第一講一次函數(shù)和反比例函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)

函數(shù)了=任+/左彳0）稱為一次函數(shù)，其函數(shù)圖像是一條直線。若6=0時(shí)，則稱函數(shù)_y=丘

為正比例函數(shù)，故正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況。

當(dāng)左〉0時(shí)，函數(shù)y=H+b是單調(diào)遞增函數(shù)，即函數(shù)值歹隨x增大（減?。┒龃螅p?。?

當(dāng)左＜0,歹=依+6是遞減函數(shù)，即函數(shù)值歹隨x增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅?。

函數(shù)y=稱為反比例函數(shù)，其函數(shù)圖像是雙曲線。

X

當(dāng)后〉0且x〉0時(shí)，函數(shù)值y隨x增大（減小）而減?。ㄔ龃螅?；當(dāng)后〉0且x＜0,函數(shù)

值丁隨x增大（減?。┒鴾p?。ㄔ龃螅?，也就是說(shuō)：當(dāng)左＞0時(shí)，反比例函數(shù)y=士分別在第一

X

或第三象限內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)左＜0時(shí)，函數(shù)歹=七分別在第二或第四象限內(nèi)是單調(diào)遞增

X

函數(shù)。

若y=A/+4（女產(chǎn)0）,歹=k2x+b2（k2w0）.

當(dāng)勺=《時(shí),[—?dú)v時(shí),兩面直線平行。

當(dāng)左=與時(shí)，時(shí)，兩面直線重合。

當(dāng):H七時(shí),兩直線相交。

當(dāng)上上=-1時(shí)，兩直線互相垂直。

求一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式，關(guān)鍵是要待定解析式中的未知數(shù)的系數(shù)；其次，在解

題過(guò)程中要重視數(shù)形相結(jié)合。

例題精講

例1：在直角坐標(biāo)平面上有點(diǎn)4-1,-2）、6（4,2）、C（l,c）,求c為何值時(shí)NC+6C取最小值。

解顯然，當(dāng)點(diǎn)C在線段Z8內(nèi)時(shí)，NC+8C最短。

設(shè)直線Z8方程為y=+代入，（-1,-2）、8（4,2）

4

k.

-k+h=-2

解得■5

4k+b=2,6

b

5

所以線段Z8為丁=gx一（（-lAxW4）,

462

代入C（l,c）,得c=—xl=.

555

例2：求證：一次函數(shù)歹=竺二1》一紀(jì)"的圖像對(duì)一切有意義的左恒過(guò)一定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)。

女+2左+2

解由一次函數(shù)得/+2?=（2k-l）x-（左-10）,整理得

（2x-y-lM-x-2y+10=0。因?yàn)榈仁綄?duì)一切有意義的人成立，所以得

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12

JC——

「'一、一：°八解得:當(dāng)》=乜，y=2時(shí)，一次函數(shù)解析式變?yōu)楹愕仁?，所以函?shù)圖

x+2y-10=0,195'5

像過(guò)定點(diǎn)

例3：已知加、n、c為常數(shù)，ni~-n20,并且時(shí)(工一1)+“(l-x)=cx,求/(x)。

解用1-x代換原方程中的x,得句‘(X-l)+"(x)=c(l-x).①用x+1代換原方程中的

X,得W(x)+棚(一工)=c(x+1).②

加x0一〃x①得m2f(x)-n2f(x)=mcx+ncx+me-nc.因?yàn)閙2-n2^0,所以

c\(m+n\xm-n\~,cc

f(x)=-------2---2-----，所以/(x)=-----工+------

m-nm-n加+〃

例4:如圖，設(shè)/(x)=wx+—(1-x)=\m--jx+L因?yàn)楫?dāng)加21時(shí)，w-->0,/(x)為遞增函

m\mJmm

數(shù)，/(x)在［0,1］上的最小值為/(l)=fw--ll+-+^.

［m)m

所以

g（m）=jm

/（I）=〃2（0<m<1）.

因此g（加）=,在［1,+00］上為遞減函

數(shù)；g（w）=加在（0,1）上為遞增

函數(shù)，故g（加）的最大值為g（l）=L

X2-4

例5：畫(huà)函數(shù)y=J~J的圖像。

2Txi

解|%|=0,x=0,X2-4=0,x=±2,將整個(gè)數(shù)軸分為四段討論（見(jiàn)圖）并定義域?yàn)?/p>

x工±2的一切實(shí)數(shù)。

x—2,x<-2;

2—x,-2<x<0;

V="

2+x,0<x<2

-X—2,x>2

例6：一次函數(shù)卜=依-左（左>1）圖像交x軸于A點(diǎn)，將此直線沿直線y=x翻折交y軸于6點(diǎn),

這兩條直線相交于P點(diǎn)，且四邊形如P8的面積為3,

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求A的值。

解設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(仃),又AON尸與△08P是翻折而成，所以Sg"面積是四邊形物加

3

的一半等于1。設(shè)y=0代入歹=丘-左，得x=l,點(diǎn)/為(1,0).由

113

S&OAP=~OAXPC=~xlxt=~^得/=3,即點(diǎn)p(3,3).因點(diǎn)

3

P在y-kx-k上，代入得3=3k—k,k=—.

