第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型引言線性系統(tǒng)的微分方程線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖與梅森公式2.1

引言3.常用數(shù)學(xué)模型微分方程（或差分方程）傳遞函數(shù)（或結(jié)構(gòu)圖）頻率特性狀態(tài)空間表達(dá)式(或狀態(tài)模型)—(現(xiàn)代控制理論課程)數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。(靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型)靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下（變量的各階導(dǎo)數(shù)為零），各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)關(guān)系。建模方法：

實(shí)驗(yàn)法（實(shí)驗(yàn)辨識(shí)法）解析法（理論推導(dǎo)法）4.數(shù)學(xué)模型的意義：求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時(shí)間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計(jì)算傅氏變換S=jω頻率特性是分析系統(tǒng)性能指標(biāo)、設(shè)計(jì)系統(tǒng)的主要途徑2.2

線性系統(tǒng)的微分方程線性系統(tǒng)：能用線性微分方程描述其輸入輸出關(guān)系。大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，用線性微分方程來(lái)描述。本節(jié)要點(diǎn)：用微分方程的方法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)部機(jī)理建模，并由此了解常用數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)。微分方程的列寫步驟：1）確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量；2）從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理定理寫出各微分方程；

3）聯(lián)立方程，消去中間變量，寫出只含有系統(tǒng)輸入、輸出變量的微分方程；等式的左邊是輸出變量，右邊是輸入變量

4）將系統(tǒng)方程變換成標(biāo)準(zhǔn)形式。+

c(t)dc(t)dtd

n

1c(t)dt

n

1d

nc(t)dt

nTn+

+

T1+

Tn-1dr(t)dtd

mr(t)dtm+

K0

r(t)=

Kmd

m-1r(t)dtm-1+

Km-1+

+

K12.2.1

電路系統(tǒng)例2.1列寫R-L-C電路的微分方程。（忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)）R

LCi(t)ru

(t)cu

(t)dti(t

)

=

C

duc

(t

)dtr

cu

(t

)

=

L

di(t

)

+

Ri(t

)

+

u

(t

)du

(t

)dt

2

dtd

2u

(t

)c=

LC

c

+

RC

c

+

u

(t

)消去中間變量i(t)，系統(tǒng)的微分方程為L(zhǎng)C

LCL

dtd

2u

(t

)

R

du

(t

)

1

1c

ru

(t

)

=

u

(t

)

c

+

c

+dtdu

(t

)dt

2d

2

u

(t

)T1T2

c

+

u

c

(t

)

=

u

r

(t

)

c

+

T2線性定常二階微分方程R

，Tdt

2=

L1T

=

RC2令，方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式解:

系統(tǒng)輸入量：ur(t)，輸出量uc(t)y(t)Fkfmdtdy(t)Ff

(t)

=

fkdt

2d

2

y(t)F

(t)

=

ky(t)

a

=Ff為阻尼器的阻尼力,Fk為彈簧的彈性力，可表示為dt

2

dtd

2

y(t

)

dy(t

)m+

f

+

ky(t

)

=

F

(t

)代入式（2-1）整理得線性定常二階微分方程方式

F(t)-Ff(t)-Fk(t)=maF

(t

)

=

F

f

(t

)

+

Fk

(t

)

+

ma（2-1）2.2.2

機(jī)械系統(tǒng)基本元件是質(zhì)量、彈簧和阻尼器，基本定律是牛頓運(yùn)動(dòng)定律和力矩平衡定律。例2.2彈簧—質(zhì)量—阻尼器系統(tǒng)，求質(zhì)量m在外力F作用下位移

y(t)的運(yùn)動(dòng)方程。解:

輸入量

F(t)，輸出量為位移

y(t)

，由牛頓定律得力平衡2.2.3

其他系統(tǒng)解：u(t)為輸入量，電機(jī)轉(zhuǎn)速w

(t)為輸出dt電樞回路：u

(

t

)

=

R

i

+

L

di

+

E

---基爾霍夫---楞次定律---安培定律---牛頓定律（空載）電樞反電勢(shì)

E

=

C

e

wdt力矩平衡：

M

=

J電磁力矩

M

=

C

m

id

w消去中間變量

i,

M

,

E

，得：d

2w

dwJL

+

JR

+

C

C

w

=

C

udt

2

dt

e

m

mCe

反電勢(shì)系數(shù)Cm

電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)Ｊ

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量機(jī)電、熱工和化工對(duì)象等系統(tǒng)都可以通過(guò)物理、化學(xué)機(jī)理建立數(shù)學(xué)模型。例2.3電樞控制直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)，求數(shù)學(xué)模型。ＭR

