8應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析1、應(yīng)力狀態(tài)的概念，2、平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分析，3、主平面是切應(yīng)力為零的平面，主應(yīng)力是作用于主平面上的正應(yīng)力。（1）過一點(diǎn)總存在三對相互垂直的主平面，對應(yīng)三個(gè)主應(yīng)力,主應(yīng)力排列規(guī)定按代數(shù)值由大到小為:最大切應(yīng)力為€最大切應(yīng)力為€>€>€123€—€?—1 3max22)任斜截面上的應(yīng)力€+€€—€€?―x y+—x ycos2…一,sin2……22xy€—€TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"?xysin2…+,cos2…

2 xy3）主應(yīng)力的大小€+€:€—€€ ?—x y+■(_x y)2+,2max 2 ' 2 xymin 1主平面的方位—2,tg2…? 0€—€xy4、主應(yīng)變(8(8+8xy—8)2+YYtg2申? xy8—8xy5、廣義胡克定律18?Q—pQ+€)]xEx yz

1，… [€一卩（€+€）]yEyzx，…[€—卩（€+€）]zEz x ytY:zx…一zxttY二Y…六yzGxyG6、應(yīng)力圓與單元體之間的對應(yīng)關(guān)系可總結(jié)為“點(diǎn)面對應(yīng)、轉(zhuǎn)向相同、夾角兩倍?！币花D解題范例■■圖8.1［解］(1)原始單元體要求其六個(gè)截面上的應(yīng)力應(yīng)已知或可利用公式直接計(jì)算，因此應(yīng)選取如下三對平面：A點(diǎn)左右側(cè)的橫截面，此對截面上的應(yīng)力可直接計(jì)算得到；與梁xy平面平行的一對平面，其中靠前的平面是自由表面，所以該對平面應(yīng)力均為零。再取A點(diǎn)偏上和偏下的一對與xz平行的平面。截取出的單元體如圖&1(d)所示。分析單元體各面上的應(yīng)力:A點(diǎn)偏右橫截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力如圖&1(b)、(c)所示，將A點(diǎn)的坐標(biāo)x、y代入正應(yīng)力和切應(yīng)力公式得A點(diǎn)單元體左右側(cè)面的應(yīng)力為:M€…~I~yz由切應(yīng)力互等定律知，單元體的上下面有切應(yīng)力t；前后邊面為自由表面，應(yīng)力為零。在單元體各面上畫上應(yīng)力，得到A點(diǎn)單元體如圖8.1(d)。8.2圖8.2(a)所示的單元體，試求(1)圖示斜截面上的應(yīng)力；(2)主方向和主應(yīng)力,畫出主單元體;(3)主切應(yīng)力作用平面的位置及該平面上的正應(yīng)力，并畫出該單元體。b-30。b-30。-50+100 -50Z102cos(-60。)-(-60)sin(-60。)?-64.5MPa2-30。2-50-100sin(-60。)+(-60)cos(-60。)?34.95MPa2）求主方向及主應(yīng)力_ 2,tan2a?_ 2,tan2a?— x—b-bxy-120-50-1000.82a?-38.66。a?-19.33。 a?70.67。12a?70.67。最大主應(yīng)力在第一象限中，對應(yīng)的角度為0? 。，主應(yīng)力的大小為—50+1°°+-50-100gs(2%70.67。)-(-60)sin(2x70.67。)?121.0MPa22b+b=b+ba2由a1 a2 xya2b?b+ba2 x y 1b?(b?b+ba2 x y 1因有一個(gè)為零的主應(yīng)力，因此b=b=—71.0MPa3(第三主方向a=-19.33€)3畫出主單元體如圖8.2（b）。3）主切應(yīng)力作用面的法線方向tan2a'?tan2a'?_50-100?1.25-1202a'?51.34。fafa?25.67。1fa?115.67。2主切應(yīng)力為—50—100t= sin(51.34。)+(—60)cos(51.34。)=—96.04MPa=，tTOC\o"1-5"\h\z€1 2€2此兩截面上的正應(yīng)力為—50+100 —50—100 .nAO\/ CUCNTma= + cos(51?34?)一(—60)sm(51?34?)=25.0MPa\o"CurrentDocument"€1‘ 2 2\o"CurrentDocument"a二—50+100+，50，100cos(231.34?)，(，60)sin(231.34?)二25.0MPa叮 2 2主切應(yīng)力單元體如圖8.2(c)所示。a+a二25.0+25.0二50MPa=a+a由€； a； X y，可以驗(yàn)證上述結(jié)果的正確性。試用圖形解析法，重解例8.2。