醫(yī)學(xué)影像系統(tǒng)原理:

CT圖像重建算法丁明躍華中科技大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系“圖像信息處理與智能控制”教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2023/7/102

一、反投影法二、傅立葉變換法三、濾波反投影法目錄

3X射線衰減的計(jì)算根據(jù)朗勃-比爾(Lamber-Beer)吸收定理,X射線穿過長度為L,吸收系數(shù)為的體元,則穿過該體元后的X射線強(qiáng)度為:穿過第二個體元時的X射線強(qiáng)度為:類似地,穿過第n個體元時的X射線強(qiáng)度為:(1)4X射線投影與CT掃描(CTscan)在CT重建過程中,為了確定不同點(diǎn)的吸收系數(shù),我們需要首先計(jì)算出每個體元的吸收系數(shù).從數(shù)學(xué)角度,為了求解n個吸收系數(shù),需要建立n個以上獨(dú)立方程.因此,CT成像裝置要從不同方向上進(jìn)行多次觀測,即掃描,以獲取足夠多的數(shù)據(jù)建立求解吸收系數(shù)所需要的方程組.一次投影,可獲得多個方程.圖像重建方法圖像重建方法就是圖像矩陣的求解方法.按照CT成像原理,如有N×N的圖像矩陣,應(yīng)有N×N個獨(dú)立的線性方程,并且求解N×N的圖像矩陣中的體元的吸收系數(shù).對于N×N個獨(dú)立的線性方程組求解,可以采用聯(lián)立方程法(直接矩陣法)和迭代法(逐次近似法)等常用的數(shù)學(xué)方法.然而由于這些方法計(jì)算時間長,不能滿足圖像重建的基本要求,目前CT成像裝置中已不再使用.578反投影法反投影法(Backprojection)又稱總和法,此法是利用投影數(shù)值近似地復(fù)制出吸收系數(shù)的二維分布.其原理是將所測得的投影值按其原投影路徑平均地分配到經(jīng)過的每一點(diǎn)上,各個方向投影值反投影后,在影像點(diǎn)進(jìn)行累加,從而推斷出原圖像.10反投影重建示意圖11邊緣失銳與偽影若某吸收體為一小正方形,當(dāng)采用反投影法進(jìn)行重建時所獲得的重建圖像不是正方形,變成了“星”狀物,中心處吸收系數(shù)最大,離中心越遠(yuǎn),吸收系數(shù)越低,這就是圖像的邊緣失銳.因此,反投影法存在的主要缺點(diǎn)就是影像的邊緣處不清晰.如果在一均勻的組織密度內(nèi),存在吸收系數(shù)極不均勻的部分時,反投影圖像與原圖像會出現(xiàn)圖像的偽差(imageartifact).例如取一圓柱形單密度體的若干投影,利用反投影法重建圖像呈現(xiàn)出星形偽影.顯然,反投影越多,重建圖像越接近原圖像,但由于存在星形偽影,使得重建圖像的邊緣部分模糊不清.12邊緣失銳與圓形單密度反投影示例-SheppLogan腦模型15偽彩Sinogra立葉變換法傅立葉變換法是解析法中的一種,它是基于使圖像矩陣的求解與圖像投影的傅立葉變換之間建立確定的關(guān)系.傅立葉變換法是一種從頻域上校正圖像模糊,修正模糊因子的圖像重建方法.它包括兩種利用傅立葉變換進(jìn)行圖像重建的方法:1.二維傅立葉變換法;2.傅立葉變換反投影法.31傅里葉變換從投影到圖像（中心切片定理）34二維傅立葉變換法假設(shè)圖像矩陣f(x,y)的二維傅立葉變換為:若空間頻率坐標(biāo)以極坐標(biāo)來表示,則有:則二維傅立葉變換可寫為:(1)X射線投影路徑35X射線投影路徑由于在X射線掃描中,X射線的投影P總是與X射線路徑L有關(guān),為此引進(jìn)一個新的坐標(biāo)系(極坐標(biāo)t-)來描述X射線路徑L的位置.設(shè)X射線路徑L到極坐標(biāo)中心O的距離為t,與y軸夾角為,則X射線路徑L用直線方程表示為:當(dāng)在某一角度時,則沿X射線路徑L的投影為:(2)36投影數(shù)據(jù)Radon變換38投影與線積分

