第7章 二階電路(不要了)重點：用經(jīng)典法分析二階電路的過渡過程；二階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)的概念；階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的概念;定義：用二階微分方程描述的動態(tài)電路叫二階電路。7.1二階電路的零輸入響應(yīng)uc(0+)=U0

i(0+)=0Cdtd

2u

duLC C

+

RC C

+

u

=

0已知：一.二階電路的零輸入響應(yīng)RL+-

Ciuc若以電容電壓為變量：=

0列電路方程：Ri

+uL

-uCdt

dtdu

diLi

=

-C C

u

=

L若以電感電流為變量：+

i

=

0dtdi+

RCdtdtd

2iLCLCP

2

+

RCP

+

1

=

0特征方程：電路方程：=

0Cdudt

dtd

2uLC C

+

RC C

+

u以電容電壓為變量時的初始條件：兩個uc(0+)=U0i(0+)=0=

0t

=0+dtduC特征根：P1及P2二.零輸入響應(yīng)的三種情況二個不等負實根LR

>

2二個相等負實根CLR

=

2二個共軛復(fù)根CCLR

<

21,22L-R

–

R2

-

4L

/

C=過阻尼臨界阻尼欠阻尼RR12L

LC2L=

- –

(

)2

-特征根：P

L

C(1)

R

>

2tptpc2121+

A

eu

=

Ae0A1

+

A2

=

UP1

A1

+

P2

A2

=

00201UP2

-

P1

A

=UP2

-

P1-

P1P2

A

=2

0

CP2tP1t(P

eU-

P1e

)P2

-

P1u

=0cu

(0+

)

=

UduCdt(0+

)=

0t=0時cU0(

P2e

P1t

-

P1e

P

2t

)u

=U0tP2

-

P1ucP

U

2

0

e

P1tP2

-

P1P

te2P2

-

P1-

P1U0設(shè)|P2|>|P1|ep2t比ep1t

衰減的快ccdu(e

p1t

-

e

p2t

)dt

L(P2

-

P1

)-

U0=i

=

-Ccc2、t=0+

i

=0 ,

t=￥

i

=03、ic>0t=tm時ic

最大tU0tm2tmuLucic4、0<

t

<

tm

i增加,

uL>0t

>

tm

i

減小,

uL

<0t=2

tm時uL

最大L(P

e

p1t

-

P

e

p2t

)1

2dt

(P2

-

P1

)-

U0u

=

L

di

=cU0(

P2e

P1t

-

P1e

P

2t

)P2

-

P1u

=t

=

￥

,

uL

=

0t

=

0,

uL

=

U0方向。既C一直單調(diào)放電。非震蕩放電c分析：1、可見

u

?

0,

i

?

0

不改變5、求tm：iC=i為極大值時的tm即uL=0時過零點的t，計算如下:1p

tp

t-

P2

e

2

)

=

0(P1

e1

211mp

-p

pt

=

np26、由duL/dt可確定uL為極大值時的時間t

：2122p

tp

t-

P2

e

)

=

0(P1

et

=

2tmL(

P

e

p1t

-

P

e

p2t

)1

2dt

(

P2

-

P1

)-

U0u

=

L

di

=p1p1

-

p2t

=2n

p2P

te2

me

P1tm1P2P

=7、能量轉(zhuǎn)換關(guān)系RLC+-RLC+-tU0tm2tmuLucic0<t

<tm

uc減小，i

增加。L吸收能量，建立磁場；

R大耗能迅速t

>tm

uc減小，i

減小.磁能不增加，L、C都放電稱為過阻尼例7-1例1

已知R=3W

,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2ViL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零輸入響應(yīng)。R

12LLC-2

R

2p

=

-

–-

=

-3

–

32

-8

=

-3

–1

=

2L

-4

1，2

u

(t)

=

A

e-2t

+

A

e-4t

(t

?

