大跨度橋梁的穩(wěn)定理論第1頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月1概述2第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析3拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng)4材料非線性問題5第二類穩(wěn)定問題和極限承載力全過程分析6小結(jié)第十二章大跨度橋梁的穩(wěn)定理論本章主要內(nèi)容第2頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月1.概述1.1

穩(wěn)定理論的發(fā)展什么是結(jié)構(gòu)失穩(wěn)？結(jié)構(gòu)在外力增加到某一量值時(shí)，穩(wěn)定性平衡狀態(tài)開始喪失，稍有擾動，結(jié)構(gòu)變形迅速增大，使結(jié)構(gòu)失去正常工作能力的現(xiàn)象穩(wěn)定問題的重要性隨著橋梁跨徑的不斷增大，橋塔高聳化、箱梁薄壁化以及高強(qiáng)材料的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)整體和局部的剛度下降，使得穩(wěn)定問題顯得比以往更為重要

橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)形態(tài)橋梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)現(xiàn)象表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的整體失穩(wěn)或局部失穩(wěn)局部失穩(wěn)是指部分子結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)或個(gè)別構(gòu)件的失穩(wěn)，局部失穩(wěn)常常導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)體系的失穩(wěn)第3頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月橋梁失穩(wěn)事故的發(fā)生促進(jìn)了橋梁穩(wěn)定理論的發(fā)展1744年，歐拉(L.Eular)就提出了壓桿穩(wěn)定的著名公式彭加瑞(A.Poincare,1885)明確了穩(wěn)定概念，并推廣到流體力學(xué)的層流穩(wěn)定問題中，即穩(wěn)定分支點(diǎn)的概念恩格塞(Engesser)和卡門(Karman)等根據(jù)大量中長壓桿在壓曲前已超出彈性極限的事實(shí)，分別提出了切線模量理論和折算模量理論普蘭特爾和米歇爾幾乎同時(shí)發(fā)表了關(guān)于梁側(cè)傾問題的研究成果1.1

穩(wěn)定理論的發(fā)展(續(xù))第4頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月薄壁輕型結(jié)構(gòu)的使用，提出了穩(wěn)定新課題瓦格納(H.Wagner,1929)及符拉索夫(1940)等建立關(guān)于薄壁桿件的彎扭失穩(wěn)理論證明其臨界荷載值大大低于歐拉理論值，且不能用分支點(diǎn)的概念來解釋引入了極值點(diǎn)失穩(wěn)的觀點(diǎn)以及跳躍現(xiàn)象的穩(wěn)定理論

穩(wěn)定理論與非線性理論的聯(lián)系密不可分只有通過對結(jié)構(gòu)幾何非線性關(guān)系以及材料非線性本構(gòu)關(guān)系的研究，才能深入揭示復(fù)雜穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)1.1

穩(wěn)定理論的發(fā)展(續(xù))第5頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月研究結(jié)構(gòu)穩(wěn)定問題的兩種形式1)第一類穩(wěn)定：分支點(diǎn)失穩(wěn)

從小范圍內(nèi)觀察，以小位移理論為基礎(chǔ)2)第二類穩(wěn)定：極值點(diǎn)失穩(wěn)

從大范圍內(nèi)研究，以大位移非線性理論為基礎(chǔ)由于第一類穩(wěn)定問題是特征值問題，求解方便，在許多情況下兩類問題的臨界值又相差不大，因此研究第一類穩(wěn)定問題仍有著重要的工程意義1.2