［解］(1)畫應(yīng)力圓at建立比例尺，畫坐標(biāo)軸對圖8.2(a)所示單元體，在a，T平面上畫出代表ax、Tx的點(diǎn)A(-50,-60)和代表y的點(diǎn)B(100,60)。連接A、B,與水平軸a交于C點(diǎn)，以C點(diǎn)為圓心，CB(或CA)圖8.3(2)斜截面上的應(yīng)力在應(yīng)力圓上自A點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過60?，到達(dá)G點(diǎn)。G點(diǎn)在a、T坐標(biāo)系的坐標(biāo)即為該斜截面上的應(yīng)力，從應(yīng)力圓上可直接用比例尺測量或計(jì)算得到G點(diǎn)的水平和垂直坐標(biāo)值:aa=，64.5MPaTa=34.95MPa主方向、主應(yīng)力及主單元體圖8.3所示應(yīng)力圓圖上H點(diǎn)橫坐標(biāo)0H為第一主應(yīng)力，即€=OH=121.04MPa1K點(diǎn)的橫坐標(biāo)0K為第三主應(yīng)力，即€=OK=—71.04MPa32a由應(yīng)力圓圖上可以看出，由B點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過o為第一主方向，在單元體上則為由ya軸順時(shí)針轉(zhuǎn)ao，且2a二38.66?,a二19.33?oo應(yīng)力圓圖上由A順時(shí)針轉(zhuǎn)到K點(diǎn)(…ACK=3&66?)，則在單元體上由x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)過19-33?為第三主方向，畫出主單元體仍如圖&2(b)所示。主切應(yīng)力作用面的位置及其上的應(yīng)力圖&3所示應(yīng)力圓上N、P點(diǎn)分別表示主切應(yīng)力作用面的相對方位及其上的應(yīng)力。在應(yīng)力圓上由B到N,逆時(shí)針轉(zhuǎn)過51.34，單元體上Tmax作用面的外法線方向?yàn)橛蓎軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)過25.67?，且t =—t=CB=96.04MPamaxminTmax和Tmin作用面上的正應(yīng)力均為25MPa,主切應(yīng)力作用面的單元體仍如圖&2(C)所示。8.4如圖8.4所示兩端封閉的薄壁筒同時(shí)承受壓強(qiáng)p和外力矩m的作用。在圓筒表面a點(diǎn)用應(yīng)變儀測出與x軸分別成正負(fù)45。方向兩個(gè)微小線段ab和ac的的應(yīng)變e?=629.4X45?10-6,e°=—66.9X10-6,試求壓強(qiáng)P和外力矩m。已知薄壁筒的平均直徑d=200mm,厚-45度t=10mm,E=200GPa，泊松比卩=0.25。圖8.4［解］(1)a點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)，在a點(diǎn)取出如圖8.4(c)所示的原始單元體，其上應(yīng)力:

2m€=座,€=座,T2mx 4t y 2t x兀d2t(2)求圖8.4(c)斜單元體efgh各面上的正應(yīng)力:TOC\o"1-5"\h\z€…€ 3pd 2m€ =—xy?T= +——45 2 x8t 兀d21€+€ 3pd 2m€ =—x y+T= — -45 2 x8t 兀d2t(3)利用胡克定律，列出應(yīng)變w。、&。表達(dá)式w45w—45=丄(€w45w—45=丄(€iE45=丄(/E —45—口€—45—口€45)=丄<3Pd(1-卩)+iEL8t)=丄<3pd(i )-E8t如(1+卩)兀d2t少(1+G兀d2t將給定數(shù)據(jù)代入上式629.4“10—61629.4“10—61200x103”3xg-8 10x0.75+2mx106兀x2002x10、x1.25——66.9x10—61200x103”3x—66.9x10—61200x103-8 10 兀x2002x10得壓強(qiáng)和外力矩p=10MPa, m=35kNm8.5矩形截面簡支梁如圖8.5所示，已知梁的橫截面面積為A,截面慣性矩為I,材料亙A亙A(A) 1-卩圖8.5宜A(B)卩-19Ew?A(C)4(1-卩)4Ew?A(D)9(1-卩)答案：(A)人’習(xí)題解析8.1單元體最大正應(yīng)力面上的切應(yīng)力恒等于零嗎?［解］正確。因?yàn)樵谥髌矫嫔系恼龖?yīng)力°1是單元體各截面上正應(yīng)力的極值（可以為最大值），而主平面上切應(yīng)力為零。單元體最大切應(yīng)力面上的正應(yīng)力恒等于零,對嗎?［解］不正確。三向應(yīng)力狀態(tài)下單元體有3個(gè)主應(yīng)力，而最大切應(yīng)力由€1€3決定，即：€，€T=―1 3max 2若一單元體中兩個(gè)面上切應(yīng)力數(shù)值相等,符號相反,則該兩平面必定相互垂直,這種說法對嗎?