0)C

1

2則：由R、L、C的值，計算P1、P2解：CR

=

3W

2

L

(=

2

2W

)過阻尼利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：C1

22

C

dtCdu

(t)

i

(0+

)t

=0+

1u

(0+

)

=

A

+

A

=

2=

-2

A

-

4

A

=

L

=

4A1=6和A2=-4Cu

(t)

=

(6e-2t

-

4e-4t

)VC=

-3e(t

?

0)+

4e

A

(t

?

0)dtduiL

(t)

=

iC

(t)

=

C-4t-2t解得:，最后得到電容電壓的零輸入響應(yīng)為它們的波形曲線如下圖所示。過阻尼情況uC20tiL10t從波形可看出，1、在t>0以后，電感電流減少，電感放出它儲存的磁場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)殡妶瞿埽闺娙蓦妷涸黾印?、到電感電流達到負的最大值后，電感和電容均放出能量供給電阻消耗，直到電阻將電容和電感的初始儲能全部消耗完為止。2、到電感電流變?yōu)榱銜r，電容電壓達到最大值，此時電感放出全部磁場能。以后，電容放出電場能量，一部分為電阻消耗，另一部分轉(zhuǎn)變?yōu)榇艌瞿?。LC(2)

R

<

2P1、2為一對共軛復(fù)根LC12L(

R

)2

-P

=

-

R

–120–

jb2LP

=

-d

–

jw

=

-w

e1(諧振角頻率)(衰減系數(shù))LC2Lw

0

=令：d

=R0(固有振蕩角頻率)則

w

=

w

2

-d

2uc的響應(yīng)為：1212002

1002

1-]j2p

tp

tcUU(

p

ee

)jb

p

tU

w-

jb

p

tu

=-

p

e

)

=(-w

e

e+w

eP

-

P-

j2wej(b

+w

t)

-e-

j(b

+wt)=

0

0

e

dt

[wω，ω０，δ間的關(guān)系:δωω0be

j

(

b

+wt

)

=

cos(b

+wt)

+

j

sin(b

+wt)e-

j

(

b

+wt

)

=

cos(b

+wt)

-

j

sin(b

+wt)00wwsin(w

t

+

b

)U

e-d

tuc

=經(jīng)常寫為：按正弦規(guī)律衰減振蕩涵數(shù)由歐拉公式-]j2cU

wwej(b+wt)

-e-j(b+wt)u

=

0 0

e

dt[00wwsin(w

t

+

b

)U

eu

=-d

tc00U

為包線依指數(shù)衰減的正弦函數(shù)。cwwu

是其振幅以–1、t

=0時uc=U0cu

零點：wt=p-b，2p-b

...np-btp-b

p

2p-b

2p0U0ucww0 0

U e

-dtU

eww-dt-00δ為衰減系數(shù)ω為振蕩角頻率分析：tp

2p-b

2puc0

b

p-bU0icsinw

t-d

t00sin(w

t

-

b

)U

edt

wdi

wu

=

L

=

--d

tLuL零點：wt=b

，p+b，2p+b

...np+bduc

U02、電流

ic

=

-C

dt

=

w

Le3、電感電壓可見：

ic的零點wt

=0，p，2p

...np

為

uc極值點；ic的極值點為uL零點，此時產(chǎn)生大脈沖電流4、能量轉(zhuǎn)換關(guān)系：0

<

wt

<

bb<

wt

<

p-bp-b

<

wt

<

ptp

2p-b

2pU0uc0

b

p-bicRLC+-RLC+RLC+-

-R較小時，響應(yīng)是振蕩的，稱欠阻尼分析：L和C之間周期性地交換能量例7-2例3

已知R=6W

,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)R

12LLC

R

2p

=

-

–- =

-3

–

32

-

52=

-3

–

j4

2L

1，2則得：u

(t)

=

e-3t

(

A

cos

4t

+

A

sin

4t)

(t

?

