微專題35雙星或多星模型1．雙星問題中各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2，其中r1＋r2＝L.2.“雙星問題”的隱含條件是兩者受到的向心力相等，周期相同，角速度相同；雙星軌道半徑與質(zhì)量成反比.3.多星問題中，每顆星體做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力由其他星體對(duì)該星的引力的合力提供，即F合＝meq\f(v2,r).1．(2023·廣東深圳市調(diào)研)由于潮汐等因素影響，月球正以每年約3至5厘米的速度遠(yuǎn)離地球．如圖所示，地球和月球可以看作雙星系統(tǒng)，它們繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．多年以后，地球()A．與月球之間的萬有引力變大B．繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不變C．繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變小D．繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑變小答案C解析地球和月球間距離變大，兩星的質(zhì)量不變，由萬有引力定律可知，地球與月球之間的萬有引力變小，故A錯(cuò)誤；設(shè)地球與月球的質(zhì)量分別為m1和m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R1和R2，地球和月球間距離為L，則有L＝R1＋R2，由萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有，eq\f(Gm1m2,L2)＝m1(eq\f(2π,T))2R1＝m1ω2R1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2(eq\f(2π,T))2R2＝m2ω2R2，聯(lián)立可得eq\f(Gm1＋m2,L2)＝eq\f(4π2L,T2)＝ω2L，R1＝eq\f(m2L,m1＋m2)，地球和月球間距離增大，則地球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T變大，地球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變小，地球繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑變大，故B、D錯(cuò)誤，C正確．2．(多選)(2023·湖南衡陽市聯(lián)考)科學(xué)家發(fā)現(xiàn)距離地球2764光年的宇宙空間存在適合生命居住的雙星系統(tǒng)，這一發(fā)現(xiàn)為人類研究地外生命提供了新的思路和方向．假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由質(zhì)量分別為m和M的A、B兩顆星體組成．這兩顆星體繞它們連線上的O點(diǎn)在二者萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，A、B兩顆星的距離為L，引力常量為G，則()A．因?yàn)镺A>OB，所以m>MB．兩恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2πeq\r(\f(L3,GM＋m))C．若恒星A由于不斷吸附宇宙中的塵埃而使得質(zhì)量緩慢增大，其他量不變，恒星A的周期緩慢增大D．若恒星A由于不斷吸附宇宙中的塵埃而使得質(zhì)量緩慢增大，其他量不變，則恒星A的軌道半徑將緩慢減小答案BD解析設(shè)A、B兩顆星體的軌道半徑分別為R1、R2，雙星之間的萬有引力提供向心力，則有eq\f(GmM,L2)＝meq\f(4π2,T2)R1，①eq\f(GmM,L2)＝Meq\f(4π2,T2)R2，②兩式聯(lián)立得mR1＝MR2，③OA>OB，即R1>R2，所以有m<M，A錯(cuò)誤；聯(lián)立①②得兩顆星體的周期為T＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m))，若m緩慢增大，其他量不變，周期T變小，故B正確，C錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系R1＋R2＝L，結(jié)合③式可得R1＝eq\f(M,M＋m)L，若m緩慢增大，A的軌道半徑將緩慢減小，D正確．3.(多選)(2023·甘肅天水市秦安縣診斷測(cè)試)多國科學(xué)家聯(lián)合宣布人類第一次直接探測(cè)到來自“雙中子星”合并的引力波信號(hào)．假設(shè)雙中子星在合并前，兩中子星A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，兩者之間的距離為L，如圖所示．在雙中子星互相繞行過程中兩者質(zhì)量不變，距離逐漸減小，則()A．A、B運(yùn)動(dòng)的軌道半徑之比為eq\f(m1,m2)B．A、B運(yùn)動(dòng)的速率之比為eq\f(m2,m1)C．雙中子星運(yùn)動(dòng)周期逐漸增大D．雙中子星系統(tǒng)的引力勢(shì)能逐漸減小答案BD解析雙中子星的周期、角速度、向心力大小相同，根據(jù)eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2R1＝m2ω2R2，可得eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，故A錯(cuò)誤；雙中子星的角速度相同，根據(jù)v＝ωr，可得eq\f(v1,v2)＝eq\f(R1,R2)＝eq\f(m2,m1)，故B正確；由eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2R1＝m2ω2R2,R1＋R2＝L，又角速度為ω＝eq\f(2π,T)，可得T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2))，L減小，則T減小，故C錯(cuò)誤；雙中子星相互靠近過程中引力做正功，引力勢(shì)能減小，故D正確．4．(多選)(2023·新疆博樂市診斷)雙星的運(yùn)動(dòng)是引力波的來源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由P、Q兩顆星體組成，這兩顆星體繞它們連線上的某一點(diǎn)在二者之間萬有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得P星的角速度為ω，P、Q兩顆星體之間的距離為L，Q、P兩顆星體的軌道半徑之差為Δr(P星的質(zhì)量大于Q星的質(zhì)量)，引力常量為G，則()A．P、Q兩顆星體的向心力大小相等B．P、Q兩顆星體的向心加速度大小相等C．