Lu(t)iSMωdtT=

Kud

w

+

w2若電感L很小，可以忽略，簡(jiǎn)化為一階微分方程，若電阻R和慣量J都很小，又簡(jiǎn)化為w

=

Ku轉(zhuǎn)速w

和電樞電壓u

成正比。電動(dòng)機(jī)作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用+

JR

+

Ce

Cmw

=

Cm

udtdwJLdt

2d

2w線性二階微分方程dw+

T2

+

w

=

Kudt

2

dtd

2wT1T2RLT

=1電磁時(shí)間常數(shù)e

mC

CJRT

=2機(jī)電時(shí)間常數(shù)K

=

1

C

e靜態(tài)增益,令得線性系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以用一個(gè)線性常系數(shù)微分方程表述。具有以下特點(diǎn)：物理、化學(xué)過(guò)程不同的系統(tǒng)，但數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)過(guò)程和建立的數(shù)學(xué)模型卻很相似。微分方程的階次與系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)和要求的精度有關(guān)，方程中的系數(shù)是與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),具有一定的物理意義。上述系統(tǒng)是按線性系統(tǒng)理論建立的微分方程,為線性系統(tǒng)或非本質(zhì)非線性系統(tǒng)。本質(zhì)非線性在第八章中介紹。說(shuō)明2.2.4

線性系統(tǒng)微分方程的通用形式n

m輸出信號(hào)、輸入信號(hào)的最高求導(dǎo)次數(shù)dc(t)dtd

nc(t)dt

nan+

a0

c(t)d

n-1c(t)dt

n-1+

an-1+

+

a1dr(t)dtd

mr(t)dtm+

b0

r(t)=

bmd

m-1r(t)dtm-1+

bm-1++

b1線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式r(t)

系統(tǒng)輸入量c(t)

系統(tǒng)輸出量系統(tǒng)c(t)r(t)aib

j若為常系數(shù)，上式描述的系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)(LTI)若為時(shí)間的函數(shù)（或其中之一），為線性時(shí)變系統(tǒng)0aKmb=

m0am

-1b=

m

-101aKb=

100aKb=

0，…，，

K，0a=

a

nn0aT=

a

nn

1-

101aa

1=，，…，

T其中

Tdtdc(t)dt

nd

nc(t)an+

a0

c(t)dt

n-1d

n-1c(t)+

an-1+

+

a1dtdr(t)dtmd

mr(t)+

b0

r(t)=

bmdtm-1d

m-1r(t)+

bm-1++

b1a0

除上式兩邊，得標(biāo)準(zhǔn)形式為+

c(t)dc(t)dtd

n

1c(t)dt

n

1d

nc(t)dt

nTn+

+

T1+

Tn-1dr(t)dtd

mr(t)dtm+

K0

r(t)=

Kmd

m-1r(t)dtm-1+

Km-1++

K1T1、T2、…，Tn

為時(shí)間常數(shù)，反映慣性的大小K0

為傳遞系數(shù)（或靜態(tài)放大系數(shù)）本節(jié)小結(jié)本節(jié)主要講述線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型——微分方程如何寫成不同系統(tǒng)的微分方程——物理機(jī)理、原理微分方程的通用形式微分方程:描述時(shí)間域系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)變化，必須重新求微分方程，分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)不夠方便。傳遞函數(shù)：復(fù)數(shù)域輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，僅用于線性定常系統(tǒng)，也表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特

性，

3）當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)變化時(shí)，不必重新建立數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本、最重要的概念。2.3

控制系統(tǒng)復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型2.3.1

傳遞函數(shù)的定義系統(tǒng)c(t)r(t)L[r(t)]=

R(s)換的比。

G(s)

=

Lc(t)]

C(s)r

(

m

-1)

+

...

+

b

r￠+

b

r(t

)1

0a

c(

n)

+

a

c(

n-1)

+

...

+

a

c￠+

a

c

=

b r

(

m

)

+

bn n-1

1

0

m m

-1傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式微分方程一般形式：01nC

(

s

)

=

b

sm

+ba s

n

+

asm

-1

+

...

+

b

s

+

b

R(

s

)1

0m m

-1s

n

-1

+

....

+

a

s

+

an

-1拉氏變換：niji

=1j

=1(s

-

p

)(s

-

z

)G(s)

=⑴首1標(biāo)準(zhǔn)型：mK

*j

=1n1

n2i

=1i

j

jm1

m2k

l

lG(s)

=

K

k

=1

l

=1

vs

(T

s

+

1)

(T

2

s2

+

2xT

s

+

1)(t2

s2

+

2xt

s

+

1)(t

s

+

1)⑵尾1標(biāo)準(zhǔn)型：傳遞函數(shù)：1

0R(s)na

sn

+

a

sn-1

+

...

+

a

s

+

an-1C

(s)

b

sm

+

b

sm

-1

+

...

+

b

s

+

b=

m m

-1

1 0

=

G(s)定義：

零初始條件時(shí)，線性定常系統(tǒng)輸出量拉氏變換與輸入量拉氏變傳遞函數(shù)的性質(zhì)=

G(s)C

(s)

b

sm

+

b=n n-1R(s)

an

s

+

an-1

s

+

...

+

a1

s

+

a0sm

-1

+

...