沿t方向的一維傅立葉變換從投影數(shù)據(jù)的一維傅立葉變換

恢復(fù)二維數(shù)據(jù)的傅立葉變換推而廣之不同方向投影數(shù)據(jù)的傅立葉變換就可以得到二維傅立葉變換的近似估計(jì)值投影變換定理圖解吸收系數(shù)圖象的恢復(fù)46二維傅立葉變換法將(1)式的投影函數(shù)進(jìn)行一維的傅立葉變換,是在角度時投影的傅立葉變換形式:由上面分析可見,圖像在某一角度上投影的傅立葉變換正好等于該圖像吸收系數(shù)相對應(yīng)角度()剖面上的二維傅立葉變換.若在整個平面上添滿了全部角度投影的傅立葉變換值,那么就可以用圖像的二維傅立葉變換來表示原圖像f(x,y)的變換值,再由二維傅立葉反變換即可得到重建后的原圖像.47二維傅立葉變換法4849傅立葉變換反投影法二維傅立葉變換法被認(rèn)為是最理想的圖像重建算法之一.但因該方法需要進(jìn)行正反兩次傅立葉變換,計(jì)算量比較大,在實(shí)際應(yīng)用中不易實(shí)現(xiàn).在反投影法中,反投影重建圖像的吸收系數(shù)與實(shí)際圖像之間存在一個模糊因子,如果利用二維傅立葉變換表示,則:上式說明校正模糊失真的步驟可先將fb(x,y)做二維傅立葉變換,然后將變換結(jié)果用加權(quán),即可得到真正圖像的二維傅立葉變換.通過反變換就可重建真實(shí)圖像.濾波反投影法濾波反投影也是解析法中的一種.這種方法為了消除模糊因子的影響,并將二維傅立葉變換改變?yōu)橹贿M(jìn)行一維傅立葉變換,既可校正失真,又可簡化計(jì)算,提高重建速度.采用卷積計(jì)算的濾波反投影法是當(dāng)前CT成像裝置中應(yīng)用最為廣泛,故也稱之卷積反投影法(ConvolutionBackProjection,CBP).50濾波反投影的基本原理根據(jù)反投影法中關(guān)系式:式中的投影用一維傅立葉反變換代替,同時用乘除變換上式得到:(3)51濾波反投影的基本原理(3)式與二維傅立葉變換法公式比較,會發(fā)現(xiàn)二維傅立葉變換重建原圖像吸收系數(shù)f(x,y)與反投影法重建圖像吸收系數(shù)fb(x,y)之間正好相差一個.這里正是的傅立葉變換形式,即反投影重建圖像fb(x,y)由于模糊因子造成圖像模糊,使fb(x,y)與f(x,y)有誤差.消除模糊因子的影響,可以采取對每一投影的傅立葉變換值用加權(quán),以產(chǎn)生失真的重建圖像.52卷積計(jì)算的實(shí)現(xiàn)根據(jù)傅立葉變換的卷積定理:上式說明在頻域內(nèi),投影的傅立葉變換用進(jìn)行變換或?yàn)V波,等效于投影與濾波函數(shù)的傅立葉反變換進(jìn)行卷積計(jì)算.的傅立葉反變換在時域中可以構(gòu)造成濾波函數(shù)h(t).通過選取不同的濾波函數(shù),對于投影進(jìn)行有效地濾波,達(dá)到滿意的重建圖像效果.卷積計(jì)算中存在的主要問題是如何確定空間濾波函數(shù)h(t),它是CT成像軟件中的核心機(jī)密.535455濾波反投影法