用向量方法解決立體幾何問(wèn)題的綜合應(yīng)用

第一章

空間向量與立體幾何引

入思考：二面角與平面的夾角范圍一樣嗎？前面我們學(xué)習(xí)了如何用向量方法求解立體幾何中的距離和角度問(wèn)題.這節(jié)課我們應(yīng)用這些知識(shí)解決綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題.下面先看一道生活中的實(shí)際問(wèn)題，思考如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決.例題講解例9

某種禮物降落傘的示意圖如圖示，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質(zhì)量為1kg，每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2，精確到0.01N).如圖，設(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為.因?yàn)?30°，所以在上的投影向量為.

所以8根繩子拉力的合力為又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣洌浴嗝扛K子拉力的大小為1.41N.解：例題講解例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證:PA//平面EDB;

(2)求證:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.BCDAPEFxyz(1)證明:連接AC,交BD于點(diǎn)G,連接EG.依題意得如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DC=2.解:G因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以點(diǎn)G是它的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,1,0),且A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1).即PA//EG.而EG平面EDB，且PA平面EDB,因此PA//平面EDB.例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(1)求證:PA//平面EDB;

(2)求證:PB⊥平面EFD;

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.例題講解依題意得B(2,2,0).∴PB⊥DE.由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，∴PB⊥平面EFD.(2)證明:BCDAPEFxyz例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.例題講解BCDAPEFxyz已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角.設(shè)F(x,y,z),則G∴∠EFD=60°.(3)解1:∴平面CPB與平面PBD的夾角的大小為60°.例題講解BCDAPEFxyzG(3)解2:例10如圖示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F.

(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.課堂練習(xí)1.如圖,二面角α-l-β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi),并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α與平面β的夾角.αlβABCD課堂練習(xí)1.如圖,二面角α-l-β的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi),并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=,求平面α與平面β的夾角.αlβABCDE課堂練習(xí)

2.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，M,N分別是AD，BC的中點(diǎn)，求異面直線AN,CM所成角的余弦值.ACDBNME例題講解xyzABCA1B1C1D1DFEKGHL課堂小結(jié)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義用空間向量表示立體圖形中點(diǎn)、直線、平面等元素進(jìn)行空間向量的運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，你對(duì)立體幾何中的向量法是否有了一定的認(rèn)識(shí)？請(qǐng)結(jié)合例題就下面的框圖談?wù)勼w會(huì)．解決立體幾何中的問(wèn)題，可用三種方法：綜合法、向量法、坐標(biāo)法．你能說(shuō)出它們各自的特點(diǎn)嗎？

綜合法以邏輯推理作為工具解決問(wèn)題；向量法利用向量的概念及其運(yùn)算