后均由每個球的贏球者發(fā)下一個球，對于每一個球，若發(fā)球者贏此球，發(fā)球者得1分，對手得0分；若對手贏得此球，發(fā)球者得0分，對手得2分．當有一人累計得分超過5分時，比賽就結(jié)束，得分高者獲勝．已知在選手甲和乙的對壘中，發(fā)球一方贏得此球的概率都是0.6，各球結(jié)果相互獨立．（1）假設開局前抽簽結(jié)果是甲發(fā)第一個球，求比賽出現(xiàn)比分2：2的概率；（2）已知現(xiàn)在比分3：3，接下來由甲發(fā)球，兩人又打了X個球后比賽結(jié)束，求X的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）0.304；（2）X的分布列為：X234P0.240.6160.144；E（X）＝2.904．【解答】解：（1）比賽出現(xiàn)比分2：2的事件A是甲發(fā)三球，前兩球甲贏，第三球乙贏的事件A1與甲發(fā)球乙贏、乙發(fā)球甲贏的事件A2的和，A1，A2互斥，P（A）＝P（A1+A2）＝P（A1）+P（A2）＝0.6×0.6×0.4+0.4×0.4＝0.304，故比賽出現(xiàn)比分2：2的概率為0.304．（2）X所有可能取值為2，3，4，因比分已是3：3，接下來由甲發(fā)球，有一人累計得分超過5分時，比賽就結(jié)束，P（X＝2）＝0.4×0.6＝0.24，P（X＝3）＝0.63+0.6×0.4×1+0.4×0.4×1＝0.616，P（X＝4）＝0.62×0.4×1＝0.144，故X的分布列為：X234P0.240.6160.144故E（X）＝2×0.24+3×0.616+4×0.144＝2.904．17．（2021秋?潮州期末）甲、乙兩所學校之間進行排球比賽，采用五局三勝制（先贏3局的學校獲勝，比賽結(jié)束），約定比賽規(guī)則如下：先進行男生排球比賽，共比賽兩局，后進行女生排球比賽，直到分出勝負．按照以往比賽經(jīng)驗，在男生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，在女生排球比賽中，每局甲校獲勝的概率為，乙校獲勝的概率為，每局比賽結(jié)果相互獨立．（1）求甲校以3：1獲勝的概率；（2）記比賽結(jié)束時女生比賽的局數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望．【答案】（1）．（2）分布列詳見解析，．【解答】解：（1）甲校以3：1獲勝的情況有：①前兩局男排比賽中甲全勝，第三局比賽中甲負，第四局比賽甲勝，故概率P1＝，②前兩局男排比賽中甲1勝1負，第三局比賽中甲勝，第四局比賽甲勝，故概率P2＝×，故甲校以3：1獲勝的概率P＝P1+P2＝．（2）比賽結(jié)束時女生比賽的局數(shù)為ξ，則ξ所有可能取值為1，2，3，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝1﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列為：ξ123P故E（ξ）＝＝．18．（2022?浙江開學）為調(diào)查某小學學生的視力情況，隨機抽取了該校150名學生（男生100人，女生50人），統(tǒng)計了他們的視力情況，結(jié)果如下：男生中有60人視力正常，女生中有40人視力正常．（Ⅰ）是否有99%的把握認為視力正常與否與性別有關(guān)？（Ⅱ）如果用這150名學生中，男生和女生視力正常的頻率分別代替該校男生和女生視力正常的概率，且每位學生視力正常與否相互獨立．現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人（2男1女），設隨機變量X表示“3人視力正?！钡娜藬?shù)，試求X的分布列和數(shù)學期望．附：．P（χ2≥k）0.100.050.0250.010.005k2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（Ⅰ）沒有99%的把握認為視力正常與性別有關(guān)；（Ⅱ）分布列答案見解析，數(shù)學期望：2．【解答】解：（Ⅰ）由已知得150名學生男女、視力正常與否的2×2列聯(lián)表為：視力正常視力不正?？傆嬆猩?040100女生401050總計10050150所以，所以沒有99%的把握認為視力正常與性別有關(guān)．（Ⅱ）由已知得該小學男、女生視力正常的概率分別為．X的取值有0，1，2，3，且，，即X的分布列為：X0123P從而X的均值．19．（2022秋?浙江月考）為應對氣候變化，我國計劃在2030年前實現(xiàn)碳排放量到達峰值，2060年前實現(xiàn)“碳中和”．