兩類穩(wěn)定問題第6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月靜力平衡法從平衡狀態(tài)來研究壓桿屈曲特征，即研究載荷達(dá)到多大時(shí)，彈性系統(tǒng)可以發(fā)生不同的平衡狀態(tài)實(shí)質(zhì)是求解彈性系統(tǒng)的平衡路徑(曲線)的分支點(diǎn)所對應(yīng)的載荷值(臨界載荷)能量法求彈性系統(tǒng)的總勢能不再是正定時(shí)的載荷值1.3穩(wěn)定問題的求解方法簡介第7頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月振動法當(dāng)壓桿在給定的壓力下，受到一定的初始擾動之后，必將產(chǎn)生自由振動如果振動隨時(shí)間的增加是收斂的，則壓桿是穩(wěn)定的缺陷法由于缺陷的影響，桿件開始受力時(shí)即產(chǎn)生彎曲變形在一般條件下缺陷總是很小的，彎曲變形并不顯著當(dāng)荷載接近臨界值時(shí)，變形才迅速增大，由此確定失穩(wěn)條件1.3穩(wěn)定問題的求解方法簡介第8頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月對于歐拉壓桿而言，所得到的臨界荷載值是相同的但它們的結(jié)論并不完全一樣，表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面(1)靜力平衡法當(dāng)P=P1、P2...Pn時(shí)壓桿可能發(fā)生屈曲現(xiàn)象，無法判斷何種情況最可能失穩(wěn)在PP1、P2...Pn時(shí)，屈曲的變形形式不能平衡，無法回答直線形式的平衡是否穩(wěn)定的問題1.3穩(wěn)定問題的求解方法簡介(續(xù))第9頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)缺陷法當(dāng)P=P1、P2...Pn，桿件將發(fā)生無限變形但對于P在P1、P2...Pn各值之間時(shí)壓桿是否穩(wěn)定的問題也不能解釋(3)能量法和振動法P>P1之后不論P(yáng)值多大，壓桿直線形式的平衡都是不穩(wěn)定的和事實(shí)完全一致

1.3穩(wěn)定問題的求解方法簡介(續(xù))第10頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月由于橋梁結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，不可能單靠上述方法來解決其穩(wěn)定問題大量使用的是近似求解方法：從微分方程出發(fā)，通過數(shù)學(xué)上的各種近似方法求解

如逐次漸近法基于能量變分原理的近似法

如Ritz法，有限元方法可以看成是Ritz法的特殊形式1.3穩(wěn)定問題的求解方法簡介(續(xù))第11頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月在發(fā)生第一類失穩(wěn)前，結(jié)構(gòu)在初始構(gòu)形線性平衡，大位移矩陣0[K]L為零不論T.L還是U.L列式，表達(dá)形式是統(tǒng)一的

在結(jié)構(gòu)處在臨界狀態(tài)下，即使{ΔR}→0，{Δu}也有非零解按線性代數(shù)理論，必有：(12-4)

(12-3)

2.第一類彈性及彈塑性穩(wěn)定分析

2.1

第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析

第12頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1

第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析(續(xù))

發(fā)生第一類失穩(wěn)前滿足線性假設(shè)，應(yīng)力與外荷載以及幾何剛度為線性關(guān)系若某種參考荷載對應(yīng)的結(jié)構(gòu)幾何剛度陣為

式(12－4)可寫成

穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為求方程的最小特征值問題

(12-6)

(12-5)

第13頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1

第一類穩(wěn)定問題的線彈性有限元分析(續(xù))

[K]σ可以分成一期恒載的初內(nèi)力剛度陣和后期荷載（二期、活載等）的初內(nèi)力剛度陣兩部分計(jì)算一期恒載穩(wěn)定問題，，為恒載穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算后期荷載穩(wěn)定問題，則恒載可近似為一常量，式(12－6)改寫成：(12-7)

為后期恒載穩(wěn)定安全系數(shù)，相應(yīng)的特征向量就是失穩(wěn)模態(tài)第14頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.拱橋穩(wěn)定分析和非保向力效應(yīng)本節(jié)以解析法來闡述拱橋的第一類穩(wěn)定計(jì)算可分為以下兩類問題：面內(nèi)穩(wěn)定側(cè)向穩(wěn)定第15頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.1圓弧拱平面屈曲微分方程第16頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

3.1圓弧拱平面屈曲微分方程(續(xù))第17頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載第18頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載(續(xù))第19頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2等截面圓弧拱在均布徑向荷載作用下的屈曲臨界荷載(續(xù))第20頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3圓拱的面外穩(wěn)定第21頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3圓拱的面外穩(wěn)定(續(xù))第22頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3圓拱的面外穩(wěn)定(續(xù))第23頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3圓拱的面外穩(wěn)定(續(xù))第24頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)第25頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)(續(xù))第26頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)(續(xù))第27頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)(續(xù))第28頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)(續(xù))第29頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)(續(xù))第30頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)(續(xù))第31頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4拱橋穩(wěn)定與非保向力效應(yīng)(續(xù))第32頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.材料非線性問題4.1