+

b

s

+

b1

0m m

-1G(s)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，且n≥m；G(s)只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān),與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)；G(s)與系統(tǒng)微分方程直接關(guān)聯(lián)，s

=

d

dt

置換即可；G(s)的拉氏反變換是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，即G(s)=L[g(t)]；設(shè)輸入信號(hào)是單位脈沖函數(shù)，即r(t)=d(t)0,

t

?

0d(t)

=

￥

,

t

=

0d(t)的定義：￥-￥R(s)

=d

(t

)dt

=

1

=

L

d(t

)]

1且輸出量的拉氏變換等于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即C(s)

=

G(s)R(s)

=

G(s)拉氏反變換L-1

[C(s)]=L-1

[G(s)]=C(t)=g(t)5)

G(s)

與s平面上的零極點(diǎn)圖相對(duì)應(yīng).0d(t)d(t

-t)nm=

K

*

i

=1

(s

-

p

j

)(s

-

zi

)a0

(s

-

p1

)(s

-

p2

)

(s

-

pn

)

b0

(s

-

z1

)(s

-

z2

)

(s

-

zm

)

G(s)

=

傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)

0sjw[S]j

=1分子多項(xiàng)式的根zi為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；分母多項(xiàng)式的根pj為極點(diǎn)（系統(tǒng)特征根）

K*稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。傳遞函數(shù)的首1標(biāo)準(zhǔn)型(零極點(diǎn)式)n

-njsnj

=1i

=1(T

s

+

1)G

(

s

)

=

K零點(diǎn)用“○”表示，極點(diǎn)用“×”表示。傳遞函數(shù)的尾1標(biāo)準(zhǔn)型(時(shí)間常數(shù)式)m(ti

s

+

1)系統(tǒng)增益?zhèn)鬟f函數(shù)的零極點(diǎn)圖零初始條件定義的G(s)：反應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)特性有兩方面的含義:零輸入作用是指t=

0以后,輸入才作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入量及各階導(dǎo)數(shù)在t=

0時(shí)的值均為零；輸入作用加入之前，系統(tǒng)相對(duì)靜止，系統(tǒng)輸出量及各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值也為零。說(shuō)明(1)輸入u

r

(t)(2)初始條件——一般規(guī)定r(t)=1(t)——規(guī)定0初始條件(3)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)——自身特性決定系統(tǒng)性能影響系統(tǒng)響應(yīng)的因素系統(tǒng)的輸出量：即為系統(tǒng)的輸出響應(yīng)（系統(tǒng)響應(yīng)）是由傳遞函數(shù)的定義,C

(s)=G(s)R(s)TT

s2

+T

s

+11

2

2U

(s)rG(s)

=

Uc

(s)

=傳遞函數(shù)：r11

2

c

2

c

cTTs2U

(s)

+T

sU

(s)

+U

(s)

=U

(s)RLs1/CsI(s)Ur(s)Uc(s)R

LCi(t)ru

(t)cu

(t)例2.6

試列寫RLC電路的傳遞函數(shù)G(s)=Uc(s)/Ur(s).dtd

2

u

(t)

du

(t)c

rLC

c

+

RC

c

+

u

(t)

=

u

(t)已知:du

(t

)dt

2

dtd

2

u

(t

)T1T2

c

+

u

c

(t

)

=

u

r

(t

)

c

+

T2dt

2LT

=R1T2

=

RC解:零初始條件下取拉氏變換：ur(t)→Ur(s),

i(t)→I(s),

uc(t)→Uc(s),R→R,

L

→Ls,

c

→1/cs例2.7

求例2.4直流電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：

已知系統(tǒng)的微分方程+

w

=

Kudt

2

dtd

2

w

dwT1T2

+

T222

2

2設(shè)初始條件為零，對(duì)上式拉氏變換T

T

s

2

+

T s

+

11

2

2（T

T

s

+

T s+

1)W

(s

)=

KU

(s

)KU

(

s

)傳遞函數(shù)

G

(

s

)

=

W

(

s

)

=dtT忽略電樞電路電感L，系統(tǒng)的微分方程為dw2Ts

+

1+

w

=

KuKG

(s

)=傳遞函數(shù)忽略電樞電路電阻R和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，微分方程為w

=Ku傳遞函數(shù)為G(s)=KＭＵR

LiSMω原則上不反映非零初始條件時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的全部信息適合于描述單輸入/單輸出系統(tǒng)；只能用于表示線性定常系統(tǒng)。線性/非線性，定常/時(shí)變系統(tǒng)的辨析c

+

5c

+

4c

=

2r

+

4rc

+

2

c

c

+

4c3

+

4

=

2r

+

4r

cc

+

a1

(t

)c

+

a2

(t

)c

=

2r

+

4r傳遞函數(shù)的局限性試求：（1） 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；系統(tǒng)的增益；系統(tǒng)的特征根；畫出對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)圖；求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；求系統(tǒng)微分方程；當(dāng)

c(0)=-1,

c’(0)=0;

r(t)=1(t)

