第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第1課時(shí)不等關(guān)系與比較大小必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.用什么來表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系？2.如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大??？1.不等式與不等關(guān)系(1)不等式的概念我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的_________.含有這些不等號(hào)的式子叫做不等式.不等關(guān)系(2)不等式中文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于，高于，超過小于，低于，少于大于或等于，至少，不低于小于或等于，至多，不多于，不超過符號(hào)語言><≥≤(3)本質(zhì)：現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系在數(shù)量關(guān)系上的反映，這種不等關(guān)系可以用不等式來表示.應(yīng)用：描述現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系.【思考】3≤3成立嗎？提示：成立.不等式“a≤b”的含義是：或者“a<b”或者“a=b”，即當(dāng)“a<b”與“a=b”一個(gè)成立時(shí)，該不等式就成立.2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b大小的依據(jù)文字語言符號(hào)表示如果a>b，那么a-b是正數(shù)，反之亦然a>b?______如果a<b，那么a-b是負(fù)數(shù)，反之亦然a<b?______如果a=b，那么a-b等于0，反之亦然a=b?______a-b>0a-b<0a-b=0【思考】你能否由比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)得出兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法？提示：能.通過兩個(gè)實(shí)數(shù)作差，判斷差的正負(fù)比較大小.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)不等式a≥b等價(jià)于“a不小于b”. (

)(2)若x-2≤0，則x<2. (

)(3)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關(guān)系中的一種. (

)提示：(1)√.不等式a≥b的含義是a>b或a=b，等價(jià)于“a不小于b”，即若a>b或a=b中有一個(gè)正確，則a≥b正確.(2)×.若x-2≤0，則x<2或者x=2，即x≤2.(3)√.任意兩數(shù)之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關(guān)系中的一種，沒有其他大小關(guān)系.2.某路段豎立的的警示牌，是指示司機(jī)通過該路段時(shí)，車速vkm/h應(yīng)滿足的關(guān)系式為 (

)

A.v<60 B.v>60C.v≤60 D.v≥36【解析】選C.限速就是速度不超過，可以直接建立不等式v≤60.3.(教材二次開發(fā)：練習(xí)改編)已知x≠2，則x2+4與4x的大小關(guān)系為_______.

【解析】x2+4-4x=(x-2)2，而x≠2，所以(x-2)2>0，所以x2+4-4x>0，所以x2+4>4x.答案：x2+4>4x關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一利用不等式(組)表示不等關(guān)系(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)

角度1利用不等式表示不等關(guān)系

【典例】1.2019年10月5日14時(shí)18分，京張高鐵聯(lián)調(diào)聯(lián)試正式啟動(dòng).此條線路是2022年北京冬奧會(huì)的重要交通保障設(shè)施，設(shè)計(jì)最高時(shí)速350公里.用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示高鐵時(shí)速v為_______.

2.中國“神舟七號(hào)”宇宙飛船的飛行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s.表示為_______.

【思路導(dǎo)引】讀懂題意，找出不等關(guān)系，用不等式表示出來.【解析】1.“最高”即“不超過”，即小于或等于，故用數(shù)學(xué)式子表示為：v≤350.答案：v≤3502.“不小于”即大于或等于，故用不等式表示為：7.9≤v<11.2.答案：7.9≤v<11.2【變式探究】本例1條件若改為：“如圖是高速公路上一個(gè)最低限速的指示標(biāo)志，限制行駛時(shí)速v不得低于50千米”，試用不等式表示.【解析】“不低于”即大于或等于，故用不等式表示為：v≥50.角度2利用不等式組表示不等關(guān)系

【典例】用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2，靠墻的一邊長為xm.試用不等式組表示其中的不等關(guān)系.【思路導(dǎo)引】讀懂題意，找出不等關(guān)系，用不等式組表示出來.【解析】由于矩形菜園靠墻的一邊長為xm，而墻長為18m，所以0<x≤18，這時(shí)菜園的另一條邊長為

(m).因此菜園面積S=x·

，依題意有S≥110，即x≥110，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為

【解題策略】用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語：至多、至少、大于等.(2)適當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)表示變量.(3)用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式.此類問題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的隱性不等關(guān)系，如由變量的實(shí)際意義限制的范圍.【題組訓(xùn)練】1.如圖是公路上一個(gè)限制寬度的指示標(biāo)志，要求裝載寬度a不得超過3米，用不等式表示為_______.