某市為了解本市企業(yè)碳排放情況，從本市320家年碳排放量超過2萬噸的企業(yè)中隨機抽取50家企業(yè)進行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將年碳排放量大于18萬噸的企業(yè)確定為“超標”企業(yè)：硫排放量X[2.55，5）[5.5，8.5）[8.5，115）[115，14.5）[14.5，175）[175，20.5）[20.5，23.5）頻數(shù)56912864（1）假設該市這320家企業(yè)的年碳排放量大致服從正態(tài)分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均值，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算得≈12.8，s≈5.2．試估計這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)；（2）通過研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50家企業(yè)中共有8家“超標”企業(yè)，市政府決定對這8家“超標”企業(yè)進行跟蹤調(diào)查，現(xiàn)計劃在這8家“超標”企業(yè)中任取5家先進行跟蹤調(diào)查，設Y為抽到的年碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)家數(shù)，求Y的分布列與數(shù)學期望．（參考數(shù)據(jù)：若X～X～N（μ，σ2），則P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9973．）【答案】（1）320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)約為51．（2）Y的分布列為Y1234P期望：2.5．【解答】解：（1）由已知正態(tài)分布N（μ，σ2），≈12.8，s≈5.2，得μ≈12.8，σ≈5.2，所以，因為320×0.15865＝50.768≈51，所以這320家企業(yè)中“超標”企業(yè)的家數(shù)約為51．（2）由頻數(shù)分布表可知，8家“超標”企業(yè)中碳排放量至少為20.5萬噸的企業(yè)有4家，所以Y的可能取值為1，2，3，4，且，，，，所以Y的分布列為Y1234P所以．20．（2022?浙江開學）某學校組織開展了“學習強國答題挑戰(zhàn)賽暨主題黨日活動”規(guī)則如下：每班派兩名選手參賽，每位選手回答三個題，滿分為60分，每題答對得10分，答錯不得分．某班派了甲、乙兩名同學參賽，且甲同學三題能回答正確的概率均為，乙同學三題能回答正確的概率依次為、、，兩人的累計得分為班級總得分，總得分不少于50分班級將獲得參加決賽的資格．（Ⅰ）三題答完結(jié)束后，記X為乙同學的累計得分，求X的分布列和期望；（Ⅱ）求班級獲得決賽資格的概率．【答案】（Ⅰ）分布列見解析，；（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得：X的可能取值為：0，10，20，30．P（X＝0）＝××＝；P（X＝10）＝××+××+××＝；P（X＝20）＝××+×+××＝；P（X＝30）＝××＝；所以分布列為：X0102030PE（X）＝0×+10×+20×+30×＝分．（Ⅱ）記Y為甲同學的累計得分，P（X+Y≥50）＝P（X+Y＝50）+P（X+Y＝60），而P（X+Y＝50）＝P（X＝30，Y＝20）+P（X＝20，Y＝30）＝×+×＝；P（X+Y＝60）＝P（X＝Y(jié)＝30）＝×＝；所以班級獲得決賽資格的概率：P＝+＝．21．（2022秋?拱墅區(qū)校級月考）新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外的所有其他能源汽車，被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力．在當今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費者的青睞，新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導向與目標．某車企隨機調(diào)查了今年3月份購買本車企生產(chǎn)的汽車的100位車主，經(jīng)統(tǒng)計其購車種類與性別情況如下表：單位：人購置新能源汽車購置傳統(tǒng)燃油汽車總計男性501060女性251540總計7525100（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下，是否可以認為購車種類與性別有關(guān)；（2）用樣本估計總體，用本車企售出汽車樣本的頻率代替售出汽