概述當(dāng)構(gòu)件應(yīng)力超過彈性極限后，材料彈性模量E成為應(yīng)力的函數(shù)，導(dǎo)致基本控制方程的非線性，即材料非線性問題凡是在本構(gòu)關(guān)系中放棄材料線性關(guān)系假定的理論，均屬材料非線性范疇橋梁結(jié)構(gòu)以鋼和砼作為主要建材，因此涉及的材料非線性主要是非線性彈塑性問題和砼徐變問題第33頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，單軸應(yīng)力下材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系如圖12.7所示，可歸結(jié)為如下幾點(diǎn)：

1)應(yīng)力在達(dá)到比例極限前，材料為線彈性；應(yīng)力在比例極限和彈性極限之間，材料為非線性彈性。

圖12-7單軸應(yīng)力下材料的應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系第34頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則(續(xù))

2)應(yīng)力超過屈服點(diǎn)，材料應(yīng)變中出現(xiàn)不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變:

應(yīng)力和應(yīng)變間為非線性關(guān)系：

3)應(yīng)力在某一應(yīng)力下卸載，則應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間存在線性關(guān)系，即：

為了判斷是加載還是卸載，用如下加載準(zhǔn)則：當(dāng)時(shí)為加載，滿足(12-40)

當(dāng)時(shí)為卸載，滿足(12-41)(12-39)

(12-40)

(12-41)

第35頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則(續(xù))

4)在卸載后某應(yīng)力下重新加載，則：

時(shí)，

0為卸載前材料曾經(jīng)受到過的最大應(yīng)力值，稱后屈服應(yīng)力，若：

0=s

材料稱為理想塑性的；

0>s

稱材料為硬化的。

5)從卸載轉(zhuǎn)入反向力加載，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系繼續(xù)依式(12-41)或(12-42)，一直到反向屈服。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，判斷材料是否屈服，可以用應(yīng)力的某種函數(shù)表示：(12-42)

第36頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則(續(xù))

若以ij為坐標(biāo)軸建立一坐標(biāo)空間，則式(12-43)的幾何意義為空間超曲面。任一應(yīng)力狀態(tài)在此空間中代表一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)此點(diǎn)落在屈服面之內(nèi)時(shí)：，材料呈彈性狀態(tài)；時(shí)，材料開始進(jìn)入塑性。各向同性材料的屈服條件與坐標(biāo)軸選取無關(guān)，屈服函數(shù)常以主應(yīng)力函數(shù)形式表示：

(12-43)

(12-44)

第37頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2彈塑性應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系與屈服準(zhǔn)則(續(xù))常用的屈服條件有：

屈雷斯卡(Tresca)屈服條件：假定最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值時(shí)，材料開始屈服，相當(dāng)于材料力學(xué)中的第三強(qiáng)度理論密賽斯(VonMises)屈服條件：假定偏應(yīng)力張量的第二不變量達(dá)到某一極限時(shí)，材料開始屈服,相當(dāng)于材料力學(xué)中的第四強(qiáng)度理論

此外還有Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則

Zienkiewicz-Pande屈服準(zhǔn)則等第38頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式設(shè)屈服函數(shù)用下式表示：式中：－應(yīng)力狀態(tài)；K－硬化函數(shù)。

在增量理論中，把材料達(dá)到屈服以后的應(yīng)變增量分為彈性增量和塑性增量兩部分，即：

(12-45)

(12-46)

第39頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式(續(xù))

其中彈性應(yīng)變增量部分與應(yīng)力增量之間仍服從虎克定律，即：其中：[De]為彈性矩陣。塑性變形不是唯一確定的，對應(yīng)于同一應(yīng)力增量，可以有不同的塑性變形增量。若采用相關(guān)聯(lián)的流動法則，塑性變形大小雖然不能斷定，但其流動方向與屈服面正交。用數(shù)學(xué)公式表示這一假定，即可得：(12-47)

(12-48)

第40頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式(續(xù))將(12-47)、(12-48)式代入(12-46)式，則可得：對式(12-45)全微分得：或其中：(12-49)

(12-50)

(12-51)

(12-52)

第41頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式(續(xù))將前乘(12-49)式，并利用(12-51)式消去可得：

由此可得：用[De]前乘(12-49)式，移項(xiàng)后得(12-53)

(12-54)

(12-55)

第42頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式(續(xù))將(12-54)式代入(12-55)式，即可得：其中:

此即為增量理論的彈塑性矩陣通式。其具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式將由曲服函數(shù)確定。(12-56)

(12-57)

第43頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式(續(xù))例12.2導(dǎo)出等向強(qiáng)化米賽斯材料增量理論的彈塑性矩陣表達(dá)式。解：對Mises屈服準(zhǔn)則、等向硬化材料，其屈服函數(shù)可寫成：

