第28講三角函數(shù)與雙曲線、拋物線的綜合知識(shí)導(dǎo)航在平面直角坐標(biāo)系中，通常需要把三角函數(shù)值放在一個(gè)至少有一邊平行于坐標(biāo)軸或者落在坐標(biāo)軸上的直角三角形中，再運(yùn)用三角函數(shù)的定義，綜合已知條件解決問(wèn)題.板塊一由解析式求三角函數(shù)值方法技巧由解析式可確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，再由坐標(biāo)確定線段長(zhǎng)，從而可求三角函數(shù)值.題型一知拋物線解析式求三角函數(shù)值例1.如圖，拋物線y=a(X—2)2—1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(4,3),交X軸于A,B兩點(diǎn)，(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).(1)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為；(2)連接OC,CM，求tan∠OCM的值.解析(1)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式可確定M(2,—1)；(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線L,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥L于點(diǎn)E，連接OM,?.?O(0,0),C(4,3),.?.OC2=25,又M(2,—1),.OM=Y5,.CE=2,EM=4,.CM2=22+42=20,.CM=2%：'5,.CM2+^M2=OC2,.∠OMC=90°,\o"CurrentDocument"_? OM√5 1在Rt△OCM中，tan∠OCM=——=--=-CM2；52.tan∠OCM的值為1.題型二知反比例函數(shù)解析式求三角函數(shù)值例2.已知一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=k的圖像交于第一象限內(nèi)的P(1,8),Q(4,機(jī))兩1X 2點(diǎn)，與x軸交于A點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P‘，求∠P'AO的正弦值.解析將P(1,8)代入y=k中得k=4,.Q(4,1),.?.PQ的解析式為：y=-2X+9,2 x2.A(9,0),又P′與P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，.P’(—1,—8),過(guò)點(diǎn)P‘作P’D⊥X軸于點(diǎn)D,則OD=2,.DA=5,P′D=8,——：~— — P'D\o"CurrentDocument".P'A=√PD2+DA2=√89,.sin∠P′AO= =P'A題型三由解析式求三角函數(shù)和差積商為定值【例3】拋物線y=ax2+C，與X軸交于A,B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C,8 8√89-=_——

√89 89點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于X軸的下方，直線PA,PB與y軸分別交于E,F兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，tanNPAB+tanNPBAtanNOAC是否為定值？若是,求出定值；若不是,說(shuō)明理由．y=ax2+C的對(duì)稱(chēng)性知OA=OB,即X+X=0,

AB【解】由拋物線OE又tanNPAB=——OAOF OCtanNPBA=——,tanNOAC=——,OB OAtanNPAB+tanNPBAOE+OF，. = \o"CurrentDocument"tanNOAC OC、幾 ,Iy=kx+b,日設(shè)l:y=kx+b,l:y=mx+n,由< 得ax2-kx+C-b=0,bp ap Iy=ax2+c同理x?x=——Apa2 2c—b—n??(X+X)X= ABp a?/x+x=0, ?b=2c-n,AB.OE+OF'? OC—b—n —2c+n—n = =2,—c —ctanNpAB+tanNpBA即 =2.tanNOAC針對(duì)練習(xí)1.矩形AOBC中，OB=4,OA=3,分別以O(shè)B,OA所在直線為X軸，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)F是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合)，過(guò)點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=-(k>0)的圖象與邊AC交于x點(diǎn)E.連接EF,求∠EFC的正切值..c—b?xx?x= Bpak k12k【解】?.?E(4,4),?CF=BC—BF=3—4=12-^—k k12k又F(-,3), ?CE=AC—AE=4—-=12-—3 3 3tanNEFC=CECF432.如圖，拋物線y=1x2-1交x軸于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，連接OP,BP，若∠POB22=2∠PBO,求tan∠POB的值.【解】作PH⊥x軸于H,在X軸上截取PD=PO,則∠PDO=POD,?.?∠POB=2∠PBO,Λ∠PDO=2∠PBO,Λ∠PBD=∠BPD,即BD=PD.設(shè)P(t,112-212???D(2t,0),m?.?B(1,0),???BD=1—21,pd=((t-21)2+(212-2)2,?.?BD=PD,即1-21=、J2+(212-112+2)2,1-21=1-21=11T2+—,

