(完整版)高一數(shù)學(xué)函數(shù)的概念及表示方法

ComprehensiveTutoringOperationSystem姓名：教學(xué)內(nèi)容：函數(shù)與映射的概念及其函數(shù)的表示法教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)的概念；掌握區(qū)間、無窮大的概念，定義域的求法，映射的概念；能夠求解分式函數(shù)、根式函數(shù)的定義域；掌握求函數(shù)解析式的思想方法；了解象與原象的概念，會判斷一些簡單的對應(yīng)是否是映射，會求象或原象；結(jié)合簡單的圖示，了解一一映射的概念。教學(xué)重點(diǎn)：理解函數(shù)的概念，區(qū)間、無窮大的概念，定義域的求法，映射的概念。教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的概念，無窮大的概念，定義域的求法，映射的概念。一、函數(shù)的概念引入：初中的函數(shù)的定義是什么？初中學(xué)過哪些函數(shù)？對于設(shè)在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。將自變量x取值的集合叫做函數(shù)的定義域，和自變量x的值對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。這種用變量敘述的函數(shù)定義我們稱之為函數(shù)的傳統(tǒng)定義。初中已經(jīng)學(xué)過正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等。問題1：y=1（x∈R）是函數(shù)嗎？問題2：y=x與y=√x是同一函數(shù)嗎？二、講解新課（一）函數(shù)的有關(guān)概念設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。其中x叫自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)y=f(x)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。（二）區(qū)間的概念區(qū)間是指由兩個實(shí)數(shù)a、b（a<b）所確定的數(shù)集{x|x∈R，a≤x≤b}，記為[a,b]。開區(qū)間(a,b)表示{x|x∈R，a<x<b}，左閉右開區(qū)間[a,b)表示{x|x∈R，a≤x<b}，右閉左開區(qū)間(a,b]表示{x|x∈R，a<x≤b}。（三）無窮大的概念正無窮大：對于任意正實(shí)數(shù)M，總存在實(shí)數(shù)N，使得當(dāng)x>N時，有f(x)>M。負(fù)無窮大：對于任意負(fù)實(shí)數(shù)M，總存在實(shí)數(shù)N，使得當(dāng)x>N時，有f(x)<M。無窮大：正無窮大和負(fù)無窮大的統(tǒng)稱。（四）函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象是指由函數(shù)y=f(x)在直角坐標(biāo)系上所有點(diǎn)的集合。函數(shù)的圖象在直角坐標(biāo)系上的表現(xiàn)形式是一條曲線，曲線上的每個點(diǎn)(x,y)都滿足y=f(x)。在同一直角坐標(biāo)系中，若有兩個函數(shù)y=f1(x)和y=f2(x)，則它們的圖象在同一坐標(biāo)系中是兩條不同的曲線。（五）映射的概念映射是指集合A中每個元素x對應(yīng)集合B中唯一的元素y，用f(x)=y表示。集合A叫做定義域，集合B叫做值域。如果y=f(x)，則稱y是x的象，x是y的原象。如果對于集合A中的任意一個x，在集合B中都有唯一確定的y與它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的映射。（六）一一映射的概念如果映射f:A→B中，對于任意y∈B，都只有唯一的x∈A，使得f(x)=y，則稱f為從集合A到集合B的一一映射。一一映射也稱為雙射。函數(shù)的三要素包括定義域、值域和定義域到值域的對應(yīng)法則。對應(yīng)法則是函數(shù)的核心，它規(guī)定了x和y之間的某種關(guān)系。定義域是函數(shù)的重要組成部分，對應(yīng)法則相同而定義域不同的映射就是兩個不同的函數(shù)。一旦確定了定義域和對應(yīng)法則，值域就隨之確定。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，現(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)區(qū)間的概念和記號。在研究函數(shù)時，常常用到區(qū)間的概念，它是數(shù)學(xué)中常用的述語和符號。設(shè)a,b為實(shí)數(shù)且a<b，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b]；滿足不等式a<x<b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；滿足不等式a≤x<b或a<x≤b的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a，b)和(a，b]。這里的實(shí)數(shù)a和b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)。在數(shù)軸上，這些區(qū)間都可以用一條以a和b為端點(diǎn)的線段來表示，在圖中，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)。求函數(shù)定義域的基本方法是寫出使函數(shù)解析式有意義的所有實(shí)數(shù)組成的集合。