時(shí)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。(s

+

1)(

s

+

4)2(s

+

2)G(s)

=

C

(s)

=

C

(

S

)

=

s

G(s)

=R(s) 1

s3

3例2.8

某系統(tǒng)在零初始條件下的階躍響應(yīng)為c(t

)=1

-2

e-t

-1

e-4t-

=1

2

1

1

1 2(s

+

2)s

3

s

+

1

3

s

+

4

s(s

+

1)(

s

+

4)C(s)

=

-解.（1）4K

=

2·

2

=

1(2)(3)e

e-t-4t2l

=

-4l1

=

-1+

C2(s

+

1)(

s

+

4)

s

+

1

s

+

4

k(t

)

=

L-1[G(s)]

=

L-1

2(s

+

2)

=

L-1

C11s

+

4

3C

=

lim

2(s

+

2)

=

2sfi

-1

=

2

e-t

+

4

e-4t1

+

4

1

3

s

+

1 3

s

+

4

3

3k(t

)

=

L-1

2G(s)=

2(s

+

2)

=

2s

+

4

=

C

(s)(s

+

1)(

s

+

4)

s2

+

5s

+

4

R(s)(s2

+

5s

+

4)C(s)

=

(2s

+

4)R(s)L-1

:c

+

5c

+

4c

=

2r

+

4r(5)(6)2s

+

1

3=

lim

2(s

+

2)

=

4Csfi

-4(4)零極點(diǎn)圖如圖示1Csfi

-1L

:

[s2C(s)

-

sc(0)

-

c(0)]+

5[sC

(s)

-

c(0)]+[4C(s)]0(s

+

1)(

s

+

4)

s

+

1

s

+

4

3

s

+

1 3

s

+

40-

4

1

13 3

s

+

4e

+c

(t

)

=-t（7）(s2

+

5s

+

4)C(s)

-(s

+

5)c(0)

-

c(0)

=

2(s

+

2)R(s)2(s

+

2)

1

s

+

5

-

s2

-

3s

+

4C(s)

=

-

=s2

+

5s

+

4

s

s2

+

5s

+

4

s(s

+

1)(s

+

4)其中初始條件引起的自由響應(yīng)部分C

(s)

=

-(s

+

5)

=C1 +

C2

=

-

4

1

+

1

12s

+

4

3

s

+

1

3=

lim

-(s

+

5)

=

-

4

=

lim

-(s

+

5)

=

1Csfi

-4e-

4

t-

te

-e

-=

1-

2

e-

t3-

t

+

1

e-

4

t431323c

(t

)

=

cr

(t

)

+

c0

(t

)

=

1-2.3.2

典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)：任意一個(gè)系統(tǒng)是由許多元件、以不同結(jié)構(gòu)和不同的運(yùn)動(dòng)原理構(gòu)成的。研究各元件運(yùn)動(dòng)規(guī)律和數(shù)學(xué)模型，并將它們劃分成幾種典型的數(shù)學(xué)模型，這些典型的數(shù)學(xué)模型即典型環(huán)節(jié)。常見(jiàn)典型環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、遲后環(huán)節(jié)⒈比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）常見(jiàn)物理系統(tǒng)：機(jī)械杠桿（無(wú)彈性形變的）放大器（非線性和時(shí)間延遲可忽略）

電路分壓器、測(cè)速電機(jī)電壓與轉(zhuǎn)速關(guān)系傳動(dòng)鏈速度比等R(s)G(s)

=

C(s)

=

K輸出量等于輸入量乘以比例系數(shù)c

(

t

)

=

Kr

(

t

)傳遞函數(shù)1Ts

+

1R(s)傳遞函數(shù)：G

(s)

=

C

(s)

=dt2.慣性環(huán)節(jié)特點(diǎn)：有儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入信號(hào)不能立即復(fù)現(xiàn)微分方程：T

dc

(t

)

+

c

(t

)

=

r

(t

)輸出量的拉氏變換：1R(s)Ts

+1C(s)

=常見(jiàn)物理系統(tǒng)：?jiǎn)稳菀何幌到y(tǒng)電熱爐溫度隨電壓變化系統(tǒng)和單容充放氣系統(tǒng)直流電機(jī)的勵(lì)磁回路T為時(shí)間常數(shù)，慣性環(huán)節(jié)：1R

(s)

=

s

,1

1

1T∴

C

(s)

=

s(Ts

+

1)

=

1(

s

-

s

+

1

)tT

)∴

c

(t

)

=

L

1

[C

(

s

)]

=

(1

-

e可見(jiàn)，c(t)是非周期單調(diào)升的，所以慣性環(huán)節(jié)又叫作非周期環(huán)節(jié)。,C(s)

=

1R(s)

Ts

+1階躍輸入：階躍響應(yīng)：R2ou-+ui

R1

CRR2Z2

R21

11+R2Cs\

Z2

=

2

1+R

Cs= +Cs

=

2

,Z1

=

R1,Z2

(s)Z1

(s)U

(s)

