歐幾里德平面數(shù)學(xué)術(shù)語01簡介歐氏拓?fù)渲庇X概述與流形的關(guān)系目錄030204基本信息歐幾里得幾何是在約公元前300年，由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得建立的角和空間中距離之間的法則。歐幾里得首先開發(fā)了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理被編排到幾何原本。簡介簡介歐幾里得幾何是在約公元前300年，由古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得建立的角和空間中距離之間的法則。歐幾里得首先開發(fā)了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理被編排到幾何原本。這些數(shù)學(xué)空間可以被擴(kuò)展來應(yīng)用于任何有限維度，而這種空間叫做?n維歐幾里得空間（甚至簡稱n維空間）或有限維實(shí)內(nèi)積空間。這些數(shù)學(xué)空間還可被擴(kuò)展到任意維的情形，稱為實(shí)內(nèi)積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數(shù)教科書中也被稱為歐幾里得空間。為了開發(fā)更高維的歐幾里得空間，空間的性質(zhì)必須非常仔細(xì)的表達(dá)并被擴(kuò)展到任意維度。盡管結(jié)果的數(shù)學(xué)非常抽象，它卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質(zhì)，根本性質(zhì)是它的平面性。另存在其他種類的空間，例如球面非歐幾里得空間，相對論所描述的四維時(shí)空在重力出現(xiàn)的時(shí)候也不是歐幾里得空間。

直覺概述直覺概述有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據(jù)距離和角表達(dá)的特定的點(diǎn)所成的集合。其一是平移，它意味著移動(dòng)這個(gè)平面就使得所有點(diǎn)都以相同方向移動(dòng)相同距離。其二是關(guān)于在這個(gè)平面中固定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，其中在平面上的所有點(diǎn)關(guān)于這個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相同的角度。歐幾里得幾何的一個(gè)基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉(zhuǎn)可以把一個(gè)圖形變換成另一個(gè)圖形，平面的兩個(gè)圖形（也就是子集）應(yīng)被認(rèn)為是等價(jià)的（全等）。（參見歐幾里得群）。為了使這些在數(shù)學(xué)上精確，必須明確定義距離、角、平移和旋轉(zhuǎn)的概念。標(biāo)準(zhǔn)方式是定義歐幾里得平面為裝備了內(nèi)積的二維實(shí)數(shù)的向量空間。有著:一旦歐幾里得平面用這種語言描述了，擴(kuò)展它的概念到任意維度就是簡單的事情了。對于大多數(shù)部分，詞匯、公式、和計(jì)算對更高維的出現(xiàn)不造成任何困難。（但是，旋轉(zhuǎn)在高維中是非常微妙，而高維空間的可視化仍很困難，即使對有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家也一樣）。歐幾里得空間的最后問題是它在技術(shù)上不是向量空間，而是向量空間作用于其上仿射空間。直覺上，區(qū)別在于對于原點(diǎn)應(yīng)當(dāng)位于這個(gè)空間的什么地方?jīng)]有標(biāo)準(zhǔn)選擇，因?yàn)樗梢缘教幰苿?dòng)。這種技術(shù)本文中很大程度上被忽略了。

歐氏拓?fù)錃W氏拓?fù)湟驗(yàn)闅W氏空間是一個(gè)度量空間，因此也是一個(gè)具有由度量推導(dǎo)出的自然拓?fù)涞耐負(fù)淇臻g。上的度量拓?fù)浔环Q為是歐氏拓?fù)?。歐氏拓?fù)渲械募情_的當(dāng)且僅當(dāng)它包含了該集的每一點(diǎn)周邊的開球?？梢宰C明，歐氏拓?fù)涞葍r(jià)于上的積拓?fù)?。關(guān)于上拓?fù)涞囊粋€(gè)并不淺顯易懂的重要結(jié)論是，魯伊茲·布勞威爾的區(qū)域不變性。任意的子集（以及其子拓?fù)洌┡c另外一個(gè)的子集同胚的話，那么這個(gè)子集自己是開的。這個(gè)結(jié)果的一個(gè)直接的結(jié)論就是與不同胚，當(dāng)。與流形的關(guān)系與流形的關(guān)系在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，歐幾里得空間形成了其他更加復(fù)雜的幾何對象的原型。特別是流形，它是邏輯上同胚于歐幾里得空間的豪斯多夫拓?fù)淇臻g。n維歐氏空間是n維流形的典型例子，事實(shí)上也就是光滑流形。對于，任意與同胚的可微n維流形，也是微分同胚的。值得驚奇的結(jié)果是，1982年西蒙·唐納森證明了對于的情況不成立；其反例被稱為是怪R。歐氏空間也被理解為線性流形。一個(gè)中的m維線性子流形是一個(gè)（作為仿射空間）嵌入其中的m維歐氏空間。例如，任意高維（）歐氏空間中的任意直線是該空間中的一個(gè)1維線性子流形。一般的說，流形的概念包含了歐幾里得幾何和非歐幾里得幾何二者。在這個(gè)觀點(diǎn)上，歐幾里得空間的根本性質(zhì)為它是平坦的，也就是非彎曲的?，F(xiàn)代物理學(xué)特別是相對論，展