解三角形中的最值與范圍問(wèn)題4大題型

命題趨勢(shì)

解三角形中的最值與范圍問(wèn)題是近幾年高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，這類試題主要考查學(xué)生

數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的能力。一般為中等難度，但題目相

對(duì)綜合，涉及知識(shí)較多，可通過(guò)三角恒等變換、構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造基本不等式等方

法加以解決。

滿分技巧

一、三角形中的最值范圍問(wèn)題處理方法

1、利用基本不等式求最值-化角為邊

余弦定理公式里有"平方和"和"積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等

式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意"一正二定三相等"，尤其是取

得最值的條件。

2、轉(zhuǎn)為三角函數(shù)求最值-化邊為角

如果所求整體結(jié)構(gòu)不對(duì)稱，或者角度有更細(xì)致的要求，用余弦定理和基本不等式

難以解決，這時(shí)候可以轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，消元后使得式子里只有一個(gè)角，變?yōu)槿?/p>

角函數(shù)最值問(wèn)題進(jìn)行解決。

要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊。

二,邊化角與角化邊的變換原則

在解三角形的問(wèn)題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或

余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：

(1)若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；

(2)若式子中含有“、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；

(3)若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；

(4)代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問(wèn)題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；

（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.

熱點(diǎn)題型解讀

I

題型1與角或三角值有關(guān)的問(wèn)題

題型2求周長(zhǎng)的最值與范圍問(wèn)題

題型3求面積的最值與范圍問(wèn)題

題型4與邊有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題

【題型1與角或三角值有關(guān)的問(wèn)題】

[例1]（2023春?江西贛州高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在銳角MC中，角A,8,C所

對(duì)■的邊分另（J為。，c.已知。=1，且入cosA-cos8=l，貝[]GsinB+2sin2A的取值范

圍是（）

A.（0,G+l）B.（2,G+1）C.（1,3]D.（2,3]

【變式I」】（2023?四川瀘州統(tǒng)考二模）在ABC中，BC^2,AB=2AC，。為BC

的中點(diǎn)，則tan的最大值為

【變式1-2]（2023?福建福州.統(tǒng)考二模）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為

a,b,c.已知"-片=2/

（1）求黑的值:

（2）求C的最大值.

【變式1-3]（2023春遼寧本溪高三?？茧A段練習(xí)）已知回。的內(nèi)角AB,C的對(duì)

邊分別為“7，c,8為鈍角.若ABC的面積為$,且46S=〃W+c2—/).

(1)證明：8=>4；

(2)求sinA+sinC的最大值.

【變式1-4](2023春湖北武漢?高三華中師大一附中校考階段練習(xí))在銳角ABC

中,角AI,C所對(duì)的邊分別是“也c,滿足

(1)求證：C=2B;

(2)求U-C+3sinC的取值范圍.

tanBtanc

【題型2求周長(zhǎng)的最值與范圍問(wèn)題】

[例2](2023春?四川成都?高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)衽A8C中，

csinB=y/3bcosC.

(1)求NC；

(2)若a+6=6,求ABC周長(zhǎng)的最小值.

【變式2-1X2023?云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí))已知△ABC的內(nèi)角A,

B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,且sinA=[("F'*).

2bc

(1)求8的大??；

(2)若△ABC為鈍角三角形，且b=6,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【變式2-2】(2023.全國(guó).高三專題練習(xí))已知函數(shù)

f(x)=cos2(<yx)+A/3sin(twx)cos(<wx)-g,其中。>0,且函數(shù)/(x)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的

距離為5，

(1)求。的值及函數(shù)/⑺的對(duì)稱軸方程；

(2)在45c中，a/,c分別是角A,8,C的對(duì)邊,若/(A)=-l,a=打，求43c

周長(zhǎng)的取值范圍.

【變式2-3*2023?湖南模擬預(yù)測(cè)在4?C中，內(nèi)角A，8，C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

已知"C的面積為S,且25(^-^+^-^)=(a2+/?2)sinA.

sinBsinC

(1)求C的值：

(2)若a=G,求4?C局長(zhǎng)的取值范圍.

