理論力學(xué)哈密頓理論在物理學(xué)中的應(yīng)用第1頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.2電磁場的拉格朗日方程第7頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.3薛定諤波動力學(xué)方程的建立采用經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論，加上電子具有波粒二象性的假設(shè)，以氫原子為例，建立定態(tài)波動力學(xué)方程。氫原子哈密頓函數(shù)為第11頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.4劉維爾定理相空間中統(tǒng)計(jì)系綜的分布密度在運(yùn)動過程中不變。證明：統(tǒng)計(jì)系綜的一個(gè)“樣本”：力學(xué)體系有N個(gè)相同的粒子，每個(gè)粒子的坐標(biāo)和動量為q、p。統(tǒng)計(jì)系綜是由與這個(gè)力學(xué)體系的組成完全相同，但初始條件不同的許多個(gè)“樣本”組成。單個(gè)粒子相空間(6維空間)：

3個(gè)坐標(biāo)分量q，3個(gè)動量分量p。N個(gè)粒子構(gòu)成空間(6維空間).t時(shí)刻，每個(gè)“樣本”的q、p確定，因此

空間中的每一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)“樣本”在某一時(shí)刻的狀態(tài)，這樣的點(diǎn)稱為“代表點(diǎn)”。因此統(tǒng)計(jì)系綜就是空間中的一群代表點(diǎn)。第18頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月這群代表點(diǎn)在空間中的分布一般是不均勻的，因此可引入代表點(diǎn)密度的概念。這是因?yàn)榇睃c(diǎn)的相軌跡是不會相交的。若相交，則表明相同力學(xué)體系在相同初始條件下有不同的運(yùn)動規(guī)律，這和經(jīng)典力學(xué)的基本假設(shè)相矛盾。設(shè)在d1

內(nèi)，代表點(diǎn)的數(shù)目為dN1，則=dN1/d1

就代表點(diǎn)在d1

區(qū)域中的密度。經(jīng)過時(shí)間t后，原來在d1中的代表點(diǎn)運(yùn)動到空間的d2的位置，如圖所示，這兩個(gè)體積元代表點(diǎn)的數(shù)目是相同的，即dN1=dN2。pqd1d2第19頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月劉維爾定理：相空間中統(tǒng)計(jì)系綜的分布密度在運(yùn)動過程中不變，即=dN1/d1=dN2/d2=常數(shù)。因?yàn)閐N1=dN2，所以要證明上式，只要證明d1=

d2。分兩步證明：1、證明一個(gè)粒子的一對正則變量q、p從t到t+dt的變化可看成是一種正則變換。證：只要找到一個(gè)適當(dāng)?shù)哪负瘮?shù)，使變換后的新正則變量Q、P為Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,…,N(1)若取第二類正則變換母函數(shù)F2(q,P)=qP(2)則:這是全同正則變換。第20頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月Q=q+dq，P=p+dp，=1,2,…,N(1)

F2(q,P)=qP(2)比較(1)和(2)式,兩者只相差無窮小量 dq和dp,因此認(rèn)為要得(1)式，可在(2)式的母函數(shù)中再加上一個(gè)無窮小量，即可取

F2(q,P)=qP+G(q,P,t)

(4)為無窮小量，G為任意函數(shù)。忽略二階小量，(4)式近似為：F2(q,P)qP+G(q,p,t)

(5)(5)式正則變換稱為無窮小正則變換。第21頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月F2(q,P)qP+G(q,p,t)

(5)令=dt，G(q,p,t)

=H(q,p,t)

，代入(5)式，得F2(q,P)qP+H(q,p,t)dt(6)利用此母函數(shù)即得：上式即為(1)式，即證明了相空間體積從d1變換為d2是一種正則變換.第22頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月2、證明相空間體積在正則變換下保持不變，即

P=…dq1…dq3Ndp1…dp3N=…dQ1…dQ3NdP1…dP3N當(dāng)積分自變量從q、p變到Q、P時(shí)，體積元的變換為：…dQ1…dQsdP1…dPs=

…Ddq1…dqsdp1…dps(7)式中D為雅可比行列式：只要證明:D=1第23頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月

在證得了s=1時(shí)，D=1，再利用雅可比行列式的一些性質(zhì)，就可證明當(dāng)s=3N時(shí)也成立。由于運(yùn)算比較繁瑣，這里從略。

綜合以上所得，劉維定理成立。代表點(diǎn)密度為=(q、p、t)，其運(yùn)動方程為第25頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月§8.5經(jīng)典微擾理論1、微擾論的基本思想：非線性方程中的線性部分是嚴(yán)格可解，而非線性部分相對線性部分來說只是一個(gè)小的擾動。第26頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共36頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共