2 212+41-1=0,t3.如圖,直線y=kx+1交拋物線11—t2221-t2=1X史=22t于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)F,求tanNAOF?tanNBOF的值.y=kx+1【解】由4??x?xAB?.?tanNAOF=AMOM-x AyAxa-A?1X2 xA4ABNtanNBOF=——=-B-=ONyB???tanNAOF?tanNBOF=16ZI——=4.1y=—x241=X2t1y=—x24得?X2-kx-1=0,4=-4,4xx—B41一X24BxB4.如圖，將拋物線C:J=-1X2向上平移b個(gè)單位得到拋物線C，其頂點(diǎn)為P，平行于X軸的直線交14 2C,C于第四象限兩點(diǎn)A,B，交J軸于點(diǎn)C,若AB=1,求tanNPBC-tanNOAC的值.12【解】設(shè)A(t,-112),B(t+1,-112),C(0,-112),4 44將點(diǎn)B坐標(biāo)代入C:y=211

=t+—,??.c2:y=11—x2+—t+—,

4 24.?.P(0,—tH ),24?*?PC=—t2H 1H ,4 2 4BC=t+1，11PC???tan/PBC=——BC—t2+-t+-4 2 4=4(t+1)，OCtan/OAC=——AC1t2 14L =—t,t4-1x2+b,4OC=112,

41t+1得b241AC=t,???tanNPBC-tanNOAC=14【板塊二】已知三角函數(shù)值求其他值利用三角函數(shù)的定義，由三角函數(shù)值得到相應(yīng)兩邊的比，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，解決函數(shù)有關(guān)問(wèn)題．題型一知三角函數(shù)值求反比函數(shù)的比例系數(shù)的值4【例1】如圖，菱形OABC的一邊OA在X軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，tanNAOC=-,反比例函數(shù)3y=-的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,與AB交于點(diǎn)D,若△COD的面積為20,求k的值.xCF4【解】過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AO于點(diǎn)F,??tanNAOC=—=-,?'.設(shè)CF=4x,OF=3X,ΛCO=AO=5X,

OF3T四邊形OABC為菱形，，S =AO-CF=2S& ,即5x?4X=40, ，x=√2, OF=3√2,菱形OABC CODCF=4√2,???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3?√2,4√2),?'.k=-3√2X4√2=-24.x題型二知三角函數(shù)值求拋物線的解析式【例2】如圖，拋物線y=%2-2mx+m2-m-3的頂點(diǎn)為P⑺求證：點(diǎn)P在某條定直線上，并寫(xiě)出該直線的解析式；⑵將拋物線進(jìn)行平移，若此時(shí)該拋物線與x軸交于點(diǎn)A,B,tanNPAB=2，求平移后的解析式.【解】(l),「y=x2-2mx+m2-m-3=(%-m)2-m一3, ；?頂點(diǎn)P(m，一m一3),.二點(diǎn)P在直線y=—x一3上.PH m+3 m3(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H,??tanNPAB=——=2,又PH=m+3,二AH=m-3,.?A(m-3,0),AH 2 2m3將點(diǎn)A代入y=(x一m)2一m-3,得( m)2-m-3=0, ??m2+2m—3=0,2??.m=—3(舍)，m=1,???平移后的拋物線解析式為y=x2—2x—3.12題型三知三角函數(shù)值求點(diǎn)的坐標(biāo)【例3】拋物線y=ax2+k與x軸，y軸分別交于A,B兩一點(diǎn).⑴若OA=20B，求ak的值；⑵在⑴的條件下，若OA=2,點(diǎn)C為第二象限的拋物線上一點(diǎn)，若tanNACH=2,求點(diǎn)C的坐標(biāo).【解】(I)：B(0,k),OA=2OB, ?A(2k,0),把A代入y=ax2+k,得0=a+(2k)2+k, ?ak=—14(2)：OA=2,?OB=1,?A(-2,0),B(0,1), ?y=4X2-1,VtanZACH=2,tan∠ABO=2,?∠ACH=NABO,延長(zhǎng)CA交y軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E,,OB=BE=1, ：△AOD^ΔBED,.OAAD設(shè)BD=t,AD=21,BEBD又OA2+OD2=AD2,???22+(t+1)2=(21)2,=—1(舍)，t=—,23,D(0,-8),