【變式2-4】(2023春?河北邢臺(tái)?高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))在四邊形

_3

A3CD中，A8,C,。四點(diǎn)共圓，AB=5,BC=3,cosZABC=-j.

(1)若sin/ACQ=￥,求AZ)的長(zhǎng)；

(2)求四邊形ABC。周長(zhǎng)的最大值.

【題型3求面積的最值與范圍問(wèn)題】

【例3】(2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=2>/3sin(7t-x)-cosx-2cos2x(XGR).

(1)求函數(shù)“X)的值域；

(2)在△A3C中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若〃A)=-2,“,

求AABC的面積S的最大值.

【變式3-1】(2023浙江嘉興統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知越C中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)

sin23tanC+1

的邊分別為。，b,，且滿足

l+cos2BtanC-1

(1)求角A的大??；

(2)設(shè)AO是BC邊上的高，且4)=2,求ABC面積的最小值.

【變式3-212023?山東臨沂?統(tǒng)考一模在他C中角4B,C所對(duì)的邊分別為〃也c,

已知“cosB+Z?cosA=2ccosC.

(1)求C;

(2)若c=l,求ABC面積的取值范圍.

【變式3-3】(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知4?C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,

htC,>/5/>sinC=sin3(4asinC—.

(1)求A；

(2)若。是ABC的內(nèi)心，q=2,且從+c2>4,求△O5C面積的最大值.

【變式3-4】(2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面四邊形ABCD中,

A5B=\,AD=73,CD=2,BC=y/2.

D

c

(1)若BC1.CD,求sinZADC；

(2)記△MO與ABCD的面積分別記為M和邑，求S；+￡的最大值.

【題型4與邊有關(guān)的最值與范圍問(wèn)題】

[例412023?江西南昌統(tǒng)考一模在銳角4?C中角A,B,C所對(duì)的邊分別為,

若a=1,8=60，則匕的取值范圍為.

【變式4-1](2023春?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知的C的內(nèi)角A、B、C所

對(duì)的邊分別為“、b、c,acos(8-C)=(2百csinB—'cosA.

(1)求角A；

(2)若MC為銳角三角形，且外接圓的半徑為6,求空式的取值范圍.

b

【變式4-2]（2023.廣東江門.統(tǒng)考一模）在銳角舫C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為

3,且心，-二，「不依次組成等差數(shù)列.

tanBs\nAtanc

（1）求1的值；

be

（2）若b>c,求的取值范圍.

【變式4-3]（2023.江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,8,C的對(duì)邊

分別是。,b,c,已知8=4,且8cosc+gc=a.

（1）求8；

（2）若。在AC上，且BDLAC,求BD的最大值.

【變式4-4】（2023?新疆?統(tǒng)考一模）在ABC中，。也c?分別為內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊，

c2=2absinC.

（1）sinCcosB+sinB=sinA,求tanC的值；

（2）求]的最大值.

限時(shí)檢測(cè)

（建議用時(shí)：60分鐘）

1.（2023?甘肅武威統(tǒng)考一模）在9C中，A8=3,AC=2,BC>短，則cosA的范

圍是（）

2.（2023秋?浙江寧波?高三期末）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,

3C,已知6sin(8+C)=asin丁，且ABC的面積為坊，則四。周長(zhǎng)的最小值

為()

A.2夜B.2gC.6應(yīng)D.6+2#)

3.(2023?江西贛州?統(tǒng)考一模)已知銳角A3C的內(nèi)角A&C的對(duì)應(yīng)邊依次記為

“反c,且滿足c-b=2反osA,則3"。+3)+2852(4-3)的取值范圍為.

4.(2023.陜西西安?統(tǒng)考一模)已知在.ABC中，角A,8,C所對(duì)邊分別為a,b,

C,滿足處cosA+a=2c,且6=26，則周長(zhǎng)的取值范圍為.

5.(2023.全國(guó)?校聯(lián)考一模)在43C中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

c2+ac=b1.