P、Q兩顆星體的線速度大小之差為ωΔrD．P、Q兩顆星體的質(zhì)量之比為eq\f(L－Δr,L＋Δr)答案AC解析P、Q兩顆星體的向心力都等于兩者之間的萬有引力，因此P、Q兩星體的向心力大小相等，故A正確；兩顆星體的質(zhì)量不相等，根據(jù)F向＝ma可知，兩星體的向心加速度不相等，故B錯(cuò)誤；根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式v＝ωr，可知Δv＝vP－vQ＝ω(RP－RQ)＝ωΔr，故C正確；對(duì)于兩顆星體有F向＝mPω2RP＝mQω2RQ，所以eq\f(mP,mQ)＝eq\f(RQ,RP)，又因?yàn)閙P>mQ，所以RP<RQ，根據(jù)題意RQ－RP＝Δr，RP＋RQ＝L，解得eq\f(mP,mQ)＝eq\f(RQ,RP)＝eq\f(L＋Δr,L－Δr)，故D錯(cuò)誤．5．由三個(gè)星體構(gòu)成的系統(tǒng)，叫作三星系統(tǒng)．有這樣一種簡單的三星系統(tǒng)，質(zhì)量剛好都相同的三個(gè)星體甲、乙、丙在三者相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做周期相同的圓周運(yùn)動(dòng)．若三個(gè)星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，引力常量為G，則下列說法正確的是()A．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑均為aB．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期均為2πaeq\r(\f(a,3Gm))C．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小均為eq\r(\f(3Gm,a))D．三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小均為eq\f(3Gm,a2)答案B解析質(zhì)量相等的三星系統(tǒng)的位置關(guān)系構(gòu)成一等邊三角形，其中心O即為它們的共同圓心，由幾何關(guān)系可知三個(gè)星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r＝eq\f(\r(3),3)a，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；每個(gè)星體受到的另外兩星體的萬有引力的合力提供向心力，其大小F＝eq\r(3)·eq\f(Gm2,a2)，則eq\f(\r(3)Gm2,a2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πaeq\r(\f(a,3Gm))，故選項(xiàng)B正確；v＝eq\f(2πr,T)得v＝eq\r(\f(Gm,a))，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；向心加速度大小an＝eq\f(F,m)＝eq\f(\r(3)Gm,a2)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．6.(2023·四川廣安市二中模擬)2021年11月，中科院國家天文臺(tái)發(fā)布了目前世界上最大時(shí)域多星光譜星表，為科學(xué)家研究宇宙中的多星系統(tǒng)提供了關(guān)鍵數(shù)據(jù)支持．已知宇宙中存在著由四顆星組成的孤立星系，一顆母星處在正三角形的中心，三角形的頂點(diǎn)各有一個(gè)質(zhì)量相等的小星圍繞母星做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．如果兩顆小星間的萬有引力大小為F，母星與任意一顆小星間的萬有引力大小為6F，則下列說法中正確的是()A．母星受到的合力大小為(3eq\r(3)＋3)FB．每顆小星受到的合力大小為(eq\f(\r(3),2)＋6)FC．母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的eq\r(3)倍D．母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的2倍答案D解析母星與任意一顆小星間的萬有引力大小為6F，母星受到的三個(gè)萬有引力大小相等，夾角均為120°，故根據(jù)合成可知，母星受到的合力為零，故A錯(cuò)誤；根據(jù)受力分析可知，每顆小星受到其余兩顆小星和一顆母星的引力，其合力指向母星以提供向心力，即每顆小星受到的萬有引力為F′＝6F＋2Fcos30°＝(eq\r(3)＋6)F，故B錯(cuò)誤；假設(shè)每顆小星的質(zhì)量為m，母星的質(zhì)量為M，等邊三角形的邊長為a，則小星繞母星運(yùn)動(dòng)軌道半徑為r＝eq\f(\r(3),3)a，根據(jù)萬有引力定律，兩顆小星間的萬有引力為F＝Geq\f(mm,a2)，母星與任意一顆小星間的萬有引力為6F＝Geq\f(Mm,r2)，解得母星的質(zhì)量是每顆小星質(zhì)量的2倍，故D正確，C錯(cuò)誤．7．(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的由四顆星體組成的四星系統(tǒng)．若某個(gè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，忽略星體自轉(zhuǎn)，則可能存在如下運(yùn)動(dòng)形式：四顆星體分別位于邊長為L的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上(L遠(yuǎn)大于R)，在相互之間的萬有引力作用下，繞某一共同的圓心做角速度相同的圓周運(yùn)動(dòng)．已知引力常量為G，則關(guān)于此四星系統(tǒng)，下列說法正確的是()A．四顆星體做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑均為eq\f(L,2)B．四顆星體表面的重力加速度均為Geq\f(m,R2)C．四顆星體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為eq\f(Gm2,L2)(2eq\r(2)＋1)D．四顆星體做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度均為eq\r(\f(4＋\r(2)Gm,2L3))答案BD解析任意一顆星體在其他三顆星體的萬有引力的作用下，合力方向指向正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑均為r＝eq\f(\r(2),2)L，故A錯(cuò)誤；星體表面的物體受到的萬有引力等于它受到的重力，即Geq\f(mm′,R2)＝m′g，解得g＝eq\f(Gm,R2)，故B正確；由萬