0)C

1

21

2du

(t)

C

dtCi

(0+

)t

=0+利用初始值：uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:u

(0+

)

=

A

=

3C

1=

-3A

+

4

A

=

L

=

7解：CR

=

6W

2

L

(=

25W

)欠阻尼A1=3、A2=4，CLC(t

?

0)=

0.04e

(7

cos

4t

-

24sin

4t)dtdui

(t)

=

C-3tu

(t)

=

e-3t

(3cos

4t

+

4sin

4t)

=

5e-3t

cos(4t

-53.1

)V (t

?

0)解得得到電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)：=

e-3t

cos(4t

+

73.74

)A下圖為欠阻尼情況衰減系數(shù)δ=3的電容電壓波形δ

=3的電感波形δ

=0.5的電容電壓的波形（d)

δ

=0.5的電感電流的波形1、可以看出，欠阻尼情況的特點是能量在電容與電感之間交換，形成衰減振蕩。電阻越小，單位時間消耗能量越少，曲線衰減越慢。當(dāng)例3中電阻由R=6Ω減小到R

=1Ω，衰減系數(shù)由3變?yōu)?.5時，可以看出電容電壓和電感電流的波形曲線衰減明顯變慢。2、假如電阻等于零，使衰減系數(shù)為零時，電容電壓和電感電流將形成無衰減的等幅振蕩。特例：R=0時210，b

=

p則d

=0

，w

=w

=LCw

Li

=

U0

sinw

tu

=

U

sin(w

t

+

900

)

=

uc

0

L等幅振蕩tLC+-例7-3LC(3)

R

=

2P

=

P

=

-

R

=

-d1

22-d

t2L-d

tuc

=

A1e

+

A

te解出：2

0

A

=

U

d

A1

=

U000ccLdt

Ldidt-d

t-d

tu

=

U

e(1

+d

t)i

=

-c

duc=

U0

te-d

tu

=

L=

U

e(1

-d

t)0cdudt+u

(0+

)

=U

得：A

=Uc

0

1(0

)=0得:A1

(-d)+A2

=0t=0時，由初始條件無振蕩，既非振蕩放電，又稱臨界狀態(tài)。R------臨界電阻例

2

已

知

R=1W

,L=0.25H,C=1F,

uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。221R2L-2

R

p

=-

–

2L

-

LC

=

-2

–

2

-

4

=

-2

–

0

=

-2

1，2

u

(t)

=

A

e-2t

+

A

te-2t

(t

?

0)C

1

2利用初始值則：1

2du

(t)

C

dtCi

(0+

)t

=0+u

(0+

)

=

A

=

-1C

1=

-2

A

+

A

=

L

=

0解：(t

?

0)u

(t)

=

(-e-2t

-

2te-2t

)VC得到電感電流的零輸入響應(yīng)C(t

?

0)dtduiL

(t)

=

iC

(t)

=

C=

4te-2t

A=

(2e-2t

-

2e-2t

+

4te-2t

)得到常數(shù)：A1=-1、A2=-2，得到電容電壓的零輸入響應(yīng).波形曲線如圖所示。臨界阻尼情況uC0-1tiL0t小結(jié)：小結(jié)：CR

>2

L

過阻尼，非振蕩放電p

t

p

t1

22uc

=

A1e

+

A

eCR

<2

L

欠阻尼，振蕩放電sin(w

t

+

b

)u

=

Ae-d

tcCR

=2

L

臨界阻尼，非振蕩放電2-d

t-d

tuc

=

A1e

+

A

te定常數(shù)c

u

(0+

)

dt由初始條件

duc

(0+)可推廣應(yīng)用于一般二階電路二階電路零輸入響應(yīng)的性質(zhì)取決與電路的P1、P2，亦即由電路參數(shù)來決定。L2c

0

0R=0

無阻尼，等幅振蕩，

u

=

U

sin(w

t

+

p

)