A卷一

一、填空題

1.設(shè)了=/+2)/i是反比例函數(shù)，則左=；其圖像經(jīng)過(guò)第

象限時(shí)；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而o

2.兩個(gè)一次函數(shù)y=3x+12,歹=3-；羽的圖像與y軸所圍成的三角形面積是。

3.等腰三角形一個(gè)底角的度數(shù)記作y，頂角的度數(shù)記作x,將y表示成x的函數(shù)是

其中x的取值范圍是。

4.如果函數(shù)丁=-1-1的圖像與直線y=3x-2平行，則。=0

5.已知四條直線y=祖x-3、y=-l>y=3>x=1所圍成的車(chē)邊形的面積是12,則m-。

6.一次函數(shù)y=+b的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(l,2)且與x軸交于點(diǎn)力,與y軸交于點(diǎn)8。若

sinZPAO=—,則線段。8的長(zhǎng)為。

5

7.已知一次函數(shù)y=Ax+b中，若x的值每增加4,歹的值也相應(yīng)增加8,則左=o

8.如果把函數(shù)y=2x的圖像向下平移兩個(gè)單位，再向左平移一個(gè)單位，那么得到的是

的圖像。

9.已知一次函數(shù)y=(3〃—1)(2〃+1)》病+3,則〃的值為o

10.若直線y=(/w-l)x+加-5不經(jīng)過(guò)第二象限，則的取值范圍是o

二、解答題

11.求證：不論左為何值，一次函數(shù)(2左-l)x-(左+3亞-(攵-11)=0的圖像恒過(guò)一定點(diǎn)。

12.某商人將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元售出時(shí)，每天可以銷售100件，現(xiàn)在他想采

用提高售出價(jià)的辦法來(lái)增加利潤(rùn).已知這種商品每提高價(jià)1元(每件)，日銷售量就要減少

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10件，那么他要使每天獲利最大.應(yīng)把售出價(jià)定為多少元?

B卷

一、填空題

1.函數(shù)y=ax+—(l-x)(a>0,0<x<1)的最小值為。

a

k

2.如圖，正比例函數(shù)夕=x和y=ax(a>0)的圖像與反比例函數(shù)歹=人(左>0)的

x

圖像分別交于4點(diǎn)和。點(diǎn)。若直角三角形/。8和直角三角形的面積分

別為￡和S],則S,與S2的大小關(guān)系是0

3.點(diǎn)4-4,0)、6(2,0)是平面直角坐標(biāo)系中的兩定點(diǎn)，。是y=-；x+2圖像上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足

上述條件的直角三角形N8C或畫(huà)出個(gè)。

4.直線ax+by+c=0(ah>Q,ac>0)經(jīng)過(guò)象限。

5.一個(gè)三角形以4=(0,0)、8(1,1)及。(9,1)為三個(gè)頂點(diǎn)，一條與x軸相垂直的直線將該三角形

劃分成面積相等的兩部分，則此直線的解析式為

6.已知函數(shù)歹=3及y=-x+4,則以這兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積

X

為。

7.雙曲線y=&與一次函數(shù)y=-丘+4,的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則人的取值范圍是o

X

8.已知反比例函數(shù)歹=幺/#0),當(dāng)x>0時(shí)歹隨x的增大而增大，則一次函數(shù)y丘一4左的

x2

圖像經(jīng)過(guò)象限。

9.已知實(shí)數(shù)x、y滿足4x+3y-12=0,則的取值范圍是。

10.一次函數(shù)夕=如擔(dān)-與歹=-2%+%的圖像在第四象限內(nèi)交于一點(diǎn)，則整數(shù)

44-33

m=o

二、解答題

11.設(shè)直線夕=2(x-1)與直線夕=-2(x-5)相交于點(diǎn)A,它們與x軸的交點(diǎn)為8,。，求A48C中

8。邊上的中線所在的直線方程。

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12.已知函數(shù)/(x)=(〃?-2)x+2加-3,⑴求證：無(wú)論加取何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖像恒過(guò)某一定點(diǎn);

(2)當(dāng)x在l4xK2內(nèi)變化時(shí)，y在4WyW5內(nèi)，求實(shí)數(shù)機(jī)的值。

13.若對(duì)于滿足04x42的一切實(shí)數(shù)x,函數(shù)y=(2左)x-3%+7的值恒大于0,求實(shí)數(shù)上的取值

范圍。

14.A、B兩廠生產(chǎn)某商品的產(chǎn)量分別為60噸與100噸，供應(yīng)三個(gè)商店。甲店需45噸，乙店

需75噸，丙店需40噸。從A廠到三商店每噸運(yùn)費(fèi)分別為10元、5元、6元，從B廠到三商

店每噸運(yùn)費(fèi)分別為4元、8元、15元，如何分配使總運(yùn)費(fèi)最?。?/p>

C卷

一、填空題

1.函數(shù)y=3x-b與y=ax+2的圖像關(guān)于直線y=6對(duì)稱則a=

b-?

