用樣本估計(jì)總體用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義(1)平均數(shù)、均值①(算術(shù))平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的___除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)所得到的數(shù).②總體均值:一般地,我們把總體中所有數(shù)據(jù)的___________,稱為總體的均值.③一個(gè)平均數(shù)的計(jì)算公式一般地,若取值為x1,x2,…,xn的頻率分別為p1,p2,…,pn,則其平均數(shù)為x1p1+x2p2+…+xnpn.導(dǎo)思1.什么是平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)?2.如何用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)?算術(shù)平均數(shù)和(2)眾數(shù)一般地,我們將一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)_____的那個(gè)數(shù)據(jù)叫作該組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(3)中位數(shù)一般地,將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排成一列,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù),那么排在_______的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù),那么,排在正中間的_________________即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).正中間最多兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)【思考】(1)中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù)嗎?提示:不一定.一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,如果有奇數(shù)個(gè)數(shù)據(jù),處于中間位置的數(shù)是中位數(shù);如果有偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù),則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù).(2)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個(gè)?中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論?提示:一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個(gè),也可能有多個(gè),中位數(shù)只有唯一一個(gè).【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù). ()(2)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù). ()(3)一個(gè)樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的. ()(4)若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個(gè)數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會(huì)發(fā)生改變. ()提示:(1)×.由中位數(shù)的定義可知,中位數(shù)與一組數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的奇偶性有關(guān).(2)√.由眾數(shù)的定義可知,眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(3)×.由眾數(shù)的定義可知,一個(gè)樣本的眾數(shù)可能有一個(gè),也可能有多個(gè).(4)×.若改變一組數(shù)據(jù)中的一個(gè)數(shù),則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定會(huì)改變,而中位數(shù)與眾數(shù)可能不變.2.一組樣本數(shù)據(jù)為:19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為 ()【解析】選A.把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為:10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27,則可知其眾數(shù)為14,中位數(shù)為14.3.(教材二次開(kāi)發(fā):例題/習(xí)題改編)已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)_______.

【解析】

=6.答案:6關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)【題組訓(xùn)練】1.(2020·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是______.

【解析】由=4可知a=2.答案:22.已知10名工人生產(chǎn)同一零件,生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13,設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為b,眾數(shù)為c,則有()>b>c>c>b>a>b >b>a【解析】選D.由題意得a=

(16+18+15+11+16+18+18+17+15+13)=

=15.7,中位數(shù)為16,眾數(shù)為18,則b=16,c=18,所以c>b>a.3.一個(gè)樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為:13,14,19,x,23,27,28,31,中位數(shù)為22,則x=________.

【解析】由題意知

=22,則x=21.答案:21【解題策略】(1)求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)時(shí),把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后,按照其求法進(jìn)行.(2)求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的難點(diǎn)在于計(jì)算的準(zhǔn)確性.注意:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè),中位數(shù)是唯一的,求中位數(shù)時(shí),必須先排序.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.一組觀察值4,3,5,6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3,2,4,2,則樣本平均數(shù)約為()【解析】選A.由條件得樣本平均數(shù)=

(4×3+3×2+5×4+6×2)≈4.55.

2.某市地鐵1號(hào)線12月28日開(kāi)通運(yùn)營(yíng),某趟車(chē)某時(shí)刻從下麥西站駛往貴陽(yáng)北站的過(guò)程中,10個(gè)車(chē)站上車(chē)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的和為 ()【解析】選D.數(shù)據(jù)70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的眾數(shù)是60,中位數(shù)是45,平均數(shù)是45,故眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的和為150.3.已知一組數(shù)據(jù)2,1,x,7,3,5,3,2的眾數(shù)是2,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是()【解析】選B.由眾數(shù)的意義可知x=2,然后按照從小到大的順序排列這組數(shù)據(jù),則中位數(shù)應(yīng)為

=2.5.

類型二集中趨勢(shì)參數(shù)與統(tǒng)計(jì)圖的綜合應(yīng)用(數(shù)據(jù)分析)【題組訓(xùn)練】1.如圖是根據(jù)某地2019年4月上旬每天的最低氣溫繪成的折線圖,那么這段時(shí)間最低氣溫的眾數(shù)、中位數(shù)依次是 ()A.5℃,4.5℃ B.5℃,4℃C.5℃,5℃ D.4℃,5℃【解析】選A.這10日的最低氣溫依次是2℃,5℃,5℃,6℃,4℃,5℃,4℃,6℃,2℃,1℃,故這10日的最低氣溫的眾數(shù)是5℃,將這10日的最低氣溫按從小到大的順序排列是1℃,2℃,2℃,4℃,4℃,5℃,5℃,5℃,6℃,6℃,中間兩個(gè)數(shù)是4℃,5℃,故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

=4.5℃.2.小王數(shù)學(xué)成績(jī)分別為:測(cè)驗(yàn)一得89分,測(cè)驗(yàn)二得78分,測(cè)驗(yàn)三得85分,期中考試得90分,期末考試得87分,如果按照平時(shí)、期中、期末的10%、30%、60%量分,那么小王該學(xué)期的總評(píng)成績(jī)應(yīng)該為多少?【解析】小王平時(shí)測(cè)試的平均成績(jī)