=

u電路如圖，t=0時打開開關(guān)。c求u

，并畫出其變化曲線。解（1）

u

(0－)=25VciL(0－)=5A12P

=

-25

–

j139

=

-d

–

jw例1.5Ω20Ω10Ω10Ω0.5H100

μF50V+-

uc+

-cdt50P2

P+106=0duLC

c

+

RC c

+

u

=

0dt特征方程為：d

2uiL（2）開關(guān)打開為RLC串聯(lián)電路，方程為：0.5100·10-6R(15W

)

2欠阻尼sin(139t

+

b

)u

=

Ae-25tccu

=

356e-25t

sin(139t

+

1760

)Vwtuc356250(3)+=

-5)

=

250+C

dtu

(0ducc10-4

A(139cos

b

-

25sin

b

)

=

-

5

Asin

b

=

25，b

=

1760A

=

356u

=

Ae

sin(139t

+

b

)-25tc例2u2u1ku1i

2i

3i1RCRCA對節(jié)點A列寫KCL有：11u

dui1

=

i2

+

i3

=+

c11(dtR

dtduRu+

C

)dt

=

u2

-

u1C

KVL有：R(

u1

+

C

du1

)

+

1)

1

+

1

=

0

1

+

(R2C

2RC

dtdt

2dtd

2u

3

-

k

du

uR兩邊微分整理得：不將左圖為RC振蕩電路，討論k取不同值時u2的零輸入響應(yīng)。特征方程為：=

0R2C

2RCP

2

+

3

-

k

P

+1=

0)

1

+ 1

+(R2C

21dt

2

RC

dtd

2u

3

-

k

du2RC(

3

-

k

)2

-(

1

)22RC

RCP

=

-

3

-

k

–特征根為：12RC

RC0令d

=

3

-

k

,

w

=0則P

=-d

–d

2

-w

20(1)d

2<w

2時特征根為一對共軛復(fù)數(shù)2RC<

(

1

)2(

3

-

k

)2|3-k|<2 ,1<k<5為振蕩情況1RCsin(w

t

+

b

)u

=

Ae-d

t增幅振蕩1<

k

<

3

d

>

0k

=

3

d

=

03<

k

<

5

d

<

0衰減振蕩等幅振蕩2時特征根為兩個負實根0(2)

d

2?

w3

-

k

?

2

即

k

￡

1

和k

?

5時為非振蕩情況7.2二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和階躍響應(yīng)一.RLC串聯(lián)零狀態(tài)響應(yīng)uc(0－)=0

,iL(0－)=0微分方程為：dudt

dtd

2uLC

c

+

RC

c

+

uc

=

E"'cccu+

u=

u特解通解特解:uc

=

E"求通解的特征方程為；LCP

2

+

RCP

+1

=

0RLC+u-

CiLEe(t)212p

tp1tc(

p1

?

p2

)+

A

e(

P

=

P

=

-d

)+

A

te-d

t-d

tccu

=

E

+

A

eu

=

E

+

A1eu

=

E

+

Ae-d

t1、2uc解答形式為：確定二個常數(shù)2

1

2sin(w

t

+

b

) (

P

=

-d

–

jw

)+

dtu

(0

)由初值duc

(0+)ctucE二、GCL并聯(lián)零狀態(tài)電路分析與RLC串聯(lián)電路對偶：得二階微分方程d2iL

diLLC

2

+

GL

+

iL

=

iS

(t

)dt

dtd2u

duLC C

+

RC C

+

uC

=

uS(t)dt

2L---C，R---Gdtuc---iL

us(t)---is(t)LCp2

+

GLp

+1

=

0其特征方程為解得特征根G

G

2p1,2

=-

–

-12C

2C

LC同樣對偶地，特征根可能出現(xiàn)以下三種情況：時LC

，p1,p2為不等的實根。過阻尼1，G

>

2時3，

時，p1,p2為共軛復(fù)數(shù)根。欠阻尼LC

，p1,p2為相等的實根。臨近阻尼2，G

=

2C

LG

<

2這三種情況響應(yīng)的計算方法和公式與RLC串聯(lián)電路完全對偶。例求:所示電路i的零狀態(tài)響應(yīng)。i1=

i

－

0.5

u1

=i

－

0.5(2－

i)·2

=

2i

－2由KVL：dt1

12(2

-

i)