根據(jù)函數(shù)的定義，所謂“給定一個函數(shù)”，就應(yīng)該指明這個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則，不指明這兩點(diǎn)是不能算給定了一個函數(shù)的。用解析式表示函數(shù)時，我們約定：如果不單獨(dú)指出函數(shù)的定義域是什么集合，那么函數(shù)的定義域就是能使這個式子有意義的所有實(shí)數(shù)x的集合。有這個約定，我們在用解析式給出函數(shù)的對應(yīng)法則的同時也就給定了定義域，而求函數(shù)的定義域就是在這個意義之下寫出使式子有意義的所有實(shí)數(shù)組成的集合。3.分段函數(shù)是指在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于不同的自變量x取值范圍，對應(yīng)的函數(shù)規(guī)則不同的函數(shù)。雖然這樣的函數(shù)看起來像是多個函數(shù)，但實(shí)際上它只是一個函數(shù)。4.復(fù)合函數(shù)是指將一個函數(shù)的輸出作為另一個函數(shù)的輸入，從而得到一個新的函數(shù)。例如，設(shè)f(x)=2x-3，g(x)=x^2+2，則f[g(x)]=2(x^2+2)-3=2x^2+1（或g[f(x)]=(2x-3)^2+2=4x^2-12x+11）就是一個復(fù)合函數(shù)。講解范例：例1：已知f(x)=π(x≥1)，求f[f[f(-1)]]。例2：已知f(x)=x^2-1，g(x)=x+1，求f[g(x)]。例3：求下列函數(shù)的定義域：①f(x)=3/(4-x)；②f(x)=1/(1+x^2)；③f(x)=2/(3x+7)；④f(x)=√(x-1)/(x+1)；⑤y=(x-2)/(x^2-3x)。例4：若函數(shù)y=ax^2-ax+4的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例5：已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1,1]，求函數(shù)y=f(x+1)·f(x-1)的定義域。在求解函數(shù)的解析式時，常見的情況有以下幾種：①若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；②若f(x)是分式，則函數(shù)的定義域是使分母不等于0的實(shí)數(shù)集；③若f(x)是二次根式，則函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合；④若f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實(shí)數(shù)集合；⑤若f(x)是由實(shí)際問題抽象出來的函數(shù)，則函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題。練習(xí)：1.設(shè)f(x)的定義域是[-3,2]，求函數(shù)f(x-2)的定義域。2.已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]=4x-1，求f(x)的解析式。3.若f(x+1)=x+2x，求函數(shù)f(x)。1.已知函數(shù)f(x)=x^2-x+3，求f(x+1)和f(1)。解：f(x+1)=(x+1)^2-(x+1)+3=x^2+2x+3，f(1)=1^2-1+3=3。2.已知函數(shù)f(x)=4x+3，g(x)=x^2，求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]。解：f[f(x)]=f(4x+3)=4(4x+3)+3=16x+15，f[g(x)]=f(x^2)=4(x^2)+3=4x^2+3，g[f(x)]=g(4x+3)=(4x+3)^2=16x^2+24x+9，g[g(x)]=g(x^2)=(x^2)^2=x^4。3.若f(x)=x/(1-x)，求f(x+1)。解：f(x+1)=(x+1)/(1-(x+1))=-(x+1)/x。三、函數(shù)-映射內(nèi)容分析：本節(jié)是在集合、簡易邏輯和函數(shù)的概念之后學(xué)習(xí)的。映射概念本身就屬于集合的知識。因此，要聯(lián)系前一章的內(nèi)容和函數(shù)的概念來學(xué)習(xí)本節(jié)。映射是兩個集合的元素與元素的對應(yīng)關(guān)系的一個基本概念。映射中涉及的“原象的集合A”、“象的集合B”以及“從集合A到集合B的對應(yīng)法則f”可以更廣泛地理解為集合A、B不僅僅是數(shù)集，還可以是點(diǎn)集、向量的集合等。本章主要是指數(shù)的集合。隨著內(nèi)容的增多和深入，可以逐漸加深對映射概念的理解。例如實(shí)數(shù)對與平面點(diǎn)集的對應(yīng)，曲線與方程的對應(yīng)等都是映射的例子。映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個基本概念。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：在初中我們已學(xué)過一些對應(yīng)的例子：①看電影時，電影票與座位之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系。②對任意實(shí)數(shù)a，數(shù)軸上都有唯一的一點(diǎn)A與之相對應(yīng)。③坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)A都有唯一的有序數(shù)對(x,y)和它對應(yīng)。④任意一個三角形，都有唯一的確定的面積與之相對應(yīng)。⑤高一（2）班的每一個學(xué)生與學(xué)號一一對應(yīng)。函數(shù)的概念：本節(jié)我們將學(xué)習(xí)一種特殊的對應(yīng)——映射。二、講解新課：看下面的例子：設(shè)A、B分別是兩個集合，為簡明起見，設(shè)A、B分別是兩個有限集。