2.三個(gè)一次函數(shù)y=kxx+b}>y=k2x+b2;y=k3x+b3在同一

直角坐標(biāo)系中的圖像如圖所示，分別為直線/2>/3,則勺、&、《的

大小關(guān)系是。

3.已知函數(shù)y=(a-2)x-3a-1,當(dāng)自變量x的取值范圍為3WxW5時(shí)，

有丁既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

4.已知a<b<c,則函數(shù)y=卜-4|+卜-4+卜-4的最小值是

5.一次函數(shù)y=/(x)滿足/{/[/(X)]}=8x+7,則/(x)=

6.已知abc^O=—=—=p,則一次函數(shù)y=P(x+l)的圖像一定通過(guò)

cab

象限。

7.已知一次函數(shù)y=ax+b(a為整數(shù))的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(98,19),它與x軸的交點(diǎn)為(0，0),

與y軸的交點(diǎn)為(0,。.若。為質(zhì)數(shù)，q為正整數(shù)，則適合上述條件的一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是

個(gè)。

8.把函數(shù)y=匚的圖像沿x軸向平移個(gè)單位，再沿y軸向

X

______平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=土二L的圖像。

2-x

9.方程4/_「_6》+歹+2=0表示成兩個(gè)一次函數(shù)是o

10.一次函數(shù)丁=ax+b的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(10,13),它在x軸上的截距是一個(gè)質(zhì)數(shù)，在y軸上的

截距是一個(gè)正整數(shù)，則這樣的函數(shù)有個(gè)。

二、解答題

11.如圖，設(shè)直線日+(左+1?-1=0與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的直角三角形的面積是

Sk>求S1+S2+S3+...s199s.

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12.在直角坐標(biāo)系中有一個(gè)矩形Z3C。，點(diǎn)8與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，以在y軸的正半軸上，8。在

x軸的正半軸上，點(diǎn)尸在C。邊上，直線歹=日-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，且與x軸交于點(diǎn)。。若

BA+BC=10,歷hBC=24,ZUOP的面積是APQC的5倍，求直線的解析式。

13.在相距為/的兩個(gè)車(chē)庫(kù)里，分別有犯、見(jiàn)輛汽車(chē)，擬在48兩個(gè)車(chē)庫(kù)之間設(shè)修理站以檢

修車(chē)輛。若每輛車(chē)的運(yùn)費(fèi)與距離成正比例，要使全部汽車(chē)都檢修一次所需要的總運(yùn)費(fèi)最小，

修理站應(yīng)設(shè)在何處？

14.已知直線乙f=以和點(diǎn)尸(6,4),,在直線4上求一點(diǎn)0,使過(guò)戶。的直線與直線4以及x軸

在第一象限內(nèi)圍成的三角形的面積最小。

第二講一元二次方程的解法

知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)

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一元方程中，一元一次方程的解法較簡(jiǎn)單，--般的三次、四次方程的求根公

式很繁，四次以上的方程在理論上又無(wú)求根公式.因此,一元二次方程的解法占

為重要的地位.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,和一元二次方程布"關(guān)的問(wèn)題很多?知識(shí)性、綜合

性、技巧性都較強(qiáng).這就要求我們不僅要熟練地掌握一元二次方程的基本解法和

基本理論，而且要在此基礎(chǔ)上能靈活地、綜合地運(yùn)用這些知識(shí)和理論以及其他有

關(guān)的知識(shí).

一元二次方程常用的解法有：

1.因式分解法.它基于這樣的原理：八?九”f=0"6?=1，2,…，*)

中至少有一個(gè)為零.

2.配方法.它源于開(kāi)平方法：f2=a(a>0)=f=±6.

3.公式法.對(duì)于一元二次方程az?+6工+c=0(a/0),當(dāng)△20時(shí)由配方

法可導(dǎo)出它的兩根為

—b±J7一\ac

，其中△=b2-4ac.

配方法是公式法的原理和依據(jù)?且又在求最大最小值、不等式證明、代數(shù)式

求值等方面有廣泛應(yīng)用，因此應(yīng)熟練掌握配方的方法和技巧.

含字母系數(shù)的一元二次方程的討論，導(dǎo)致r題目的『變?nèi)f化.但是，如果能

靈活運(yùn)用判別式和韋達(dá)定理等知識(shí)，就能在解題中想出一些絕妙的解法.