(1)證明：B=2C;

(2)求一的取值范圍.

6.(2023春湖南長(zhǎng)沙?高三雅禮中學(xué)校考階段練習(xí))已知A8C的內(nèi)角A,B,C

的對(duì)邊分別為a,b,c,且2sinC-sinB=tanAcosB.

(1)求A；

(2)若。=2,求2c-b的取值范圍.

7.(2023河南.校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))記ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

c已知標(biāo)是2〃與sin(c+￡|的等比中項(xiàng).

(1)求A;

(2)若一鉆C是銳角三角形，且c=2,求“sinB的取值范圍.

8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在①6(〃-反。sC)=csinB,②2a-c=?cosC,③

e-b)(〃+6)=(a-c)c這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答該

問(wèn)題.

在ABC中，內(nèi)角48C的對(duì)邊分別是。，b,c,且滿足_______,6=26.

(1)若a+c=4,求一ABC的面積；

(2)求一ABC周長(zhǎng)/的取值范圍.

9.(2023春?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))求△ABC，角A,B,C所對(duì)的邊分別為

a,h,c,已知A=g,且△ABC的周長(zhǎng)為6.

(1)證明：稅+12=4(b+c)；

(2)求△ABC面積的最大值.

10.(2023?四川涼山?統(tǒng)考一模)在銳角.MC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為

a,b,c,b-cs\nA=acosC

(1)求A；

(2)若。=2,求A3C面積的取值范圍.

參考答案

【題型1與角或三角值有關(guān)的問(wèn)題】

【例11（2023春?江西贛州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在銳角A8C中，角A,B,C所

對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a=l,且6cosA-cosB=l,則/sin3+2sin2A的取值范

圍是（）

A.（0,^+1）B.（2,6+1）C.（1,3]D.（2,3]

【答案】B

【解析】：&cosA-cosB=l,gp：Z?cosA=cosB+l,a=\,AZ?cosA=（cosB+l）?,

???由正弦定理得：sinBcosA=（cosB+l）sinA,即：

sinBcosA=sinAcosB+sinA,

/.sin（B-A）=sinA,

3-A=A或8—A+A=7T,解彳導(dǎo)：8=2A或8=乃（舍），

又?.?△ABC為銳角三角形，則C=A4-3=兀-3A,

_.7T.7T

0<A<—0<A<—

22

7T兀4兀

0<B<—=>0<2A<-，解得:—<A<一

2264

0<C<-0<TI-3A<-

22

/.>/3sinB+2sin2A=5/3sin2A+1-cos2A=2sin（2A-—）+1,

6

又建"苦（--4<sin（2/1-i）<T，二

2<2sin（2A----）+1<>/3+1,

6

即抬sinB+2sii?4的取值范圍（2,若+1）.故選：B.

【變式I】（2023?四川瀘州?統(tǒng)考二模）在旗C中,BC=2，AB=2AC,D為BC

的中點(diǎn)，則tanZAOC的最大值為.

【答案】|4

【解析】設(shè)AC=x,則A3=2x,

因?yàn)?。為BC的中點(diǎn)，BC=2,所以8/）=￡>C=l,

由三角形三邊關(guān)系，可知2x+x>2且2x-x<2,解得：<x<2,

在中，由余弦定理，得COSZAT>5=，"￥二⑵）,

2AD

在.A8中，由余弦定理，得cosNA￡>C=.空三二,

因?yàn)镹AD6+NAQC=TI,所以cosNADB=cos（兀-NA￡>C）=-cosNA￡）C,

所以塵士色￡=_改±二,解得A。、衣?」，

2AD2AD2

則cos/ADC京乒尹木/小卡卜色+2=1,

當(dāng)且僅當(dāng)":，即"1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)/一『I,解得“竺

因?yàn)閏osNADC《>0,所以NAOCe［o,￡|.