A：{1,4,9}，B：{1,2,3}，求平方。B：{1,2,3,4,5,6}，A：{1,2,3}，乘以2。A：{1,-1,2,-2,3,-3}，B：{1}，求開平方。A：{30,45,60,90}，B：{0,1}，求正弦。這四個對應(yīng)的共同特點(diǎn)是：對于左邊集合A中的任何一個元素，在右邊集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)。映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射。記作：f:A→B。象、原象：給定一個集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b存在對應(yīng)關(guān)系，則稱元素a在映射下的象為b，元素b在映射下的原象為a。隨著學(xué)習(xí)的深入，可以逐漸加深對映射概念的理解。映射是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個基本概念。1.設(shè)定集合A為大于2的自然數(shù)，集合B為自然數(shù)。函數(shù)f的定義域?yàn)榧螦，值域?yàn)榧螧，其中f(x)為小于x的最大質(zhì)數(shù)。2.給定集合A為自然數(shù)集合，集合B為{0,1}。函數(shù)f的定義域?yàn)榧螦，值域?yàn)榧螧，其中f(x)為x除以2的余數(shù)。3.給定集合A為整數(shù)集合，集合B為正整數(shù)集合。函數(shù)f的定義域?yàn)榧螦，值域?yàn)榧螧，其中f(x)為x的絕對值。4.設(shè)定集合A為{0,1,2,4}，集合B為{0,1,4,9,64}。函數(shù)f的定義域?yàn)榧螦，值域?yàn)榧螧，其中f(a→b)=(a-1)2。5.在從集合A到集合B的映射中，選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯誤。6.選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤，選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確。7.給定集合A為自然數(shù)集合，集合B為{m|m=2n-1,n∈N}。函數(shù)f的定義域?yàn)榧螦，值域?yàn)榧螧，其中f(x)=(2n+1)/(2x-1)。求f作用下，元素5和6的原象和象分別為9/11和11/13。2.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1的公共點(diǎn)數(shù)目是幾個？答案：1個或2個。解析：函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1的公共點(diǎn)數(shù)目，即為求解方程f(x)=y與x=1的交點(diǎn)個數(shù)。因?yàn)橹本€x=1與x軸垂直，所以當(dāng)f(1)存在時，交點(diǎn)個數(shù)為1個；當(dāng)f(1)不存在時，需要判斷f(x)在x=1的左右極限是否相等，相等則交點(diǎn)個數(shù)為1個，不相等則交點(diǎn)個數(shù)為2個。3.已知函數(shù)f(x)如下，若f(x)=3，則x的值是多少？f(x)={x+2(x≤-1);x^2(-1<x<2);2x(x≥2)}答案：x=√3或x=-√3。解析：當(dāng)f(x)=3時，需要分別解方程x+2=3、x^2=3、2x=3，得到x=-1、√3、3/2。但由于-1<x<2，所以只有x=√3符合條件。4.設(shè)函數(shù)f(x)如下，若f(a)>a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？f(x)={1/(x-1)(x≥1);2(x<1)}答案：a>2或a∈(1,2)。解析：當(dāng)f(a)>a時，需要分別討論a≥1和a<1的情況。當(dāng)a≥1時，f(a)>a轉(zhuǎn)化為1/(a-1)>a，解得a>2；當(dāng)a<1時，f(a)>a轉(zhuǎn)化為2>a，即a∈(1,2)。5.函數(shù)y=(x-4)/(x-2)的定義域是什么？答案：x≠2。解析：函數(shù)y=(x-4)/(x-2)的分母不能為0，即x-2≠0，解得x≠2。6.若二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象與x軸交于A(-2,0)，B(4,0)，且函數(shù)的最大值為9，則這個二次函數(shù)的表達(dá)式是什么？答案：y=-2x^2+2x+8。解析：由于函數(shù)的最大值為9，所以二次函數(shù)的對稱軸為x=1/2，即x=-b/(2a)=1/2，解得b=-2a。又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸交于A(-2,0)和B(4,0)，所以二次函數(shù)的根為-2和4，即a=1/8c，解得c=-64/3。將a、b、c代入二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=ax^2+bx+c中，得到y(tǒng)=-2x^2+2x+8。7.函數(shù)y=(x-1)/(x-x^2)的定義域是什么？答案：x∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)。解析：函數(shù)y=(x-1)/(x-x^2)的分母不能為0，即x(1-x)≠0，解得x∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)。8.函數(shù)f(x)=x^2+x-1的最小值是多少？答案：-3/4。解析：函數(shù)f(x)=x^2+x-1的最小值為f(-1/2)=-3/4。9.求函數(shù)f(x)=(x-1)/(x+1)的定義域。答案：x≠-1。解析：函數(shù)f(x)=(