例題精講

例1：解方程(2x-l>-3|2x-1|+2=0.

解原方程可寫(xiě)成I2H一1/一3?2/一1|+2=0.

得(|2x—1|—1)(|2x—1|—2)=0.

由|2彳一1|=1,得力=0,N2=1.

31

由I2z—1I=2,得73=i，彳4=——?

?1

原方程的根為X|=0,q=1,了3=j，/4=——-

例2：解方程/_疝-1卜4=0.

解令酎-1=0,得了=1,以T為分界點(diǎn)把數(shù)軸劃分為兩個(gè)區(qū)間，分別求解.

(D當(dāng)HV1時(shí),則2］一1<0,原方程可以寫(xiě)成一+2工一5=0.

所以x——1—或z=-1+6(舍去)；

(2)當(dāng)時(shí)，則2才一1、0,原方程可以寫(xiě)成工2-2H一3=0.

所以Z=3或JF=-1(舍去).

綜上所述,原方程的根為力=-1-6,72=3.

例3：解關(guān)于x的方程(。一力+。)/+20￥+(。+/?—。)=0.

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解(1)若a—〃+c=0,則原方程成為2ax+(a+b—c)=0,

①若a=0,則c—b=0,原方程為0了+0=0,x可為一切實(shí)數(shù).

②若a#0,則1=-4-0。土'

La

(2)若a—〃+c#0,則原方程成為(z+l)[(a—(+c)H+(a+b—c)J=0.

例4：已知首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)關(guān)于x的二次方程

(a-l)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0

(h-\)x2-(b2+2)x+(h2+26)=0

2,h

及(a,b是正整數(shù))有一個(gè)公共根，求-V的值。

ah+b-a

解由題意知a>1.6>1，ar尻利用因式分解可解得上述兩個(gè)方程的根

分別為

a+2.〃十2

a，E，>，E

因?yàn)閮蓚€(gè)方程有一個(gè)公共根，則必有

6+2-a+2

a-1或-一b.

上述兩式都化簡(jiǎn)為

ah-a—b-2=0.

即(a—1)3—1)=3

所以，由a、6都是大于1的正整數(shù)，得

=3

(a-l=lra-i=

U-l=3U-i==1.

解之得

產(chǎn)=2或f=4

l/>=4=2.

故

ha2

?+'=ab=4?2'=256.

a-

例5：若二次方程/+22,+2[=0有實(shí)根，其中0、q為奇數(shù)。

證明：此方程的根是無(wú)理數(shù)。

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證明由題設(shè)為、工2為實(shí)根，所以△=4(立z_2q)>0.但p-是奇數(shù),"W

2q,△>0,X|.2=—p±.y/p?—2g.若ri、心是有理數(shù).則△=4(/>2—2q)是完

全平方數(shù).于是P1-2g也是完全平方數(shù)?設(shè)2q=k\k為奇數(shù)).由于以及是

奇數(shù)?則/>+4、？一及均為偶數(shù),不妨設(shè)立+歸=2m,p-k=為整數(shù)).

則2q=p2—k?=Amn.q—2mn與g是奇數(shù)矛盾.所以Hi、Hz不可能是有理數(shù).

又由為、工2是實(shí)數(shù)，從而X,、2是無(wú)理數(shù)根.

例6：解關(guān)于x的方程：2x2+(l-z)x2-2tx+(t2-Z)=0.

解按字母，降鼎排列，構(gòu)成一個(gè)關(guān)于，的二次方程：〃一(一+2工+1)，+

dCr+D=0,得(，一/)口一(2工+1)]=0,所以工2=?或2H+1=t.

當(dāng)t>0時(shí),=石，工2=—41、了3=’21；當(dāng)，V0時(shí)，H=12~'

習(xí)題

A卷

一、填空題

1.設(shè)方程(加2_1)》2_(加+])》+3=0,當(dāng)機(jī)時(shí)，是一元一次方程；當(dāng)初時(shí)，是一

元二次方程。

2.方程(x+l)3-(X-1)3=2,用方法較簡(jiǎn)捷，其根是。

3.用公式法解4x=l-士其根是。

2

4.將方程2-+7工+3=0化成。(x+m)(x+〃)=0的形式,可得o

5.若x=1是方程ax?+6x+c=0的——個(gè)根，則Q+b+c=o

6.若方程+工+加2+2加-3=0有一個(gè)根為0,則加=。

7.關(guān)于x的方程-4f+4bx-/=0,貝ijx=o

8.若Q是方程/+bx+a=0的根，貝！Ja+b=。

9.已知x=則4",的值是。

10.如果對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b,定義a*b=a+2b,解方程：

/*(2x)+2*l=0,可得x=。

二、解答題

1L用公式法解(m-l)x2-2(m+2)x+in—0.