因?yàn)閥=cosx在代）上單調(diào)遞減，y=tanx在恒）單調(diào)遞增，

所以當(dāng)COSZADC取得最小值時(shí)，tan/ADC取得最大值,

此時(shí)sin4￡>C=J1—cos?NADC=g,貝［JtanZAOC=g,

所以tanZAOC的最大值為，

【變式1-2】（2023.福建福州.統(tǒng)考二模）記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為

a,b,.已知〃2—。2=2/

（1）求鬻的值:

（2）求C的最大值.

［答案］（1）售=—3;（2）［

tanAO

【解析】（1）由余弦定理可得從=c2+/-2accosB,

代入方_02=22,得到02+/_2?88町-02=勿2,化簡(jiǎn)得

c2+2accosB=0,

即c+2acosB=0,由正弦定理可得sinC+2sinAcosB=0,

即5皿(24+3)+2§11124€：053=(),展開(kāi)彳導(dǎo)$1048$8+005由105+2$104?0$3=0,

即3sin/4cos8=-cosAsinb所以—=一3

tanA

（2）由〃一/=2/得02=亡互

/+i2

3a+M_3a+b>f~3~_百

故2安__________2_4ab-4^+4^-V16~~2~1

2ab

當(dāng)且僅當(dāng)/=3〃2,即）=百4時(shí)等號(hào)成立.

因?yàn)槿耍ā?，蟲(chóng)所以cq，所以C的最大值為看.

【變式1-31（2023春遼寧本溪高三?？茧A段練習(xí)）已知A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)

邊分別為。力，。，8為鈍角.若.ABC的面積為$,且46S=〃W+c2—/）.

（1）證明：8=畀4；

（2）求sinA+sinC的最大值.

9

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）?

O

【解析】（1）由余弦定理cosA="+（一。得次-4=y+/-02,

2bc

4bsA4。1.A.nX（l?始

aa21I2廣

8為鈍角，則A8-］均為銳角，

BIT=ATT

■-~2，即八萬(wàn)+A

(2)

sinA+sinC=sin(8一]]+sin(8+8一力=一cosB-cosIB=-2cos2B-cosB+1

令cosB=ft8為鈍角,則f?T,0),

sinA+sinC——2-r+1=-2\t—

廠I4；?H—87.

ii9

當(dāng)，=-彳，即cosB=_,時(shí)，sinA+sinC取最大值，且為

44o

【變式1-4］（2023春?湖北武漢?高三華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）在銳角ABC

中，角4B,C所對(duì)的邊分別是“，"c,滿足＜、2=貼+力

（1）求證：C=2B;

（2）求」-R+3sinC的取值范圍?

tanBtanC

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（竽,4）

【解析】（I）由。2=從+成及余弦定理/=a2+b2-2abcosC，得a=6（2cosC+l）,

由正弦定理得：siM=sinB（2cosC+l）,

又A+B+C=7t,

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBCosC+sinB

/.cosBsinC—sinBcosC=sinB,..sin(C-3)=sinB,

A'。都是銳角，,C—B=B,即C=2,

..、人11r.rcosBcosC_._sinCcosB-cosC-sinB_._

(2)令)=-------+3sinC=-----------+3sinC=-------------------+3sinC

tanBtanCsinBsinCsinBsinC

_sin(C-B)

+3sinC,

sinBsinC

由(?)C=2B得V=^+3sinC，

八/兀7T

0<A<一o<^--(z?+c)<-

2

0<8<四八C兀

在銳角三角形ABC中，,即0<B=-v—

222

0<C<-0<C<-

22

解得梟C",.-.since

令/=sinCG,.-.y=/(r)=y+3r,/e

在［乎,1］上單調(diào)遞增，

又函數(shù)y=〃f)=7+3/

故熹-熹+3s"的取值范圍是(竽

【題型2求周長(zhǎng)的最值與范圍問(wèn)題】

【例2*2023春?四川成都?高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)衽中，

csinB=V3/>cosC.

(1)求NC；

(2)若a+8=6,求.ABC周長(zhǎng)的最小值.

