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二次函數(shù)與一元二次方程、不等式第2課時

一元二次不等式的實際應(yīng)用課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義.會建立實際情境中的一元二次不等式模型,并會利用此模型解決實際問題.理解一元二次不等式的解集是實數(shù)集和空集的含義.提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一元二次不等式的解集是R或 的含義1.解決一元二次不等式的解集是R或的問題,可以借助二次函數(shù)的圖象求解,請把下列結(jié)論補充完整:(1)一元二次不等式ax2+bx+c>0

的解集是R(或恒成立)的等價

,條件是

;(2)不等式ax2+bx+c>0

的解集是R(或恒成立)的等價條件是

,

,或,;(3)一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R(或恒成立)的等價

,條件是

;一元二次不等式ax2+bx+c>0

的解集是的等價條件是

,

;一元二次不等式ax2+bx+c<0

的解集是的等價條件是

,

.2.(1)已知不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集為,則()A.a<0,Δ>0C.a>0,Δ≤0B.a<0,Δ≤0D.a>0,Δ<0(2)若關(guān)于x的不等式x2-ax-a>0的解集為R,則實數(shù)a的取值范圍是

.解析:(1)因為不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)的解集為,所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象全在x軸上方,即a>0,Δ<0.(2)由題意知,Δ=a2+4a<0,解得-4<a<0.答案:(1)D (2)-4<a<0【思考辨析】判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“ ”,錯誤的打“×”.(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1,或x>x2},則方程√ax2+bx+c=0的兩個根是x1和x2.(

)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的條件是a<0,且Δ=b2-4ac≤0.(

×

)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下,則不等式√ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(

)合作探究·釋疑解惑探究一二次方程、二次函數(shù)、二次不等式間的關(guān)系-

????????

,【例1】已知不等式ax2+bx+2>0

的解集為求2x2+bx+a<0

的解集.ax2+bx+2=0的實根,再由根與系數(shù)的關(guān)系求出a,b的值并得出2x2+bx+a<0的解集.??

??分析:先由ax2+bx+2>0的解集為{x

-??<x<??},得出方程??

??解:∵ax2+bx+2>0

的解集為{x

-??<x<??},??

??∴x1=-??,x2=??

ax2+bx+2=0

的兩實根.是方程由根與系數(shù)的關(guān)系,得-

?? ??

-

??,??

??

??-

?? ??

??,??

??

??解得-

,-

.則2x2+bx+a<0

可化為2x2-2x-12<0,即x2-x-6<0,∵(x-3)(x+2)<0,解得-2<x<3,∴2x2+bx+a<0

的解集為{x|-2<x<3}.-

????????

”,將本例條件改為“不等式ax2+bx+c>0的解集是求cx2+bx+a<0

的解集.(方法二)由已知,得a<0,且-????=-??

-

????

??,知c>0.??

??

??

??

??

??設(shè)方程cx2+bx+a=0

的兩根分別為x1,x2(x1<x2),則x1+x2=-??,x1·x2=??,??

????

??

?-???×??其中

=-2×3,-??

????

-??

??

?????-???+??

??

???-???×????

??

??

??=1=-2+3,1

2則x=-2,x=3.故不等式cx2+bx+a<0

的解集為{x|-2<x<3}.反思感悟1.本題是二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式之間關(guān)系的靈活運用,注意“三個二次”間的關(guān)系,即一元二次方程的兩根對應(yīng)著二次函數(shù)圖象與x軸兩交點的橫坐標(biāo),對應(yīng)著一元二次不等式解集中的端點值.已知以a,b,c為參數(shù)的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集時,一般遵循:根據(jù)解來判斷二次項系數(shù)的符號;根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b,c用a表示出來并代入所要解的不等式;約去a,將不等式化為具體的一元二次不等式求解.【變式訓(xùn)練1】已知不等式x2-2x-3<0的解集為A,x2+x-6<0的解集為B,x2+ax+b<0的解集為C,若C=A∩B,求a,b的值.解:x2-2x-3<0的解集A為{x|-1<x<3},x2+x-6<0的解集B為{x|-3<x<2}.∵C=A∩B,∴集合C={x|-1<x<2},∴x1=-1,x2=2是方程x2+ax+b=0的兩根,∴a=-1,b=-2.探究二一元二次不等式的恒成立問題得【例2】若不等式(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0對任意實數(shù)x恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解:由題意可知當(dāng)m+1=0,即m=-1時,原不等式可化為2x-6<0,解得x<3,不符合題意,應(yīng)舍去.當(dāng)m+1≠0時,由(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0對任意實數(shù)x恒成立,,(

-

)??-

(

)(

-

)

,????解得m<-????.綜上所述,實數(shù)m

的取值范圍是????-

????