其中:設(shè)硬化法則與塑性功有關(guān)，即作功硬化，則：

第44頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式(續(xù))由:得:第45頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式(續(xù))再由:其中:

剪切彈性模量；

其中:應(yīng)力偏量向量。而:第46頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3彈塑性本構(gòu)矩陣的增量表達(dá)式(續(xù))

以上結(jié)果代入(12-83)，可得等向強(qiáng)化的米賽斯材料的彈塑性矩陣表達(dá)式為：

式中:第47頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4彈塑性問題的有限元法

在彈塑性增量理論中，討論仍限于小變形情況。其應(yīng)變－位移幾何運(yùn)動方程和平衡方程相同于線性問題，不需要作任何變動。需要改變的只是在塑性區(qū)范圍內(nèi)用塑性材料的本構(gòu)關(guān)系矩陣[Dep]代替原來的彈性系數(shù)矩陣[De]。因此，可直接得到彈塑性分析有限元平衡方程：

式中:(12-58)

(12-59)

(12-60)

第48頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4彈塑性問題的有限元法(續(xù))其中,和分別表示與結(jié)構(gòu)面荷載t及體荷載f對應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)力增量；為節(jié)點(diǎn)集中外荷載增量；

為初應(yīng)力或初應(yīng)變增量引起的外荷載增量，它們在t-至t時(shí)間的增量為：對于初應(yīng)力問題：對于初應(yīng)變問題：(12-61)

(12-62)

(12-63)

(12-64)

第49頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.第二類穩(wěn)定和極限承載力全過程分析傳統(tǒng)的“強(qiáng)度設(shè)計(jì)”以構(gòu)件最大工作應(yīng)力乘以安全系數(shù)等于材料的屈服應(yīng)力為依據(jù)；一般情況下，構(gòu)件某截面開始屈服并不能代表結(jié)構(gòu)完全破壞，結(jié)構(gòu)所能承受的荷載通常較構(gòu)件開始屈服時(shí)的荷載為大；橋梁結(jié)構(gòu)的極限承載力是指橋梁承受外荷載的最大能力；可以準(zhǔn)確地知道橋梁結(jié)構(gòu)在給定荷載下的安全貯備或超載能力，為其安全施工和營運(yùn)管理提供依據(jù)和保障；第50頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.第二類穩(wěn)定和極限承載力全過程分析(續(xù))全過程分析是用于橋梁結(jié)構(gòu)極限承載力分析的一種計(jì)算方法，它通過逐級增加工作荷載集度來考察結(jié)構(gòu)的變形和受力特征，一直計(jì)算至結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞；橋梁結(jié)構(gòu)在不斷增加的外載作用下，結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生不斷變化，當(dāng)外載產(chǎn)生的應(yīng)力使得結(jié)構(gòu)切線剛度陣趨于奇異時(shí)，結(jié)構(gòu)承載能力就到達(dá)了極限，此時(shí)的外荷載即為極限荷載。第51頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1非線性方程的求解問題一般結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)剛度陣在p-曲線上升段是正定的，在下降段為負(fù)定的；進(jìn)行“全過程”分析過程中，當(dāng)荷載接近極限值時(shí)，很小的荷載增量都會引起很大的位移，可能還未找到極限荷載就出現(xiàn)了求解失效現(xiàn)象；為了找到真實(shí)的極限荷載，克服下降段的不穩(wěn)定現(xiàn)象，各國學(xué)者提出了許多算法，下面就常用的兩種方法作一介紹第52頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1非線性方程的求解問題(續(xù))1)逐步搜索法對于只要求出極值荷載，而對P-下降段不感趣的情況，可采用逐步搜索頂點(diǎn)的算法，其基本思想是：

加一荷載增量P，計(jì)算發(fā)散后，退回上級荷載狀態(tài)并改用荷載步長P/2；若計(jì)算收斂，則再加一級荷載為P/4；若加P/4后計(jì)算發(fā)散，則再改用荷載步長為P/8

如此搜索，若原步長P預(yù)計(jì)為5%的破壞荷載，則P/4已接近1%的極限荷載，對橋梁結(jié)構(gòu)來說，已可滿足精度要求。當(dāng)然還可向前再搜索一步到P/8。第53頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2)位移控制法

如果在分析過程中不是控制荷載增量而是控制位移增量，則P-曲線的下降段部分便不難求得。對于