【答案】(1)C=；(2)9

【解析】(?)因?yàn)閏sin8=6〃cosC,所以由正弦定理得sinCsin8=QsinSeosC,

又因?yàn)锽e(°，兀),sinBkO,所以sinC=6cosC,即有tanC=G,

又因?yàn)镃?(),兀)，所以eg

7T

(2)因?yàn)镃=§,a+b=6,

所以由余弦定理可得

c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=36-3ab>36-3x=9,

當(dāng)。=。=3時(shí)，等號(hào)成立，所以c*3,

故A8C周長(zhǎng)的最小值9.

【變式2-1X2023.云南昆明?高三昆明一中?？茧A段練習(xí))已知△A8C的內(nèi)角A,

B,C所對(duì)邊分別為a,b,,且sinA=

C2bc

(1)求8的大??；

(2)若△ABC為鈍角三角形，且〃=6,求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】(1)W；(2)僅63+@

【解析】(?)根據(jù)余弦定理可知，,

2ac

所以sin4—V3-2i7ccosB即sinA-CacosB=A—百sinAcos3

2bc'bsinB

貝UtanB=6/e（（）,兀），所以"三；

兀2汽

（2）設(shè)八2,~

b五=2

根據(jù)正弦定理可知sinAsinCsinB.兀

sin

3

所以a=2sinA,c=2sinC=2sin

2sin4+2sin(g-A)+

所以周長(zhǎng)a+h+c=

=2sinA+cosA4-—sinA+

2

=3sinA+>/5cosA+百=25/3sin(A+—J+>/3,

it2花兀2兀5兀

因?yàn)锳wA+—￡

2'T'6T'T

KS，所以班＜2石sin（A+e）

所以如上+2+石＜3+石，

所以一"C的周長(zhǎng)為（2"3+⑹.

【變式2-2］（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)

/（x）=cos2（（?%）+＞/3sin（（9x）cos（8）,其中（y＞0,且函數(shù)/⑴的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的

距離為3,

（1）求。的值及函數(shù)/⑺的對(duì)稱軸方程；

（2）在4ABe中,a,"c分別是角A,B,C的對(duì)邊，若〃A）=-1M=6，求一ABC

周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】(1)g=1,對(duì)稱軸方程為：x考+處閉;;(2)(26,2+肉.

【解析】(1)f(x)=cos?(0x)+6sin(0x)cos?x)-g="co；2°x)+GSI；2OX)一；

.(c兀

〃x)=sin2a)x+-

I6

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為5,

所以函數(shù)/（X）的最小正周期為2乂尹兀，因?yàn)?。?,

所以蕓=兀=。=1,即/(x)=sin2x+-,

2coI6/

令2x+?=E+g(%€Z)nx=^+9&GZ),所以對(duì)稱軸為

o220

AltTC/.z\

X=T+6(；

(2)由/(A)=-lnsin(2A+/_l,

1.、，./c、LLt'ic,兀/兀13兀、c,兀37r.2兀

因?yàn)锳E(O,兀)，^TUZ271+—G(—,-)=>2A+—=—=^>A=—,

666623

因?yàn)椤?G,所以由正弦定理可知：

―--=---=---=—i=2nb=2sinB,c=2sinC

sinAsin3sinC，3,

T

所以三角形的周長(zhǎng)為g+2sin8+2sinC=6+2sinB+2sin(；-8

=V3+2sinB+2^cosB——sinB=Gcos8+sin8+G=2sin[8+1)+G

因?yàn)楸保?。令，所?+9（頭）,

D333

因此sin（8+］）€（*,l］=2sin（3+1）+石e（2g,2+石］,

所以,校7周長(zhǎng)的取值范圍為（26,2+后.

【變式2-3*2023湖南模擬預(yù)測(cè)在一MC中，內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為“也c,

已知加C的面積為S,且2S（包￡+包_1）=（/+/）制”4.

—sinBsinC

（1）求c的值；

（2）若a=6,求ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】（1）J；（2）（2"+引.