U

(s)

i

=-

0

RC②uiuoUi

(s)

=

RI

(s)

+Uo

(s)I

(s)

=

CsUo

(s)Ui

(s)

=

(RCs

+1)U0

(s)U0

(s)

=

1Ui

(s)

RCs

+1兩個(gè)實(shí)例：①Ui

(s)

1+

R2CsU

(s)R2R∴

o

=-

1

3.積分環(huán)節(jié)（無(wú)差環(huán)節(jié)）特點(diǎn)：輸入量輸出量之間呈積分關(guān)系t0r

(t

)

dt

1

Tc

(t

)

=初始值為零，上式的解為R

(s)

TsT為時(shí)間常數(shù)，傳遞函數(shù)：G

(s)

=

C

(s)

=

1dtdc

(

t

)

=

r

(

t

)微分方程：

T1Ui

(s)

RCs

Ts=

-

1G(s)

=

Uo

(s)

=

-如圖是運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)。傳遞函數(shù)為C+ui

(t

)u

(t)oR積分環(huán)節(jié)實(shí)例：①RCuiuoR1Csu

(s)

u

(s)

i

=

-

o

\

uo

(s)

=

-

1

ui

(s)

RCsi圖中，q

為轉(zhuǎn)角，q

'為角速度。ti0ku

(t)dtq

'

=

ku

q

=為積分環(huán)節(jié)。i可見(jiàn)，q

'

~

u

為比例環(huán)節(jié)，iq

~

u②電動(dòng)機(jī)（忽略慣性和摩擦）iuqq'齒輪組分為理論微分環(huán)節(jié)和實(shí)際微分環(huán)節(jié)理論微分環(huán)節(jié)：僅理論上存在，實(shí)際中不能單獨(dú)實(shí)現(xiàn)如純微分環(huán)節(jié)，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)C(s)T為時(shí)間常數(shù)，傳遞函數(shù)：G(s)=R(s)=Tsdtc

(t

)

=

T

dr

(t

)微分方程：⒋微分環(huán)節(jié)（超前環(huán)節(jié)）G(s)

=

Ts

+1G(s)

=

T

2

s

2

+

2xTs

+1存在，所以純微分環(huán)節(jié)不能單獨(dú)存在。一階微分、二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)不滿足n≥m的條件，實(shí)際工程中不會(huì)單獨(dú)存在。如下式C

(s

)=

Ts，其拉氏反變換c(t

)=Td

(t

)，d(t)在實(shí)際工程中不單位階躍輸入信號(hào)R

(s

)=1

，純微分環(huán)節(jié)輸出量的拉氏變換cRui

(t)uo(t)Ciidt

+

iRuo

(t

)

=

iR

1

u

(t

)

=(

t

)

dt

+

u

(

t

)u

1

RCu

(

t

)

=ooi滿足n≥m的基本條件，可以付諸實(shí)際使用。dtdtRCooidu

(t

)du

(t

)=

u

(t

)

+

RCts

+

1G

(

s

)

=

ts

t

=

RC實(shí)際微分環(huán)節(jié)（復(fù)合微分環(huán)節(jié)）如圖示dt

2

dt2

d

2c(t)

dc(t)T+

c(t)

=

r(t)+

2VT⒌ 振蕩環(huán)節(jié)（二階環(huán)節(jié)）微分方程:2n

nR(s)C(s)

1ws2

+

2Vw

s

+w

2=

n

T

2

s2

+

2VTs

+1G(s)

=

=T為時(shí)間常數(shù),V為阻尼比。傳遞函數(shù)為常見(jiàn)物理系統(tǒng)：有兩個(gè)貯能元件的系統(tǒng)彈簧阻尼系統(tǒng),機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng),RLC電路Tw

n=1

為無(wú)阻尼振蕩頻率。⒍滯后環(huán)節(jié)（延遲環(huán)節(jié)）R(s)G(s)

=

C

(s)

=

e

-tS輸出量輸入量之間關(guān)系滿足下列方程c(t)

=

r(t

-t)為滯后時(shí)間，其傳遞函數(shù)為常見(jiàn)物理系統(tǒng)：傳輸延遲、測(cè)量點(diǎn)與混合點(diǎn)之間信號(hào)延遲軋鋼板的厚度控制系統(tǒng)晶閘管整流裝置流體管傳輸和熱交換系統(tǒng)等x(t)ty(t)t小

結(jié)傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式傳遞函數(shù)的性質(zhì)G(s)

是復(fù)函數(shù)；G(s)

只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)；G(s)

與系統(tǒng)微分方程直接關(guān)聯(lián)；G(s)

=

L[

g(t)

]；G(s)與s平面上的零極點(diǎn)圖相對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)的局限性控制系統(tǒng)模型微分方程（時(shí)域）傳遞函數(shù)（復(fù)域）結(jié)構(gòu)圖（方框圖）是描述元部件或系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的圖示模型。2.4.1