［解］正確。由切應(yīng)力雙生互等定理知，若切應(yīng)力數(shù)值上T1=T2，符號相反時(shí)，該兩平面必定相互垂直。圖8.6直徑d=20mm、L=2m的圓截面桿，受力如圖8.7。試?yán)L桿件中A點(diǎn)和B點(diǎn)的單元體受力圖，算出單元體上的應(yīng)力的數(shù)值，并確定這些點(diǎn)是否為危險(xiǎn)點(diǎn)。（a） （b）（c）圖8.7［解］以下圖8.8為圖8.7各單元體受力圖：(a)(c)(a)(c)(d)圖8.8應(yīng)力計(jì)算:圖（a）的A點(diǎn)：€=N=-63.69MPA a80€= =50.96MP(b)的A點(diǎn):16d3(c)的A點(diǎn):◎=N=127.38MPAB點(diǎn):a=Na=N=127.38MPA a80€= =50.96MPd316(d)中A點(diǎn)(壓應(yīng)力):Ma=——WMa=——Wz20x103…3.14…(20x10?3)3=25.48MPaB點(diǎn):€=QSIb€=QSIbz=4Q=0.17MP3A中的A為危險(xiǎn)點(diǎn)，(c)中的A、B為危險(xiǎn)點(diǎn)，(d)中的A,B點(diǎn)均為危險(xiǎn)點(diǎn)，相比之下A點(diǎn)的應(yīng)力較大。&5已知應(yīng)力狀態(tài)如圖8.9所示(應(yīng)力單位:MPa)。試用圖解法求:(a)、(b)中指定斜截面上的應(yīng)力;并用解析法校核之;(c)、(d)、(e)上主應(yīng)力的大小與方向，在單元體上畫出主平面的位置，求最大切應(yīng)力。(a)300斜截面單元本；(b)450斜截面單元體；(c)純切應(yīng)力單元體；(d)壓拉切單元體(e)拉壓切單元體。［解］(a)按比例畫出應(yīng)力圓如下圖，可得a=30o的斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為E點(diǎn)的坐標(biāo)為T，標(biāo)為T，8.5MPG+GG-GgG+GG-Gg=—記+— ycos2?-tsin2?，? 2 2 x 23，5運(yùn)，8.5MP2 aG—G.c c 50-30T，— ysin2?+tcos2?，一? 2 x 2(b)用比例畫出應(yīng)力圓,E點(diǎn)的坐標(biāo)為30…50502^cos60，45MP2 ag，g，5MP45€ at，25MP45€ aQ—Q——Q—Q——x 2yC0S2€—TxSin2€?￥，50COS90—20Sin90?5MPaTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Q—Q 50?— 片sin2€+tcos2€? -sin90?25MP€ 2 x 2 a應(yīng)力圓如下圖，與。軸的交點(diǎn)即為主應(yīng)力的對應(yīng)點(diǎn)，從應(yīng)力圓上可按比例直接量得兩個(gè)主應(yīng)力之值分別為：q?OA?50MP,q?0,q?OA?—50MP1 1 a2 3 2 a主平面的方位可由應(yīng)力圓上量得，因2^?ZDOA?—9011O最大主應(yīng)力作用面與x平面之夾角為(從D1到A1是順時(shí)針轉(zhuǎn)的):申?—45Q—Q最大切力；t?i3?50MPmax 2 a力之值分別為：€=OA=70MPTOC\o"1-5"\h\z1 a€=OA=30MP,€=02 a3最大主應(yīng)力作用面與x平面之夾角為（可由應(yīng)力圓上得）:2,=ZFCA=?90 ,=-45最大切力… =CF=20MP\o"CurrentDocument"max a（e）應(yīng)力圓與。軸的交點(diǎn)即為主應(yīng)力的對應(yīng)點(diǎn)，從應(yīng)力圓上可按比例直接量得兩個(gè)主應(yīng)力之值分別為€=OA=44.7MP€= =—44.7MP\o"CurrentDocument"1 1 a3 2 a主平面的方位，可由應(yīng)力圓上量得：2,=—26.5 ,=—13.2。 。（對應(yīng)于主應(yīng)力。1所在主平面）最大切力…=40MPmax a圖8.10［解］(l)(a)屬于單向拉應(yīng)力狀態(tài)；(b)屬于雙向拉應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài))；(c)屬于雙向拉剪應(yīng)力狀態(tài)；(d)屬于純剪應(yīng)力狀態(tài)；(e)屬于雙向拉應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài)).8.7用直角應(yīng)變花測得構(gòu)件表面上一點(diǎn)處三個(gè)方向的線應(yīng)變分別為&『=700X10-6,e0=350X10-6,eo=-5OOX10-6，試作應(yīng)變圓，求該點(diǎn)處的主應(yīng)變數(shù)值和方向。