【解析】（1）在A8C中，由三角形面積公式得:sjcsinA,

由正弦定理得：2x次sir心+升.+小4,

整理得：a~+b~-c2-cib,由余弦定理得：cosC="”———=—,

冗

又0<C<%,故C=§.

（2）因?yàn)榘税?，C吟,由正弦定理得，=不三,

3^Slrlz*

八GsinS13叫§乃-AJ3cosA石，

b-----=---------=----+—

sinAsinA2sin42

33cosA3y/33(l+cosA)3G

即ABC的周長(zhǎng)/=a+b+c=

2sinA2sinA~2~~~2sinA~~

,2A

2,3^3+3^

因?yàn)锳e〔O仔J,則）（。9），故0<tan1<百,

3+3>/37-

所以募7F，即一MC的周長(zhǎng)的取值范圍是（26,+8）.

2

【變式2-4]（2023春?河北邢臺(tái)?高三邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在四邊形

_3

ABCZ）中，48,。,。四點(diǎn)共圓，AB=5,BC=3,cosZABC=--.

（1）若sin/AC￡>=^,求AL）的長(zhǎng)；

（2）求四邊形ABC。周長(zhǎng)的最大值.

【答案】（1）病；（2）8+2病

【解析】(1)因?yàn)锳BC。四點(diǎn)共圓，所以ZA8C+ZAQC=TT,

33

g]cosZABC=--,所以cos/AOC=-cosZA8C=g,

——;------4

因?yàn)閆ADCe(O,7t),故sinZA￡)C=7i^cosZADC=—

5

在MC中，由余弦定理得：

3

AC2=AB2+BC2-2AB-8。cosZABC=25+9—30x二52

故AC=2g,

AnAC

在AADC中，由正弦定理得：訴°揄加,，

AD2V13

即而=丁，解得：AD=A;

r5

3

(2)由(1)知：4c=2而,cosZADC=1,

在人4。。中，由余弦定理得:

AD2+CD2-AC2AD2+CD'-52Ji

cosZADC=

2ADCD2ADCD--5

整理得：AD2+CD2ADCD+52，故(AO+C。)2-52若AOC。，

其中皿,故

,1649

(AD+CD)--52=—ADCD<-(AD+CD)-z

解得:AD+CDW2旅,當(dāng)且僅當(dāng)AD=8=歷時(shí)，等號(hào)成立，

故四邊形ABC。周長(zhǎng)的最大值為AB+BC+AD+CD<S+2765.

【題型3求面積的最值與范圍問(wèn)題】

【例3】(2023.重慶渝中.高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

/(x)=2\/3sin(7t-x)-cosx-2cos2x(xeR).

(1)求函數(shù)〃x)的值域；

(2)在△ABC中，角A,8,C的對(duì)邊分另JJ為a,b,c,若/(力=一2,。=道，

求△ABC的面積S的最大值.

【答案】(1)HU]；(2)手

【解析】(1)〃x)=2gsinx-cosx-2」+c；2x=>/3sin2x-cos2x-l=2sin^2x-^-l,

???/(x)的值域?yàn)閇Tl].

(2)〃A)=2sin(24q卜=—2,

即sin(24-"=-；,由4e(0,兀)得-江？4-9)

\O72OOO

?c4兀7?？陂TA2兀

??2A)二,即A二,

663

227r22

J^3=6Z2=b+c2-2bccos—=b+c+bc^3bc,即bcWl,

,?SABC

2224

=￥，當(dāng)且僅當(dāng)8=cT時(shí)取得.

?,(SABC)“ax

【變式3-1】(2023?浙江嘉興.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知ABC中，內(nèi)角A,，C所對(duì)

sin23tanC+1

的邊分別為。，b,，且滿足

1+cos28tanC-1

(1)求角A的大??；

(2)設(shè)AD是8c邊上的高，且")=2,求ABC面積的最小值.