結(jié)構(gòu)圖的組成結(jié)構(gòu)圖包括：信號(hào)線、引出點(diǎn)、函數(shù)方框、比較點(diǎn)1.信號(hào)線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。2.4

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2.引出點(diǎn)（測(cè)量點(diǎn)）：信號(hào)引出或測(cè)量的位置同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。3.函數(shù)方框(環(huán)節(jié)方框)：對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換方框具有運(yùn)算功能。

X

2

(

s

)

=

G

(

s

)

X

1

(

s

)注意量綱和符號(hào)!!相鄰比較點(diǎn)可以互換、合并、分解;服從代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的!!4比較點(diǎn)（求和點(diǎn)、綜合點(diǎn)）用符號(hào)“ˉ

”或

“

”

及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示。箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)原理圖與數(shù)學(xué)方程兩者的結(jié)合，具有以下特性：是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型，描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系、系統(tǒng)中信號(hào)的傳遞和變換。脫離了物理系統(tǒng)的模型!!是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式!!只能進(jìn)行加減乘除運(yùn)算。微分方程則要通過(guò)拉氏變換成代數(shù)方程，才能用結(jié)構(gòu)圖描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。可以將復(fù)雜原理圖簡(jiǎn)化，了解每個(gè)元部件對(duì)系統(tǒng)性能的影響。說(shuō)明2.4.2

結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化復(fù)雜系統(tǒng)的方框圖也復(fù)雜，結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化可以將多環(huán)節(jié)，互相交叉的結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單形式，簡(jiǎn)化前后系統(tǒng)傳遞函數(shù)不變。以下五種典型情況最常使用。1、串聯(lián)方框的簡(jiǎn)化2、并聯(lián)方框的簡(jiǎn)化3、反饋連接方框的簡(jiǎn)化4、比較點(diǎn)的移動(dòng)5、引出點(diǎn)移動(dòng)C(s)

=

G2

(s)C1(s)C1(s)

=

G1

(s)R(s)C(s)=

G

2

(s)G1

(s)R(s)C(s)G2(s)G1(s)1C

(s)R(s)變換前C(s)G2(s)G1(s)R(s)變換后1、串聯(lián)方框的簡(jiǎn)化多個(gè)方框串聯(lián)時(shí)，總傳遞函數(shù)等于各方框傳遞函數(shù)之積。C(s)

=

G3

(s)G2

(s)G1

(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)R(s)G1(s)R(s)C1(s)

G

(s)

C2(s)G3(s)

C(s)2R(s)C2(s)G1(s)G2(s)G3(s)C1(s)C(s)(-)C3(s)2、并聯(lián)方框的簡(jiǎn)化G1(s)+G2(s)-G3(s)變換后R(s)C(s)變換前C(s)

=

C1

(s)

+C2

(s)

-

C3

(s)=

[G1

(s)

+

G2

(s)

-

G3

(s)]R(s)多個(gè)方框并聯(lián)，總傳遞函數(shù)等于各方框傳遞函數(shù)之代數(shù)和。3、反饋連接方框的簡(jiǎn)化C(s)=G(s)E(s)E(s)=R(s)

H(s)

C(s)C(s)=G(s)[R(s)

H(s)C(s)]=

G(s)

R(s)

G(s)

H(s)C(s)R(s)C(s)G(s)H(s)E(s)F

(s)是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。圖中“+”表示反饋與輸入量極性相同，正反饋連接；

“-”表示反饋與輸入量極性相反，負(fù)反饋連接。整理得G(s)1

–

G(s)H(s)C(s)

=

R(s)G(s)F

(s)

=

C(s)

=R(s)

1–

G(s)H

(s)R(s)C(s) G

(s)

1

–

G

(s)H

(s)比較點(diǎn)前移G(s)(-)B(s)R(s)

C(s)C(s)=G(s)R(s)-B(s)移動(dòng)前C(s)R(s)G(s)(-)B(s)4比較點(diǎn)移動(dòng)C(s)=G(s)[R(s)-B(s)]比較點(diǎn)后移移動(dòng)前C(s)G(s)G(s)R(s)B(s)(-)移動(dòng)后

C(s)

=

G(s)R(s)-G(s)B(s)串接一個(gè)與所越過(guò)的方框有相同傳遞函數(shù)的方框。1B(s)]G(s)1G(s)G(s)B(s)C(s)R(s)(-)移動(dòng)后C(s)

=

G(s)[R(s)

-串接一個(gè)與所越過(guò)的方框有相同傳遞函數(shù)成倒數(shù)的方框。5、引出點(diǎn)移動(dòng)：G(s)R(s)1C

(s)2C

(s)引出點(diǎn)前移：移動(dòng)前C

(s)=G(s)R(s)1C2(s)=G(s)R(s)C1(s)=G(s)R(s）C2(s)=G(s)R(s)移動(dòng)后G(s)R(s)C(s)R(s)引出點(diǎn)后移：移動(dòng)前C