=

2i

+

6

i

dt

+

di

+

2i整理得：d

2i

didt

2

+

8

dt

+12i

=

12二階非齊次常微分方程第一步列寫微分方程2-ii+u1-0.5

u12W1

1/6F

1Hk2W2W2Ai解u

(0-)

=

0,i

(0-)

=

0c

L第二步求通解i’特征根為：P1=

－2

，P2

=

－6"'i

=

i

+

i解答形式為：d

2i

didt

2

+

8

dt

+12i

=

12+u1-0.5u12W2Wi2A穩(wěn)態(tài)模型u1=2(2－0.5u1)i=1Ai第三步求特解i”由穩(wěn)態(tài)模型有：21-6

t'

-2t=

A

e

+

A

ei

=

0.5

u1u1=2第四步定常數(shù)1

2-6

t-2t+

A

ei

=

1

+

A

e+由0

電路模型：+

+LdtdiL

(0 )

=

u

(0

)i(0+

)

=

i(0-

)

=

0Lu

(0+1

28

=

-2

A

-

6

A

0

=

1

+

A1

+

A22

A

=

-1.5)

=

0.5u1

·

2

+

u1

=

2u1

=

8V

A1

=

0.5\

i

=

1

+

0.5e

-2t

-

1.5e

-6

t

A+u1-0.5

u12Wk2W2A1/6F

1H2Wi＋+uL

(0

)-

有限值有限值t

在0－至0＋間dtdt

2d

2u

duLC

c

+

RC

c

+

uc

=

d

(t

)0+

0+0-

0-0+0-0+0-u

dt

=dtdudt

2d

2ucRC

c

dt

+LC

c

dt

+d(t

)dt00+dt

2d

2u-

LC

c

dt

=

1LC

duc

(0+

)

-

LC

duc

(0-

)

=

1dt

dt7.3二階電路的沖激響應(yīng)RLC+-+-uCiRd(t)u

(0-)

=

0,i

(0-)

=

0c

L定量分析，方程為:簡介+

-dtdtLC

du

(0

)

-

LC

du

(0 )

=

1

c

cL

Cdt

L+

+t

=0+i

(0

)=

i

(0

)=

Cduc

=

1t>0+為零輸入響應(yīng)dtdt

2d

2u

duLC

c

+

RC

c

+

uc

=

0LCR

>

2p

t

p

t21uc

=

A1e

+

A

eLC

A

P

+

A

P

=11

1

2

2

A1

+

A2

=

02

11221LCP

-

PA

=

-

A

=dtLC

duc

(0+

)

=1沖擊電源在t=0-到0+間隔內(nèi)是電感電流躍變,電感中存儲一定的磁場能量，引起響應(yīng)。意義:非振蕩CLR

<

21cw

LCe

-d

t

sin(w

t

)e(t

)u

=sin(w

t

+

b

)u

=

Ae-d

tc(

P1、2

=

-d

–

jw

)c(e

p1t

-

e

p2t

)e(t

)LC

(

P2

-

P1

)-1u

=振蕩放電情況或先求單位階躍響應(yīng)，再對時間取一階導(dǎo)數(shù)，最后乘以沖擊強度即可。7.4二階電路的全響應(yīng)已知：iL(0)=2A

uc(0)=0求：iL,

iR

。+

RiL

=

50dtdidt

2d

2iRLC L

+

L(2)

求特解RLCi

RiLi

C50

V50

W100μF0.5H2dt

2d

i+

i

+

LCRdtL

di-

50LL節(jié)點法：Li"

=

1A解補充(1)

列微分方程