無窮級數(shù)的收斂審查法第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1.

正項級數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù)

.單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月定理2(比較審斂法)設(shè)且存在對一切有(1)若強級數(shù)則弱級數(shù)(2)若弱級數(shù)則強級數(shù)則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.是兩個正項級數(shù),(常數(shù)k>0),第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月P=1時,為調(diào)和級數(shù)事實上

,假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.例1.

討論p

級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.發(fā)散.第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月因為當(dāng)故考慮強級數(shù)的部分和故強級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月證明級數(shù)發(fā)散.證:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月判定級數(shù)的斂散性.例3.判定級數(shù)的斂散性.例4.判定級數(shù)的斂散性.例5.第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0

(3)當(dāng)

l=∞

設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<∞

時,第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月是兩個正項級數(shù),(1)當(dāng)時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;特別取可得如下結(jié)論:對正項級數(shù)(2)當(dāng)且收斂時,(3)當(dāng)且發(fā)散時,也收斂;也發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月定理4

.

比值審斂法(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時,該方法不能判別。第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.

討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項級則數(shù),且(3)當(dāng)時,該方法不能判別。第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–

級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.

證明級數(shù)收斂于S

。解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

判定級數(shù)(a>0),

是否收斂。解:

a=1時，級數(shù)也發(fā)散。所以：a<1該級數(shù)收斂.a>1級數(shù)發(fā)散。

（為什么？）第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月二、交錯級數(shù)及其審斂法

則各項符號正負(fù)相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).定理6

.(Leibnitz

判別法)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月三、絕對收斂與條件收斂

定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱原級收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對收斂.例如：絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂

.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例7.

證明下列級數(shù)絕對收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.定理7.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)令因此收斂,絕對收斂.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月定理8

.

改進(jìn)后的比值審斂法設(shè)為任意項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;時,級數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時,該方法不能判別。第23頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例8.

判斷下列級數(shù)是否絕對收斂:第24頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.利用部分