(s)=G(s)R(s)R(s)=R(s)移動(dòng)前后輸出是等效的移動(dòng)后C

(s)=G(s)R(s）

1

G(s)R(s)G(s)R(s)

=G(s)G(s)C2(s)C1(s)R(s)在分出支路中串接有相同傳遞函數(shù)的方框。

1

G(s)G(s)C(s)R(s)R(s)在分出支路中串接有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的方框。R(s)1V

(s)V2(s)C(s)E1(s)(-)V2(s)C(s)(-)V1(s)R(s)R(s)V2(s)C(s)(-)V1(s)或交換或合并相加點(diǎn)C(s)=E1(s)+V2(s)=

R(s)-V1(s)+V2(s)=

R(s)+V2(s)-V1(s)結(jié)構(gòu)圖的基本形式串

聯(lián)

并

聯(lián)反

饋G1G2RG2G1RCCG11+G1G2C

RCG1G2C

RG1

G2RC

RG1

G2G2G1G1G2結(jié)構(gòu)圖的基本形式G1

+

G2G21

G1

G2結(jié)構(gòu)圖等效變換方法三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式相鄰比較點(diǎn)可互換位置、可合并…相鄰引出點(diǎn)可互換位置、可合并…注意事項(xiàng)：不是典型結(jié)構(gòu)不可直接用公式引出點(diǎn)比較點(diǎn)相鄰，不可互換位置錯(cuò)GG22G2H1G1G3用功無(wú)GGG333

G2GGG111

G2HHH111向同類移動(dòng)！比較點(diǎn)移動(dòng)G1G2G3H1G1ab

1

G4請(qǐng)你寫出結(jié)果,行嗎？G1G4H3G2G3H1G1G4H3G2G3H1H1H3作用分解例2.10

結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)。(1)結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)(方法一)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RYG4G3H2YRG1G21+G2H2

+G2G3H1(b)YRG1G2G31+G2

H2

+G2G3H1

-G1G2

H2G4(c)4+GG1G2G31+G2

H2

+G2G3H1

-G1G2

H2RY(d)(a)RYG1G2G3G4H2H2HG23+HG1

3H1(-)(-)(2)

結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)(方法二)H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(-)RY(a)H2/G3G4RYG1G2G31+

G2

H

2

+

G2G3

H1(b)(3)

結(jié)構(gòu)圖化簡(jiǎn)(方法三)G1G2G3H1/G1G4RY(-)H

2

(1

-

1

)G3

G1(a)H1

+

H2

-

H

2G1

G1G3

G3G4G1G2G3YR(-)(b)H1H2G1G2G3G4(-)(-)RY等效為單位反饋系統(tǒng)(4)其它等價(jià)法則G

(s)

H

(s)

11

+

G

(s)

H

(s)

H

(s)C

(s)

=R(s)(-)C(s)G(s)H(s)

1

H

(s)G(s)H(s)(-)C(s)R

(s)R(s)G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(s)C(s)R(s)G(s)-H(s)E(s)負(fù)號(hào)可在支路上移動(dòng)E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)Cs)=R(s)+[-H(s)]C(s)E(s)結(jié)構(gòu)圖——小結(jié)方框圖的組成串聯(lián)方框圖的化簡(jiǎn)并聯(lián)方框圖的化簡(jiǎn)反饋方框圖的化簡(jiǎn)比較點(diǎn)、引出點(diǎn)的移動(dòng)2.5信號(hào)流圖與梅森公式信號(hào)流圖信號(hào)流圖源于梅遜（S.J.MASON），是利用圖示法描述線性代數(shù)方程組的一種方法。根據(jù)統(tǒng)一的公式，可以比結(jié)構(gòu)圖更容易求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。組成:信號(hào)流圖由節(jié)點(diǎn)和支路組成節(jié)點(diǎn):表示系統(tǒng)的變量或信號(hào)支路:連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向線段，用支路增益表示兩個(gè)變量的關(guān)系。信號(hào)沿箭頭單向傳遞。axyY=ax基本性質(zhì)通路：沿箭頭方向穿過(guò)各相連支路的路徑x1x2x3x4x5,x1x2x5輸入節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn))

x1

：只有輸出支路，代表系統(tǒng)的輸入量；輸出節(jié)點(diǎn)(阱節(jié)點(diǎn))x5：只有輸入支路，代表系統(tǒng)的輸出量；混合節(jié)點(diǎn)：有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)；前向通路：輸入到輸出通路上通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)僅一次的通路；回路：起點(diǎn)終點(diǎn)重合，過(guò)任何節(jié)點(diǎn)僅一次的閉合通路；不接觸回路：相互間沒(méi)有任何公共節(jié)點(diǎn)的回路。信號(hào)流圖與結(jié)構(gòu)圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系結(jié)構(gòu)圖輸入信號(hào)輸出信號(hào)比較點(diǎn)

環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)信號(hào)流圖源節(jié)點(diǎn)

阱節(jié)點(diǎn)