12.若方程/+云+1=0與方程x—b=0至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的值。

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B卷

一、填空題

1.解方程573F—1lx—584=0,貝Ux=0

2.解方程丁-忖-1=0,貝！Jx=o

3.當(dāng)初時(shí)，方.程(VI+Df+g—⑼*—2忘=0有一個(gè)根是1。

4.已知x+'=3,則/+3/一16/+3%-17=o

X

5.已知6、°為方程—+bx+c=0的兩個(gè)根，且cw0,bw0,則6=，c-。

6.若也8-106是方程1+以+6=0的一個(gè)根，其中。、b為有理數(shù)，則必=o

7.若1、J是一元二次方程42+隊(duì)+2=0的兩個(gè)根，則。=o

2

8.若加是方程?2+bx+a=0(aH0)的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是O

9.已知二次方程a(x+1)(%+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+3)(x+1)=0有根0與1,貝U

a:b:c=o

10.已知關(guān)于x的方程面一1*_2(4+1)》+1=0恰有一個(gè)實(shí)根，則a應(yīng)取值為。

二、解答題

11.已知方程/_1"-150=0的一個(gè)正根為。，求-1+

Va+V?+l

1_________1

的值。

Ja+1+Ja+2&+1999+3+2000

12.若a>b>c>0,在一元二次方程(a-c)x+(c-a)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中，求較大的

實(shí)數(shù)根。

第10/102頁(yè)

13.證明：若一一上+?是方程相+〃x+c=0的一個(gè)根，貝IJ--—~4k

2m2m

也是它的一個(gè)根。

C卷

一、填空題

1.已知〃是正整數(shù)，且4〃2+17〃-15表示兩個(gè)相鄰正整數(shù)之和，則〃

的值有個(gè)。

2.方程中-1|+4國(guó)-2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是個(gè)。

3.方程||2工+1卜耳=4的解是0

4.已知加2=加+=〃+1(機(jī)H”)，則M+〃'=O

5.已知關(guān)于x的方程a?+bx+c=O(a*O)無(wú)實(shí)根，甲因看錯(cuò)了二次項(xiàng)系數(shù)解的根為2、4；乙

因看錯(cuò)了某項(xiàng)的符號(hào)解的根為一1、4,則竺上工的值是o

4

6.設(shè)p=(x+l)(x+2)(x+3)(x+4),g=(x—l)(x-2)(x-3)(x-4),則p—q的結(jié)果是。

7.方程M_7國(guó)+6=0,各根的和是o

8.己知￡、￡是方程/-2x-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，貝|〃+8￡+6的值為。

9.設(shè)等腰三角形的一腰與底邊的長(zhǎng)分別是方程V—6x+a=0的兩根，當(dāng)這樣的三解形只有一

個(gè)時(shí)，a的范圍是o

10.已知〃是正整數(shù)，方程+〃2X+(〃一］)=o,當(dāng)〃=2時(shí)，兩根為火、

b2；當(dāng)〃=3時(shí)，兩根為生、&…；當(dāng)〃=100時(shí)，兩根為陽(yáng)。、狐°,則代數(shù)式

-----——-+——----+???+------!------的值等于______o

_

(a2-1)(Z?21)(%-1)(63-1)(%oo-1)3100-1)

二、解答題

11.若三個(gè)整數(shù)a、b、c使得方程辦2+6x+c=0的兩個(gè)根為a、b,求a+6+c的值。

第11/102頁(yè)

12.已知a、b、c、d是非零實(shí)數(shù)，c、d是方程/+火+6=0的兩根；a、6是方程/+以+4=0

的兩根，求o+b+c+d的值。

13.已知小1,且5a2+787643150a+7=0;

7〃+787643150b+5=0,求色的值。

14.已知a是方程》2一3》+1=0的根，求2亡5仁上2上史的值。

a2+l

第三講一元二次方程根的判別式

知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)

第12/102頁(yè)

aO

一元二次方程.+c=°（a#0）通過(guò)配方可以轉(zhuǎn)化為，工+場(chǎng)）、

根據(jù)平方根的意義，當(dāng)ft2-4ac，0時(shí).方程才有實(shí)數(shù)解；當(dāng)〃-4acV0時(shí),

方程無(wú)實(shí)數(shù)解.我們稱必一4ac為一元二次方程的判別式,記作為&

當(dāng)4="-4<1。>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別為

—b%/△—b一

乃=―己---，工2=-7----：

laia

當(dāng)△=廿一4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（簡(jiǎn)稱等根，又稱重根）

h

2a

當(dāng)△=〃-4ac<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

反之，亦成立.即如要方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則△>（）;如果方程有重

根，則△=（）;如果方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則A<0.

根據(jù)方程的判別式△除了判別方程根的情況外，還可確定某些方程中參

數(shù)的值或參數(shù)的取值范圍；證明某些恒等式或條件等式；解某些方程或方程組

以及求有關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題.其中只要輔之以韋達(dá)定理和不等式（組）的有關(guān)

知識(shí).

