2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題

1.如圖，拋物線y=o?+6;+3經(jīng)過點A(1,0),B(4,0).

(1)求拋物線的表達式；

(2)如圖①，在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得四邊形"OC的周長最?。咳舸嬖?，

求出四邊形%OC的周長最小值；若不存在，請說明理由；

(3)如圖②，點。是。8上的一動點，連接BC,在線段BC上是否存在這樣的點使

△CQM為等腰三角形且△2QM是直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請

說明理由.

【分析】(1)將點A(1,0)、8(4,0)代入y=o?+/zr+3,列方程組求出“、b的值即可；

(2)4、8兩點關(guān)于對稱軸對稱，連接BC交對稱軸于點P,則P點即為所求，在RtZ\BOC

中可求得BC的長，進一步可求得四邊形B4OC周長的最小值；

(3)分NM28=90°和NQMB=90°兩種情況，設(shè)出M點坐標或CM的長，再根據(jù)△CQM

為等腰三角形，結(jié)合三角形相似可得到方程，可求得M點坐標.

【解答】解：(1)???拋物線y=a，+/zx+3經(jīng)過點A(1,0)、B(4,0),

.[a+b+3=0

116a+4b+3=o'

f_3_

a-4

解得「，

b-4

該拋物線的解析式；>=3乂2」工+3；

44

(2)I?拋物線>=—+法+3經(jīng)過點A(1,0),B(4,0),

；.A、B關(guān)于對稱軸對稱，

如圖1,連接BC,

w

圖1

.?.8C與對稱軸的交點即為所求的點P,此時PA+PC=BC,

：.四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC,

V4(1,0),B(4,0),C(0,3),

**?OA=1,OC=3,BC='℃2>fQB2={§2+42=5,

???OC+AB+BC=1+3+5=9,

???在拋物線的對稱軸上存在點P,使四邊形PAOC的周長最小,四邊形以O(shè)C周長的最小值

為9；

(3)設(shè)直線3c解析式為y=fcc+〃，

把8、C兩點坐標代入可得，4k廿°,解得|k=W,

1n=3n=3

直線BC的解析式為y=->3,

①當(dāng)NBQM=90°時，如圖2,

W

。睨？/X

圖2

在線段5c上

.,.設(shè)M(機，-—m+3),

4

VZCMQ>90°,

；?只能CM=MQ=~*%+3,

???MQ〃y軸，

：,4MQBs叢COB,

33

.BMMQm5《”+3）二"3

BCOC53

解得：m=—

2

：.M（3,K）；

28

②當(dāng)NQWB=90°時，如圖3,

圖3

VZCMC=90°,

，只能CM=MQ,

設(shè)CM—MQ=m,

；?BM=5-mt

9：ZBMQ=ZCOB=90°,/MBQ=NOBC,

:ABMQsgOC,

?HQ_BM印m_5-m

??瓦而、丁4'

解得力=」五，即CM=J1

77

悴MN〃OB,

15

?MNCMBIIMN7

??J-----------二,

OBBC45

7

的解析式為尸--1x+3,

當(dāng)》=￡時，y-—,

77

：.M（烏瑪.

77

綜上