混合節(jié)點(diǎn)支路支路增益前向通路回路互不接回路2.5.1

信號(hào)流圖的繪制(節(jié)點(diǎn))G(s)R(s)

C(s)C(s)R(s)G(s)(節(jié)點(diǎn))(支路)G1(s)G2(s)H(s)R(s)D(s)V(s)C(s)E(s)(-)(a)

結(jié)構(gòu)圖1

C(s)E(s)

G1(s)Y(s)V(s)R(s)

1D(s)1G2(s)-H(s)(b)

信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)圖信號(hào)流圖(信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)圖)小圓圈標(biāo)出傳遞的信號(hào)，得到節(jié)點(diǎn)；線段表示結(jié)構(gòu)圖中的方框，用傳遞函數(shù)代表支路增益。節(jié)點(diǎn)只表示變量的相加。例2.12

繪制結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖(1)

。Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)IC(s)-1I2(s)-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)1R11C1

s1C

2

s1R

2E

(s)系統(tǒng)信號(hào)流圖例2.13結(jié)構(gòu)圖

信號(hào)流圖控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖例2.14信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)圖由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖將微分方程通過(guò)拉氏變換，得到S的代數(shù)方程；每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)；將方程按照變量的因果關(guān)系排列；連接各節(jié)點(diǎn)，并標(biāo)明支路增益。信號(hào)傳遞流程：Ui

(s)

fi

Ui

(s)-U0(s)

fi

I1(s)

fi

I(s)

fi

U0(s)C1uiR1R2uoi1i例2.15繪制圖示信號(hào)流圖。解：微分方程i1

(t)R1

+

uo

(t)

=

ui

(t)o

2u

(t)

=

i(t)R1i1

(t)R1C

(i

-

i

)dt=

1拉氏變換得I1

(s)R1

+Uo

(s)

=

Ui

(s)Uo

(s)

=

I

(s)R2sC

scu

(0)111

1

1I(s)R

=

[I(s)

-

I(s)]

+整理I1

(s)R1

+Uo

(s)

=

Ui

(s)Uo

(s)

=

I

(s)R2I(s)

=

(1+

R1C1s)I1

(s)

-

C1uc

(0)i

i

oU

(s)

U

(s)-U

(s)oU

(s)U

(s)Cu

(0)1I

(s)I(s)

o1/R1

1+R1C1s

R2-C1-1信號(hào)流圖D

k

—第k條前向通路的余子式(把與第i條前向通路接觸的回路去除，剩余回路構(gòu)成的子特征式2.5.3

梅森公式nk

kP

ΔΔ1k

=1Mason公式:G(s)

=信號(hào)流圖梅森公式

計(jì)算總增益D

=

1

-

La

+

LbLc

-

Ld

Le

L

f

+—特征式n —前向通路的條數(shù)Pk

—第k條前向通路的總增益

La

—所有單獨(dú)回路的回路增益之和

Lb

Lc

—兩兩互不接觸回路的回路增益乘積之和

LdLe

Lf—互不接觸回路中，每次取其中三個(gè)的回路增益乘積之和L1

=

-G

2

H

2L2

=

G1G

2

H

23

2

3

1L

=

-G

G

HD

=1-

La42

2G1G2G3k

k+

G+

G2G3

H1

-G1G2

H

21+

G

H=DnG(s)

=

1

P

Dk

=1例2.16

已知系統(tǒng)信號(hào)流圖，求傳遞函數(shù)。解：三個(gè)回路P1

=

G1G

2G

3P2

=

G

4D

1

=

1D

2

=

D=1+

G2

H

2

+

G2G3

H1

-G1G2

H

2兩條前向通路RG1G2G3H2-H2-H1CG4例2.17

求C(s)/R(s)D

=

1

-[-

G2G3

H

2

-

G4G5

H3-

G3G4

H4-

G1G2G3G4G5G6

H1]+

(-G2G3

H

2

)(-G4G5

H

3

)=1

+

G2G3

H2

+

G4G5

H3

+

G3G4

H4

+

G1G2G3G4G5G6

H1

+

G2G3G4G5

H2

H3P1

=

G1G2G3G4G5G6D1

=1G1G2G3G4G5G61+

G2G3

H

2

+

G4G5

H3

+

G3G4

H

4

+

G1G2G3G4G5G6

H1

+

G2G3G4G5

H

2

H3F

(s)

=D

=1-[

-

G1G2

H1

-

G2G3

H

2

-

G1G2G3

-

G4

H2

-

G1G4

]=1

+

G1G2

H1

+

G2G3

H2

+

G1G2G3

+

G4

H2

+

G1G4G1G2G3

+

G1G4G1G2

H1

+

G2G3

H

2

+

G1G2G3

+

G4

H

2

+

G1G4F

(s)

=P1

=

G1G2G3P2

=

G1G4D1

=1D2

=1例2.18

求C(s)/R(s)RCs(RCS

)2(RCs)3D

=1

-[

5

·

-1

-

6

·

1

-

1

]1(RC