下面我們通過(guò)幾個(gè)例題作一些具體的分析和說(shuō)明.

例題精講

例1:如4、b為實(shí)數(shù),證明：方程（X-0（X-b）=l有兩相異實(shí)數(shù)根。

證明由（7—a）（z—6）=1,得X2—（ab）x+ab-1=0,A=（a+

6）2—4（。力-1）=（a-力2+4>o,故該方程有兩相異實(shí)數(shù)根.

例2：如果x的一元二次方程（女-兒）/+（反-如口+（必-女）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，證明:

112

--1—=一.

acb

證明因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以判別式A=o,即（bc-ab）2一

4（ac—6c）（?6—ac）=0.展開(kāi)并整理，得（abbe—Zac'）2=0,所以a6+

112

be=2ac,等式兩邊同時(shí)除以即得L+上=

acb

例3：設(shè)a、b、c為正數(shù),證明：方程0?+笈+。=0和！/+1彳+1=0,至少有一個(gè)方程有

ahc

實(shí)根。

證明設(shè)兩個(gè)方程的判別式分別為和△?,△尸從一4ac;△?=]一

b

■1產(chǎn)：如果第一個(gè)方程有實(shí)根.則△1》o.此時(shí)有〃24ac,于是△?=

acabc

UC~,4<，2&ac二=_旨V0.即第二個(gè)方程無(wú)實(shí)數(shù)根;反之,如果第二個(gè)方

ab'cab'co

程有實(shí)根,則Az）。,此時(shí)有ac>4人.于是△―b2-4ac<62-1662=

-1562V0,即第一個(gè)方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

綜合上述兩種情況可知，兩個(gè)方程中至多有一個(gè)方程有實(shí)根.

例4：已知二次方程ax?+bx+c=0（ac工0）有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根和〃，且加<|〃?|,試判斷二

第13/102頁(yè)

次方程ex2+(m-n)ax-Q=0根的情況。

解因?yàn)閙和〃異號(hào)，旦加VI帆I(xiàn)?所以加V0,〃>0.

對(duì)方程ex2+(7M—n)ax—a=0而言，△=(m—n)2a2+4ac=[(m+

b0

n)2—\mn~\a2+4ac.由于m+〃=-----,vnn——，所以△=a2(zw-pw)2-

aa

\mna2+4ac=a2ini+n)2—\ac+4ac=a"(加+〃0,所以方程必有兩個(gè)

實(shí)數(shù)根.

例5：解方程組

rx2+y2-xy-3x+3=0①

Lx~++z~-xy-yz-5z+6=0(2)

解將方程①變形為一-3+3)工+/+3=0,看作為關(guān)于上的一元二次

方程.由△>()得/+6y+9-4/-12>0,于是有/-2?+140,即一

l)2W0,所以y=l.將y=l代人①得/一4?r+4=0.所以z=2.由②一①

得Z2+3JT—j?z—5z+3=0,將_r=2,y—1代人得z2—6z+9=0,所以z——3.

所以原方程組的解為

x=2

=1

,2=3.

例6：如圖，△/!比中，AB>AC,49為角平分線，的垂直平分線交比1延長(zhǎng)線于反設(shè)誨a,

DE=b,BE=c.

求證：二次方程af-2bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

施3要證明方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，只

要△=()即可,就是設(shè)法證明奶z-4ac=0.即

〃=ac,至此我們很自然想到是a、c的比例中

項(xiàng)，于是可設(shè)法通過(guò)相似形來(lái)達(dá)到目的.

證明連結(jié)AE.因?yàn)镋在AD的垂直平分線

上，所以EA=ED,ZEAD=NEDA.因?yàn)?/p>

Z1=Z2.所以NB=NADE-Z1

/E4D-Z2=/E4C.乂因?yàn)閆AKC=NBEA.所以△BAEsAACE.由

此得”=縣，即AE2=BE?EC,所以DEZ=BE-EC.而DE=兒BE=c

BEEA

EC=a,所以h2=ac,即b2—ac=0.而對(duì)方程a.r2—2bH+c=0而言,△=

4〃一4ac,所以△=4(62-ac)=0.所以原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

K本題是幾何和代數(shù)結(jié)合的一道證明題.通過(guò)幾何的相似形有關(guān)判定

和性質(zhì),再結(jié)合一元二次方程根的判別式△，比較順利地達(dá)到了所要證明的

結(jié)論.