=

=84(分).所以

=87.6(分).所以小王該學(xué)期的總評(píng)成績(jī)應(yīng)該為分.3.某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù).(1)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式.(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值.(3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)還是20個(gè)易損零件?【解析】(1)當(dāng)x≤19時(shí),y=3800;當(dāng)x>19時(shí),y=3800+500(x-19)=500x-5700,所以y與x的函數(shù)解析式為y=

(x∈N*).(2)由題圖知,需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46,不大于19的頻率為0.7,故n的最小值為19.(3)若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為3800元,20臺(tái)的費(fèi)用為4300元,10臺(tái)的費(fèi)用為4800元,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

(3800×70+4300×20+4800×10)=4000(元).若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買(mǎi)20個(gè)易損零件,則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買(mǎi)易損零件上的費(fèi)用為4000元,10臺(tái)的費(fèi)用為4500元,因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為

(4000×90+4500×10)=4050(元).比較兩個(gè)平均數(shù)可知,購(gòu)買(mǎi)1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買(mǎi)19個(gè)易損零件.【解題策略】利用折線圖求眾數(shù)、中位數(shù)時(shí),首先由折線圖讀出相應(yīng)數(shù)據(jù),然后再求其值.類型三平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)據(jù)分析)【典例】某校高一(1)(2)班各有49名學(xué)生,兩班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試(滿分100分)中的成績(jī)(單位:分)統(tǒng)計(jì)如表:(1)請(qǐng)你對(duì)下面的一段話給予簡(jiǎn)要分析:高一(1)班的小剛回家對(duì)媽媽說(shuō):“昨天的數(shù)學(xué)測(cè)試中,全班的平均分為79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了.”班級(jí)平均分眾數(shù)中位數(shù)高一(1)班797087高一(2)班797079(2)請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析兩班的測(cè)試情況,并提出教學(xué)建議.四步內(nèi)容理解題意條件:高一(1)(2)班各班學(xué)生成績(jī)的平均分、眾數(shù)、中位數(shù).結(jié)論:(1)對(duì)一段話進(jìn)行分析;(2)依據(jù)數(shù)據(jù)分析兩班測(cè)試情況,并提出教學(xué)建議.思路探求可按照平均分、中位數(shù)、眾數(shù)的定義以及在統(tǒng)計(jì)上所起的作用進(jìn)行分析.書(shū)寫(xiě)表達(dá)(1)由高一(1)班成績(jī)的中位數(shù)是87分可知,85分排在25名以后,從名次上講并不能說(shuō)85分在班里是上游,但也不能從這次測(cè)試的名次上來(lái)判斷學(xué)習(xí)的好壞.小剛得了85分,說(shuō)明他對(duì)這階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容掌握得較好,從掌握的學(xué)習(xí)內(nèi)容上講也算是上游.(2)高一(1)班成績(jī)的中位數(shù)是87分,說(shuō)明高于87分的人數(shù)占一半左右,而平均分為79分,說(shuō)明存在低分者很多,兩極分化嚴(yán)重,建議對(duì)學(xué)習(xí)差的學(xué)生給予幫助.高一(2)班成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)都是79分,說(shuō)明學(xué)生成績(jī)之間的差別較小,學(xué)習(xí)差的學(xué)生較少,但學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生也很少,建議采取措施提高優(yōu)秀學(xué)生的人數(shù).題后反思根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義,全面分析,并根據(jù)數(shù)據(jù)分析給出相應(yīng)的建議.【解題策略】利用樣本數(shù)字特征進(jìn)行決策時(shí)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)平均數(shù)與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān),可以反映更多的總體信息,但受極端值的影響大;中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線,不受幾個(gè)極端值的影響;眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn),無(wú)法客觀反映總體特征.(2)當(dāng)平均數(shù)大于中位數(shù)時(shí),說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值.【跟蹤訓(xùn)練】某小區(qū)廣場(chǎng)上有甲、乙兩群市民正在進(jìn)行晨練,兩群市民的年齡如下(單位:歲):甲群13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;乙群54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.(1)甲群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映甲群市民的年齡特征?(2)乙群市民年齡的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少歲?其中哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量能較好地反映乙群市民的年齡特征?【解析】(1)甲群市民年齡的平均數(shù)為=15(歲),中位數(shù)為15歲,眾數(shù)為15歲.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)相等,因此它們都能較好地反映甲群市民的年齡特征.(2)乙群市民年齡的平均數(shù)為=15(歲),中位數(shù)為歲,眾數(shù)為6歲.由于乙群市民大多數(shù)是兒童,所以中位數(shù)和眾數(shù)能較好地反映乙群市民的年齡特征,而平均數(shù)的可靠性較差.1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ()A.一個(gè)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不可能是同一個(gè)數(shù)B.統(tǒng)計(jì)中,我們可以用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)C.樣本平均數(shù)既不可能大于也不可能小于這個(gè)樣本中的所有數(shù)據(jù)D.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)【解析】選A.用樣本估計(jì)總體情況時(shí),在一組數(shù)據(jù)中,眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)可能是同一個(gè)數(shù).課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)2.已知一組數(shù)據(jù)為20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是 ()A.平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B.平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C.中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D.眾數(shù)=中位數(shù)=平均數(shù)【解析】選D.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是50.3.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)某廠抽查了某節(jié)能燈泡的使用壽命數(shù)據(jù)如下:則這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是________.【解析】這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是=597.5(天).答案:天壽命/天450550600650700只數(shù)20103015254.某次體檢,6位同學(xué)的身高(單位:米)分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________.

【解析】因?yàn)?位同學(xué)的身高(單位