【解析】“不超過”即小于或等于，故用不等式表示為：a≤3.答案：a≤32.某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm的兩種鋼管.按照生產(chǎn)的要求，600mm的鋼管數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組呢？【解析】設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：(1)截得兩種鋼管的總長度不超過4000mm.(2)截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍.(3)截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù).要同時(shí)滿足上述的三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：【補(bǔ)償訓(xùn)練】某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法，增加利潤.已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售量就相應(yīng)減少10件，若把提價(jià)后商品的售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？【解析】由題知提價(jià)后商品的售價(jià)為x元，則銷售量減少×10件，因此每天的利潤為(x-8)[100-10(x-10)]元，則“每天的利潤不低于300元”可用不等式表示為(x-8)[100-10(x-10)]≥300(x>10).類型二作差法比較大小(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知a≠1且a∈R，試比較與1+a的大小.四步內(nèi)容理解題意條件：a≠1，a∈R結(jié)論：比較與1+a的大小思路探求作差?化簡(jiǎn)?判定差的符號(hào)?確定大小關(guān)系四步內(nèi)容書寫表達(dá)因?yàn)?(1+a)=-=，①(1)當(dāng)a=0時(shí)，=0，所以=1+a.(2)當(dāng)a<1，且a≠0時(shí)，>0，所以

>1+a.(3)當(dāng)a>1時(shí)，<0，所以<1+a.注意分類討論思想方法的應(yīng)用：①當(dāng)作差化簡(jiǎn)后的結(jié)果不能直接判定符號(hào)時(shí)，要討論.

題后反思作差后變形是比較大小的關(guān)鍵一步，變形的方法是配方或通分，因式分解為積商的形式.【解題策略】作差法比較大小的步驟【跟蹤訓(xùn)練】1.已知x，y∈R，P=2x2-xy+1，Q=2x-，試比較P，Q的大小.【解析】因?yàn)镻-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0，所以P≥Q.2.已知a，b均為正實(shí)數(shù).試比較a3+b3與a2b+ab2的大小.【解析】因?yàn)閍3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).當(dāng)a=b時(shí)，a-b=0，a3+b3=a2b+ab2；當(dāng)a≠b時(shí)，(a-b)2>0，a+b>0，a3+b3>a2b+ab2.綜上所述，a3+b3≥a2b+ab2.【拓展延伸】中間值法比較大小如果所給式子作差后無法因式分解，不能判斷差的符號(hào)，可嘗試中間值法比較大小.利用中間值法比較大小的關(guān)鍵在于尋找中間值，通過它們的有界性來尋找中間值作媒介，以達(dá)到傳遞的目的.【拓展訓(xùn)練】已知x∈R，試比較2x2-3x+3與的大小.【解析】因?yàn)?x2-3x+3=≥>1，2x+2-x=()2+2≥2，所以≤1，所以2x2-3x+3>.類型三比較大小在實(shí)際問題中的應(yīng)用(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模)【典例】2019年12月26日某單位職工去瞻仰毛澤東紀(jì)念館需包車前往.甲車隊(duì)說：“如果領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”，乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠.”這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠.【思路導(dǎo)引】先設(shè)出變量表示出兩車隊(duì)的車票花費(fèi)，再通過作差法比較.【解析】設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車隊(duì)的車需花y1元，坐乙車隊(duì)的車需花y2元.由題意，得y1=x+x·(n-1)=x+nx，y2=nx.因?yàn)閥1-y2=x+nx-nx=x-nx=x，當(dāng)n=5時(shí)，y1=y2；當(dāng)n>5時(shí)，y1<y2；當(dāng)n<5時(shí)，y1>y2.所以，當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時(shí)，兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙車隊(duì)更優(yōu)惠.【解題策略】現(xiàn)實(shí)生活中的許多問題能夠用不等式解決，其解題思路是將解決的問題轉(zhuǎn)化成不等關(guān)系，利用作差法比較大小，進(jìn)而解決實(shí)際問題.【跟蹤訓(xùn)練】甲、乙兩家飯館的老板一同去超市購買兩次大米，這兩次大米的價(jià)格不同，兩家飯館老板購買的方式也不同，其中甲每次購進(jìn)100千克大米，而乙每次用去100元錢.問：誰的購買方式更合算？【解析】設(shè)兩次大米的價(jià)格分別為a元/千克，b元/千克(a>0，b>0，a≠b)，則甲兩次購買大米的平均價(jià)格(元/千克)是：

乙兩次購買大米的平均價(jià)格(元/千克)是：

因?yàn)樗?gt;.所以乙飯館的老板購買大米的方式更合算.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列說法正確的是 (

)A.x為非正數(shù)可表示為“x≥0”B.小華的實(shí)際年齡n不足18歲，表示為“n≤18”C.兩數(shù)x，y的平方和不小于2，表示為“x2+y2≥2”D.甲數(shù)a比乙數(shù)b大，表示為“a≥b”【解析】選C.x為非正數(shù)應(yīng)表示為“x≤0”，小華的實(shí)際年齡n不足18歲應(yīng)表示為“n<18”，甲數(shù)a比乙數(shù)b大，應(yīng)表示為“a>b”，故A，B，D不正確，C正確.2.某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績(jī)x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績(jī)z超過45分，用不等式組表示就是 (

)

A. B.C. D.【解析】選D.“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超過”即“>”，所以

3.設(shè)a=3x2-x+1，b=2x2+x，則 (

)A.a>b B.a<b C.a≥b

D.a≤b【解析】選C.a-b=(3x2-x+1)-(2x2+x)=x2