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習(xí)題

A卷

一、填空題

1.方程4x2-2(a-b)x-ab=0的判別式是。

2.關(guān)于x的方程加1-2(3加-1口+9加-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么”的取值范圍是。

3.當(dāng)左不小于-工時(shí)，方程(左-2)/一(2左-l)x+左=0的根的情況是0

4

4.方程2/+3(左一1)+左2_4左_7=0一定實(shí)數(shù)根o

5.已知漱+4+1+1|=0,當(dāng)k,方程丘2+ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

6.方程(加-1)/+2(加-7)x+2帆+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則加=o

7.關(guān)于x的方程4f+6x+加=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則m的最小值為o

8.關(guān)于x的方程(a-b)/-2cx+(a+b)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且a、b、c是A48C的三條

邊，則ZU8C是______三角形。

9.方程2犬_(加一1口=3-根的根的判別式的值是4,則這個(gè)方程的根是

10.已知a為實(shí)數(shù)且使關(guān)于x的二次方程一一下工+^二。有實(shí)根，則該方程根所能取得的最小

值是0

二、解答題

11.證明：當(dāng)機(jī)取任何值時(shí)，一元二次方程/+2加工+加-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

12.已知a、b為整數(shù)，/一數(shù)+3-6=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

f+(6-a)x+7-6=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；J+(4-a)x+5-6=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求a、b的值。

第15/102頁(yè)

B卷

一、填空題

1.已知方程0+1）/+（卜+2|-卜-10以+。=5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a可以是o

2.如果關(guān)于x的方程加2（加+2）x+〃?+5=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于x的方程

（m-5）x2-2（2加+2）x+m=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為。

3.加是時(shí)，方程（加J2）/一（2加+1及+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

4.加是時(shí)，方程V-?！?2）x+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

5.已知方程2x（Ax-4）--+6=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則上的取值范圍是o

6.加是有理數(shù)，當(dāng)4=時(shí)，方程x?-4/nx+4x+3加2-2加+4左=0的根為有理數(shù)。

7.關(guān)于x的一元二次方程（"b）x2+（b-c）x+（c-a）=0的兩根相等，則

。、b、c的關(guān)系式是b+c2a（填"=”或">”）o

8.已知方程/+2（1+。.+（3。2一6。6+94/+2）=0有實(shí)數(shù)根，則方程的根為。

9.對(duì)于方程/一2國(guó)+2=加，如果方程實(shí)根的個(gè)數(shù)恰為三個(gè)，則加=0

10.已知關(guān)于x的方程加丫2-（加+2）x+加+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根的平方和等于1,

那么機(jī)的值為o

二、解答題

11.判另U方程（x—a）（x—。-6）=1的實(shí)根個(gè)數(shù)，這里。、6是實(shí)數(shù)。

12.若正整數(shù)系數(shù)二次方程4/+加工+〃=0有兩個(gè)不相等的有理根p、q,且p<q；又方程

x~-px+2q=0與方程犬-（fx+2p=0有一個(gè)公共根，試求X?-px+2q=0的另一個(gè)根。

C卷

一、填空題

1.方程14x2—4h+ll/_88x+34^+149=0的實(shí)數(shù)解是。

2.已知實(shí)數(shù)b、c,滿足a+b+c=0,"c=8,則c的取值范圍是

第16/102頁(yè)

3.設(shè)左為整數(shù)，且左力0,方程丘2_/_i）x+l=0有有理根，則左的值為。

4.已知關(guān)于X的方程工2-2心+如二匹-0有實(shí)數(shù)根，其中。為實(shí)數(shù)，則/99+”99的值

4

為o

5.已知x、y是實(shí)數(shù)，滿足（x-3>+（y-3>=6,則上的最大值是o

X

6.設(shè)4+b〉c〉O,且那么二次方程a1x~+{b~+a2-c2）x+b2=0的實(shí)數(shù)根有

個(gè)。

7.已知對(duì)任何實(shí)數(shù)左，二次方程辦2+（b-左）x+c+A=0（"0）都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a、

b、c之間的關(guān)系是。

8.已知恰好有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足方程（時(shí)-1）/+25+1口+1=0,則。的值為o

9.已知關(guān)于》的一元二次方程刀2+（2加+1口+（3掰2+4〃仍+4〃2+2）=0有實(shí)數(shù)根，則

m=,n=o

10.已知（x-z）2-4（x—y）（y-z）=0,則x+z2y（填"=”或“>”）。

二、解答題

2,

11.已知實(shí)數(shù)x、y>z滿足x+y+z=+/+z?=5,求證：x、y、z都不大于3a.

12.當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程,2一5耳=。有且只有相異的兩實(shí)數(shù)根?

第17/102頁(yè)

13.已知三個(gè)關(guān)于x的方程公-x+m-0>(w-l)x2+2x+1=0和(m-2)x2+2x-l=0，若其中至

少有兩個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)加的范圍。

14.設(shè)p是實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程M—3px-〃=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根耳力

(1)證明：3pX[+x；-p>0；

(2)求"=——￡——+3-2+)+3”的最小值。

3p%i+%2+3pp

第18/102頁(yè)

第四講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

知識(shí)點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)

一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：

設(shè)一元二次方程a-+6z+c=o（a#O,%b、，為實(shí)數(shù)）的兩根為為、心，

則有了1+工2=--X\X-t——.反之，若兩數(shù),Cj、蟲(chóng)滿足工1+Xi=-------,

aaa

X,x2=￡，則此兩數(shù)是方程+c=0的兩根.

a

根據(jù)已知一元二次方程,運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系，可求出某些含兩根的代數(shù)式的

值和確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍.