45 90€,€,€［解］選比例尺如圖8.11(b)所示，繪出縱坐標(biāo)軸，并根據(jù)已知的//u值分別作出平行于該軸的直線La,Lb和比,過Lb線上任一點(diǎn)B,作與Lb線成順時(shí)針方向45°角的BA線，交La線于A點(diǎn)，作與Lb線成逆時(shí)針轉(zhuǎn)向45°角的BC線交Lc線于C點(diǎn)。作BA與BC兩線的垂直的平分線，相交于°1點(diǎn)，過。點(diǎn)作橫坐標(biāo)軸即e軸，并以O(shè)iA為半徑作圓,按上述比例尺量取些二者的交點(diǎn)D1，D2橫坐標(biāo)，即得：€=OD=800,10-6, €=OD=—600,10-61132再從應(yīng)變圓上量得：

8.8用直角應(yīng)變花測得構(gòu)件表面上某點(diǎn)處￡=+400X10-6,￡o=+26OX1O?￡。=-800 45 90X10-6,試求該點(diǎn)處三個(gè)應(yīng)變的數(shù)值和方向。［解］因€，€，400?10-6x0€，€，—80?10-6y90利用公式得…400?10…400?10-6—80?10-6(2?(400x10-6-260x10-6丄+(260x10-6+80x10-6>320?10-6+520?10-6，420x10-6++€y320x10-6-520x10-6=—100，10-6=28-C+8?=2,260,10-6—(400,-6-80,10-6?=200,10-6+8) 2,260+8) 2,260，10-6-(400,10-6-80,10-6?必丨=arctg =0.416400,10-6+80400,10-6+80,10-68-8

xy<=11.9°8?9用直角應(yīng)變花測得受力構(gòu)件表面上某點(diǎn)處的應(yīng)變值為,267X10-6,魯-570X10-6及￡90。=79X10-6,構(gòu)件材料為Q235鋼,E=2.1XUMPa,u=0.3。試?yán)脩?yīng)變圓求主應(yīng)變,再求出該點(diǎn)處主應(yīng)力的數(shù)值和方向。圖8.12［解］選比例尺和縱坐標(biāo)軸如圖8.12所示,已知8=0x 0。8=0,8=8,8=8X5y90u45o o先做La、Lb、Lc,過上的任一點(diǎn)作與Lb線成順時(shí)針轉(zhuǎn)向45度角的BA線，交La線于A點(diǎn);作與Lb線成逆時(shí)針轉(zhuǎn)向45度角的BC線交Lc線于C點(diǎn),作BA與BC線交線于C點(diǎn).作BA與BC兩線的垂直等分線,相交于01點(diǎn)作橫坐標(biāo)軸即軸?并以為半徑作圓，按上述比例

尺即此二者的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即得€，od，410xlO-611€，—od，-600x10-632根據(jù)虎克定律得:=(1+=(1+y)G-2卩)[?1—此+卩€xy，?1+0.3)xG-2x0.3)X，?1+0.3)xG-2x0.3)X<(1—03)x(—267x10-6)+03x79x10-6=-66MPa=(1+GQ-2卩)[(1-"€y訃x]2.1x105=(1+0.3)x(1—2x0.3r<(1-03)x79x10-6+03x(-267x10-6刀=-10MPa根據(jù)主應(yīng)變求主應(yīng)力:410x10-6，召[O1—0303]—600x10-6，丄[O3-0301]可解得:o，53MPa1o，—110MPa3根據(jù):可解得:t€76.5MPax2t2可解得:t€76.5MPax2ttg2,€— x——€— €2.73c—c —66+10xy,€350從X軸到主應(yīng)力◎i所在平面外法線，其角,是沿順時(shí)針轉(zhuǎn)向量取的。8.10圖&13示矩形截面簡支梁在集中載荷P作用下。(1)在A、B、C、D、E五點(diǎn)取單元體,定性分析這五點(diǎn)的應(yīng)力情況,并指出單元體屬于哪種應(yīng)力狀態(tài)。X10-4,(2)若測得圖示梁上D點(diǎn)在x及y方向上的正應(yīng)變?yōu)?=4.0X10X10-4,［解］1)C、D、E五點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖［解］1)C、D、E五點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖8.14所示，其中。A為壓應(yīng)力，oE均為拉應(yīng)力。A、B、D、E為平面應(yīng)力狀態(tài)，C為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。圖圖8.14(2)根據(jù)廣義虎克定律得y=(y=(1+JL2卩)Six]_ 2XXM—(1+0.3)(L-0.6)x[o.7x1.2+0.3x0.4)x10-4=24.6MPa,x_,x_(Z)G-2卩)E+陸xy2X>1O5 x(1