.(1)y>0

在x∈R

上恒成立反思感悟本題中二次項系數(shù)不確定,應(yīng)分二次項系數(shù)等于零和不等于零兩種情況討論.一元二次不等式恒成立問題的常見類型:設(shè)y=ax2+bx+c(a≠0).,(2)y<0

在x∈R

上恒成立;,.??????

對一切x∈R

恒有意義,則【變式訓(xùn)練

2】若式子數(shù)

m

的取值范圍是(

)A.m>2C.m<0

或m>2B.m<2D.0≤m≤2解析:

由題意知,x2+mx+??≥0

對一切

x∈R

恒成立,??即Δ=m2-2m≤0,解得0≤m≤2.答案:D探究三一元二次不等式的實際應(yīng)用【例3】某摩托車生產(chǎn)企業(yè),上年度生產(chǎn)車輛投入成本為1萬元/輛,出廠價為1.2萬元/輛,年銷售量為1

000輛.本年度為適應(yīng)市場需要,計劃提高產(chǎn)品檔次,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的百分比為x(0<x<1),則出廠價相應(yīng)提高的百分比為0.75x,同時預(yù)計年銷量增加的百分比為0.6x,已知年利潤=(出廠價-投入成本)×年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的百分比x之間的關(guān)系式;(2)為使本年度的利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的百分比x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解:(1)每輛車投入成本增加的百分比為x,則每輛車投入成本為1×(1+x)萬元,出廠價為1.2×(1+0.75x)萬元,年銷量為1

000×(1+0.6x)輛.故y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1

000×(1+0.6x),即y=-60x2+20x+200(0<x<1).(2)欲保證本年度的利潤比上年度有所增加,則-(

.

-

)

,,即-??,??,解得0<x<??.故為保證本年度的年利潤比上年度有所增加,投入成本增加??的百分比x

應(yīng)滿足0<x<??.反思感悟1.解決本題的關(guān)鍵是利用題目給出的等量關(guān)系,即年利潤=(出廠價-投入成本)×年銷售量,轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式.解有關(guān)不等式的應(yīng)用問題時,有時一個不等式還不足以解決問題,必須列出相應(yīng)的不等式組才可以.2.用一元二次不等式求解實際應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題:弄清題意,分析條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系;(2)建模:建立一元二次不等式模型;求解:解一元二次不等式;還原:把數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題.【變式訓(xùn)練3】國家為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀調(diào)控,實行征收附加稅政策,現(xiàn)知某種酒每瓶定價70元,不征收附加稅時,每年大約銷售100萬瓶,若政府征收附加稅,每銷售100元征稅R元(即稅率R%),則每年的銷售量將減少10R萬瓶,若政府每年在此項經(jīng)營中所征收附加稅金不少于112萬元,則R應(yīng)怎樣確定?解:由題意得,70×(100-10R)×R%≥112,化簡得R2-10R+16≤0,解得2≤R≤8.故當(dāng)2≤R≤8時,每年在此項經(jīng)營中所征收附加稅金不少于112萬元.易

錯

辨

析忽略二次項系數(shù)為零致錯【典例】已知函數(shù)y=(a-2)x2+2(a-2)x-2的圖象在x軸下方,求實數(shù)a的取值范圍.錯解:由題意知,y<0恒成立,則只需-

,即,,??-,解得0<a<2,故a的取值范圍是{a|0<a<2}.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:當(dāng)a=2時,y=-2,滿足其圖象在x軸下方,此時不能用根的判別式.正解:由題意知,y<0恒成立,當(dāng)a=2

時,y=-2,滿足其圖象在x

軸下方;當(dāng)a≠2

時,只需-

,,即,??-,解得0<a<2.綜上可知,實數(shù)a

的取值范圍是{a|0<a≤2}.防范措施二次項系數(shù)含參數(shù)時,要嚴(yán)格分系數(shù)為正、系數(shù)為0、系數(shù)為負(fù)三種情況進(jìn)行討論,缺一不可.若認(rèn)為當(dāng)系數(shù)為0時,為一元一次不等式,故不討論,這是不可以的.因為只要題中沒有明確說明為一元二次不等式,就必須討論這種情況.提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力.【變式訓(xùn)練】已知關(guān)于x的不等式kx2-kx-1<0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.解:當(dāng)k=0

時,-1<0

恒成立;,??,當(dāng)k≠0

時,則解得-4<k<0,綜上,k

的取值范圍為-4<k≤0.隨

堂

練

習(xí)已知一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|α<x<β},則(

)A.a>0

B.a<0 C.a≥0

D.a≤0解析:由題意知,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下.答案:B已知不等式x2+px+q<0的解集是{x|-3<x<2},則(

)A.p=-1,q=6

B.p=1,q=6

C.p=1,q=-6

D.p=-1,q=-6解析:由不等式x2+px+q<0的解集是{x|-3<x<2},知x1=-3,x2=2是方程x2+px+q=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得p=1,q=-6.答案:C3.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺)之間的函數(shù)解析式為y=3000+20x-0.1x2(0<