例題精講

例1：二次方程/+辦+6+1=0的根是正整數(shù)，證明：/+〃是合數(shù)。

證明設(shè)這兩正整數(shù)根分別為⑥、4，則力+及=一。且斗6=6+1.

所以。2+，>2=（Z1+Z2?+（才1工2—1）2="+Tl+Xixl+1=（X|+1）

（元+1）.證得公+〃是合數(shù).

例2：設(shè)關(guān)于x的一元二次方程X?+mx+n=0的一根為另一根的a（aR-1）倍,試求系數(shù)加、n間

的關(guān)系。

解設(shè)方程的兩根為4、且?="z2.由根與系數(shù)關(guān)系得為+工2=

—?m,X\Xi.=n,因而有azz+iz=-m>即72=----,故乃——---.由

a+1a+1

x\Xz—n得（---）（--------Yf）=n,故m2a=n（a+I）2.

例3：方程x2+4x+l=0的兩根是a、（3.

（1）求g+理的值；

（2）求作一個(gè)新的一元二次方程，使其兩根分別等于a、，的倒數(shù)的立方。

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解由根與系數(shù)的關(guān)系得。+9=—4,咱=L

=4；

(2)設(shè)所求的方程為靖+川+9=0,且兩根為機(jī)，〃，有P=一(6+〃)=

/11\。3+伊(Q+h3―3甲(。+伊一64+12.9

―(/+爐)=一/=------閑------=------1―=522=

加〃=2?[=1.故所求方程為y2-\-52y+1=0.

a3尸s

例4：二次方程/+"%+p=0的兩根為a、￡；—++g=0的兩根為八b,證明:

(a—i)(a-3)(2T)(/3-b)=(p-q)2.

證明由根與系數(shù)關(guān)系得a+S=廠+合=一非，中=p.Z=q.又=

——p、P2+nfi=—p,所以(a—r)(a—8)(R—r)(B—心)=[M—(r+5)a+r^J?

￥2_(廠”)0+廠8]=(M++q)(g2+〃8+q)=(—p-|-g)2=(p—q)2

例5：Q、b、c均是實(shí)數(shù)，且a+b+c=0,abc=1.

證明：4、b、C中必有一個(gè)數(shù)大于工

2

證明由已知可得：a、Ac三數(shù)中，一個(gè)為正數(shù)，兩個(gè)為負(fù)數(shù)，不失一般性.

不妨設(shè)a>0.由題設(shè)得b+c=-a,hc=，，所以6、c是關(guān)于工的方程—+”+

a

-=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.從而△=a—/>0,即a2》="I.所以。、從

3

C中至少有一個(gè)大于

例6：p、4為正質(zhì)數(shù)，方程x2+/x+q3=o有整數(shù)根嗎？

解因系數(shù)為正質(zhì)數(shù)均大于零,故方程#+"工+<73=。無(wú)正根，又HI”=

q3,故整數(shù)根只可能為一1，一(?3或一q,-q2兩組.

(1)若一(Xi+xj)=—(—1—g3)=l+q'=/>2,即1-pi—qi.因1為

奇數(shù),則質(zhì)數(shù)P、q中必有一為偶數(shù)2,易得》=3,q=2;

2

(2)若一(皿+工2)=-(-q-9)=q+g2=",應(yīng)有p有因數(shù)q,矛盾.

故原方程為了2+32工+23=/+9h+8=0,即有整數(shù)根一1,一8.

習(xí)題

A卷

一、填空題

1.如果方程Ji/-2x=x-l的兩個(gè)根是X]、x2,貝卜]+》2=,x]*x2-

2.若方程/+bx+c=0有兩個(gè)正的實(shí)數(shù)根，則其中系數(shù)氏c應(yīng)滿足的條件是

3.關(guān)于x的一元二次方程——ax-3a=0的一個(gè)根是6,另一根是。

4.已知方程/+6一4=0的兩根的絕對(duì)值相等，則這個(gè)方程的根是。

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5.已知X］、是關(guān)于*的方程一+2才+加2=0的兩個(gè)根，且［-々）2=2,則加的值是

6.關(guān)于x的方程/+（2〃7_3口+/+6=0的兩實(shí)數(shù)根之積是兩實(shí)數(shù)根之和的2倍，

m=o

7.已知上后、上5是關(guān)于x的二次方程/+bx+l=O的兩個(gè)根，則b的值是______o

22

8.設(shè)方程/-lOlx+左-2=0的一個(gè)根的3倍少7為另一個(gè)根，則％=

9.已知方程Y+p