《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第一章概率論的基本概念1．事件間的關(guān)系A(chǔ)仁B則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生A不B={xxEA或xEB}稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一A八B={xxEA且xEB}稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A，B同時發(fā)生時，事件A—B={xxEA且x莊B}稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生生時，事件A—B發(fā)生基本事件是兩兩互不相容的定義在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)n稱為A事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nn稱為事件A發(fā)生的頻率A稱為事件的概率1．概率P(A)滿足下列條件：P(A)（n可2．概率的一些重要性質(zhì)：等可能概型：試驗的樣本空間只包含有限個元素，試驗中每個事件發(fā)生的可能性相同i1]i2ikijnS中基本事件的總數(shù)（1）定義：設(shè)A,B是兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)=為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率（2）條件概率符合概率定義中的三個條件Bii（3）乘法定理設(shè)P(A)>0，則有P(AB)=P(B)P(A|B)稱為乘法公式ii貝葉斯公式：P(BkΣΣii定義設(shè)A，B是兩事件，如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A,B相互獨立第二章隨機變量及其分布1．離散隨機變量：有些隨機變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量2．三種重要的離散型隨機變量—kqn-kk注意到kqn-k是二項式n的展開式中出現(xiàn)pk的那一項，我們稱隨機變量X服從參數(shù)為λke-λλke-λ連續(xù)隨機變量：如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F（x存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使對于密度函數(shù)，簡稱概率密度f(x)dx4）若f(x)在點x處連續(xù)，則有F，(x)=f(x)2,三種重要的連續(xù)型隨機變量(1)均勻分布(2)指數(shù)分布,其他,則成X在區(qū)間(a,b)上服從,其他1(x-μ)2fYfXl的隨機變量，稱X=X(e)為隨機變量，由它們構(gòu)成的一個向量（X，Y）叫做二維隨機變量布函數(shù)如果二維隨機變量（X，Y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（X，Y）是離散型的隨機變量。xf二維隨機變量（X，Y）作為一個整體，具有分布函數(shù)F（x，y）.而X和Y都是隨機XY偽偽i?iji?jiji偽偽i?iji?jijii??jppi??jf(x,y）dx分別稱fX(x)，fY(y)為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。定義設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0,j條件下j?jii?設(shè)二維離散型隨機變量（X，Y）的概率密度為f(x,y)X，Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y)，若對于固定的y，fY(y)〉0，則稱為在Y=y的條件下X的條件概Yf(x,y)XYf(y)率密度，記為f(x,y)XYf(y)Y§4相互獨立的隨機變量定義設(shè)F（x，y）及F(x)，F(xiàn)(y)分別是二維離散型隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)XYXY對于二維正態(tài)隨機變量（X，YX和Y相互獨立的充要條件是參數(shù)P=0設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度f(x,y).則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機變量，其概率密度為fX+Y(z)=又若X和Y相互獨立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y)則偽fX(z-y）fY偽fX(x）fY(z-x)dx這兩個公式稱為f,f的卷積公式XY有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布YZ=XY的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度f(x,y)，則Z=YX仍為連續(xù)性隨機變量其概率密度分別為fYX(z)=∫偽xf(x,xz)dxf(x,)dx又若X和Y相互獨立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)由于第四章隨機變量的數(shù)字特征則稱級數(shù)Σ偽xp的和為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即E(X)=Σxp定理設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))（ii）如果X是連續(xù)型隨機變量，它的分概率密度為f(x)，若∫偽g(x)f(x)dx絕對收斂則有E(Y)=E(g(X))=偽g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C4設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，則有E(XY)=E(X)E(Y)定義設(shè)X是一個隨機變量，若E{[X-E(X)]2}存在，則稱E{[X-E(X)]2}為X的方差，D(X)=E(X-E(X))2=E(X2)-(EX)2方差的幾個重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有D(C)=0,別，若X,Y相互獨立，則有D(X+Y)=D(X切比雪夫不等式：設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)=σ2，則對于任意正數(shù)ε,不等式2成立ε2Cov(X,Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]=E(XY)E(X)E(Y)Cov(X，Y）而pXY=D(X)D(Y)稱為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)一_協(xié)方差具有下述性質(zhì)定理12pp<1XY附：幾種常用的概率分布表分布律或概率密度分布律或概率密度n分布布分布參數(shù)pλk!,λk!,p2(b-a)2泊松分布幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布1p2,其他-xθe-()21f(x)=λ2第五章大數(shù)定律與中心極限定理弱大數(shù)定理（辛欣大數(shù)定理）設(shè)X1，X2…是相互獨立，服從統(tǒng)一分布的隨機變量序列，并具nknkk伯努利大數(shù)定理設(shè)fA是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)ε〉0，有l(wèi)imP{fn-p<ε}=1或limP{fn-p>ε}=0定理一（獨立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差E(X)=μ,D(X)=σ2（k=1,2，…則隨機變量ik)ΣX-nμΣ)ΣX-nμ