【答案】(1)；；(2)472-4

x.sin282sinBcosBsinB

【解析】(1t)法一：左邊=不嬴方=萬(wàn)k=狒

sinC+]

tanC4-1cosC=sinC+cosC

右邊=

tanC-1sinC[sinC-cosC

cosC

由題意得

sin3sinC+cosC一一—八廠

-------=-----------------=>sinBsinC-sinncosC=cosBsinC+cosBcosC

cos3sinC-cosC

sin(8+C)+cos(8+C)=0tan(8+C)=—1,艮|JtanA=l,

又因?yàn)?<A<兀，所以'=；?

sin2B2sinBcosB

法二：左邊=---------z——=tanBn,

1+cos232cos-B

c71

tanC+tan—

tanC4-1

右邊=4

tanC-1<x-.兀

1-tanCtan—

4

TTTT

由題意彳導(dǎo)8=—C—1+B+C=—]+E,

又因?yàn)?<8+。<兀,所以8+C=￥=A=%

(2)由SAA?c=；ax2=g%csin；na=苧Z?c,

2222

由余弦定理得=b+c-2/?ccos：na=b+c~-\f2bcf

22222222

^>-bc=b+c-42bc=>-bc+\/2bc=b+c>2bcf

88'

=bc1（2-碼，當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)取“等號(hào)”，

而以詆=；兒疝嚀=￥乩，故區(qū)皿）1nhi=.x8（2-0）=4近一4

【變式3-2］（2023.山東臨沂.統(tǒng)考一模在ABC中角4仇。所對(duì)的邊分別為“也。，

已知acosB+bcosA=2ccosC,

(I)求C；

(2)若c=l,求43c面積的取值范圍.

【答案】(1)C=g;(2)(0當(dāng).

34

【解析】(1)在二MC中，由已知及正弦定理得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC,

即有sin(A+B)=2sinCcosC,即sinC=2sinCcosC,

1jr

而0<C<7t,sinC>0,則cosC=5,所以C=§.

(2)在ABC中,由余弦定理/=/+尸-2"cosC彳導(dǎo)：1=42+從-”。，

因此122成-必,即0＜必41,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

又S*=g"bsinC=；x曰=￥“匕e(0,曰］

所以枷面積的取值范圍是。%

【變式3-3］(2023.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,

b!C,C=sinZ?^4asinC—\［3c\.

(1)求A；

(2)若。是MC的內(nèi)心，a=2,且〃+/>4,求△OBC面積的最大值.

【答案】(1)概年；(2)乎

［解析］(1=sinsinC-s/3c)y/3bsinC+V3csinB=4asin^sinC,

由正弦定理得G(sinBsinC+sinCsinB)=4sinAsinBsinC,

所以Gsin5sinC=2sinAsinBsinC，因?yàn)閟inBsinCwO,所以sinA=F,

因?yàn)锳?0㈤，所以白卷或A號(hào)

(2)因?yàn)椤?2,且從+/>4,所以由余弦定理得

所以A為銳角，由（1）知4咚

因?yàn)?。是的?nèi)心，所以

ZBG>C=7r-^（ZABC+ZACB）=7t-1（7t-A）=y,

在AOBC中,由余弦定理得3c2=OB2+OC2-2OBOCcosZBOC,

所以4=OB2+OC2-20BOCcosy=OB2+OC2+OBOC

>2OBOC+OBOC=3OBOC,

當(dāng)且僅當(dāng)08=。。=羋時(shí)等號(hào)成立，所以,

.Jo

AffUIS^OBC=-OB-OCsinZ.BOC=[,

所以AOBC面積的最大值為9.

【變式3-4]（2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖,在平面四邊形ABCD中，

AB=\tAD=y/3,CD=2,BC=6.

D

c

（1）若8C_LCD,求sinZADC；

（2）記△48。與乙BCD的面積分另（!記為3和$,求s：+s；的最大值.

【答案】（1呼；（2）￡

D

?hx

【解析】（1）；BC上CD,：.BD=y[4T2=y/6,

/…6+3—1820M吟，2熹:

cosNADB—ll—/——.

2-V6-V36V23

sinZBDC=,cosNBDC=~^==4

3V63

CV2B

/.sinNADC=sin(/BDC+NADB)=sin