3???AC的解析式為y=\o"CurrentDocument"4 8—x—\o"CurrentDocument"3 31 1—x2—14得點(diǎn)C的坐標(biāo)(一130,196).??t14 8—X—3 3由=2,8,OD=83y=y=題型四 知三角函數(shù)值求線段之比【例4】如圖直線OB翻折,已知等邊三角形OAB與反比例函數(shù)y=-(k>0,x〉0)的圖象交于A,B兩點(diǎn).將△OAB沿

X,得到△OCB,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,線段CB交x軸于點(diǎn)D，則BD的值為DC(已知sin15,J6―'2)則AM=BM,ZAOM=ZBOM=30°,?A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線OM對(duì)稱(chēng),又VA,B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=-的圖象上，且圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，,直線OM的解析式為y=x,X.?.∠BOD=45°-30°=15過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CN⊥x軸于點(diǎn)N,SinNBOD=sin150=—=M-"2,OB4??∠BOC=60°,∠BOD=15°,.?.∠CON=45°, .?CN=ON,設(shè)CN=X,則CO=√2x,???OB=?五X(qián),.BF_√6—√2'.芯=??.BF=mχ，第-1易證，△BDFs^CDN,.BD=BF=—2——=3-1..CDCNx2.如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA,OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A'O'B，若反比例函數(shù)y=k的圖象恰好經(jīng)過(guò)斜邊A'B的中點(diǎn)C,S. =16,tanX ABO∠BA0=2,則k的值為..如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=k(k≠0)的圖象交于A,Bx兩點(diǎn)，與X軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥X軸于點(diǎn)H，點(diǎn)0是線段CH的中點(diǎn)，AC=4√5,cos∠ACH=三,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,n),求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式.【解】*/AH⊥x軸于點(diǎn)H,AC=4√5,cosNACH=史5.HC_√5_HC

,,AC=T=Z√I解得HC=4,???點(diǎn)O是線段CH的中點(diǎn),???HO=CO=2,???AH=、ACC2—HC2=8,/.A(-2,8),???反比例函數(shù)解析式為尸-16,???從4,-4),設(shè)一次函數(shù)解析式為y=履+b,則｛；2比二；k=—2解得.=4,一次函數(shù)為「2x+4.k2—1.已知反比例函數(shù)y=^k^(k是為常數(shù))，設(shè)點(diǎn)P(m,n)(m>0)是其圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥X軸于點(diǎn)M,若tan∠POM=2,PO=M(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求k的值，并直接寫(xiě)出不等式kx+k2+1>0的X解集.k2—1一一.【解】???點(diǎn)P(m,n)在反比例函數(shù)y= 圖象上，m>0,n<0,/OM=m,PM=-n,… PM一n .C.tanNPOM= =—=2,??一n=2m,OMm又.PO=√5,/.m2+(-n)2=5,即5m2=5,/.m=1,n=-2,/P(1,-2), /,-k2-1=-2, /.k=±1.①當(dāng)k=-1時(shí)，不等式kx+S>0的解集為x<-&或0<x<√2；Xk2+1②當(dāng)k=1時(shí)，不等式kx+k--1>0的解集為X〉0.x.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,1),拋物線y=X2上存在一點(diǎn)B，使得tan∠AOB=1,求點(diǎn)3B的坐標(biāo).【解】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OA交OB于點(diǎn)E,AC⊥x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)E作ED⊥CA交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE則aAEDMOAC,??