一、選擇題1.（2018海南省，12，3分）如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB1C1，連接BC1，則BC1的長(zhǎng)為（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AC1=AC=6，∠CAC1=60°，∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°．在Rt△ABC1中，BC1=eq\r(82＋62)=10，故選擇C．【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理2.（2018山東省東營(yíng)市，8，3分）如圖所示圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是()A.B.C.D.【答案】C.【思路分析】將圓柱側(cè)面展開(kāi)得到一個(gè)矩形，可知螞蟻爬行的最短距離就是展開(kāi)圖中線段AB的長(zhǎng)。利用勾股定理可求?！窘忸}過(guò)程】將圓柱沿AB側(cè)面展開(kāi)，得到矩形如下：則有AB=3,BC=，在RT△ABC中，由勾股定理，得：AC===.故選C.【知識(shí)點(diǎn)】圓柱側(cè)面展形，勾股定理，最小值。4.（2018山東省東營(yíng)市，10，3分）如圖，點(diǎn)E在△DBC的邊DB上，點(diǎn)A在△DBC的內(nèi)部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE,AB=AC,給出下列結(jié)論：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④.其中正確的是（）A.①②③④B.②④C.①②④D.①③④【答案】A.【思路分析】由△ABD≌△ACE可證得①②③正確，再利用勾股定理和等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系可證得第④個(gè)也正確。【解題過(guò)程】∵∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE,AB=AC,∴∠DAE+∠EAB=∠CAB+∠EAB,∠ABC=∠ACB=45°，即：∠DAB=∠EAC∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC∴BD=EC,∠DBA=∠EAC，故①正確∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45°，故②正確∵∠ABC=45°，∴在△EBC中，∠EBA+∠ABC+∠ECB=90°，∴∠BEC=90°，即BD⊥CE,故③正確，∴在RT△BEC中，在RT△DEC中，∴==.∵RT△ABC與RT△ADE都是等腰直角三角形∴,,∴=,故④正確。故選A.【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形，等腰直角三角形，勾股定理。5.（2018四川樂(lè)山，7，3）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就，它的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用.書(shū)中記載：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”譯為：“今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸（ED=1寸），鋸道長(zhǎng)1尺（AB=1尺=10寸）”.問(wèn)這塊圓形木材的直徑是多少？”如圖3所示，請(qǐng)根據(jù)所學(xué)的知識(shí)計(jì)算：圓形木材的直徑AC是（）A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸圖3【答案】C【解析】本題主要考查圓的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是掌握和運(yùn)用垂徑定理和勾股定理.如圖，根據(jù)題意可知，ED=1寸，AB=1尺=10寸，∵OD⊥AB，∴AD=BD=5寸，不妨設(shè)⊙O的半徑為r，在△AOD中，，解得，∴圓形木材的直徑AC的長(zhǎng)為26寸，故答案為C.【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理6.（2018江蘇揚(yáng)州，7，3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【答案】C【解析】根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE，再結(jié)合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角對(duì)等邊即可得出BC=BE，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故選C．【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，余角，角平分線的定義以及等腰三角形的判定二、填空題1.（2018黑龍江省龍東地區(qū)，9，3分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，過(guò)點(diǎn)B的直線把△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中只有一個(gè)是等腰三角形．則這個(gè)等腰三角形的面積是________．【答案】或或．【思路分析】先畫(huà)出基本圖形△ABC，考慮到分割后的要求，所以用圓規(guī)幫助找等腰三角形的頂點(diǎn)．由于其中只有一個(gè)是等腰三角形，因此排除作AB或BC的垂直平分線．【解題過(guò)程】（1）如圖1，以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交AC于點(diǎn)D1，連接BD1，則△ABD1是等腰三角形，且△BCD1不是等腰三角形．作BE⊥AC，則AD1＝2AE．∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，∴BE＝＝，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝，∴AD1＝，∴＝AD1·BE＝＝．（2）如圖2，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交AC于點(diǎn)D2，連接BD2，則△ABD2是等腰三角形，且△BCD2不是等腰三角形．作BF⊥AC，同（1）理可得BF＝，又AD2＝AB＝3，∴＝AD2·BF＝＝．（3）如圖3，以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，交AC于點(diǎn)D3，連接BD3，則△ABD3是等腰三角形，且△BCD3不是等腰三角形．作BG⊥AC，∴＝CD3·BG＝＝．綜上，這個(gè)等腰三角形的面積是或或．圖1 圖2 圖3【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)與判定；三角形的面積公式；尺規(guī)作圖2.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上.（1）的大小為_(kāi)_________（度）；（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，是邊上任意一點(diǎn).為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于，把點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.當(dāng)最短時(shí)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出點(diǎn)，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）__________．【答案】(1).；(2).見(jiàn)解析【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解決問(wèn)題；（2）如圖，取格點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)；取格點(diǎn)，，連接交延長(zhǎng)線于點(diǎn)；取格點(diǎn)，連接交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求.詳解：（1）∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，∴AC=，BC=，AB=,∵∴∴ΔABC是直角三角形，且∠C=90°故答案為90；（2）如圖，即為所求.點(diǎn)睛：本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.3.（2018貴州銅仁，17，4）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D，E是邊AB上兩點(diǎn)，且CE所在直線垂直平分線段AD，CD平分∠BCE，BC=，則AB=.【答案】4，【解析】根據(jù)CE垂直平分AD，得AC=CD，再根據(jù)等腰三角形的三線合一得∠ACE=∠ECD，結(jié)合角平分線定義和∠ACB=90°，得∠ACE=∠ECD=∠BCD=30°，所以∠ACD=∠ADC=∠A=60°，∠B=∠BCD=30°，∴AD=AC=CD，BD=CD，∴AB=2AD=2AC，在Rt△ACB中，∠B=30°，BC=，∴AC=，∴AB=2AC=4.4.（2018江蘇徐州，15，3分）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點(diǎn)，若∠C＝55°，則∠ABD＝. 【答案】35°5.（2018黑龍江哈爾濱，19，3）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若△ABD為直角三角形，則∠ADC的度數(shù)為_(kāi)________________．【答案】90°或130°，【解析】情況1當(dāng)∠ADB＝90°時(shí)，∠ADC＝90°；情況2當(dāng)∠BAD＝90°時(shí)，∠ADC＝∠BAD＋∠B＝90°＋（180°－100°）÷2＝130°6.（2018湖北十堰，16，3分）如圖，Rt△ABC中，AB＝3，AC＝6EQ\R(,2)，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，則DA＋DE的最小值為．【答案】EQ\F(16,3)【解析】作A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接AA′，交BC于F，過(guò)A'作AE⊥AC于E，交BC于D，則AD＝A′D，此時(shí)AD＋DE的值最小，就是A'E的長(zhǎng)；（如答圖）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6EQ\R(,2)，∴BC＝EQ\R(,3\S(2)＋(6\R(,2))\s\up3(2))＝9，S△ABC＝EQ\F(1,2)AB?AC＝EQ\F(1,2)BC?AF，∴3×6EQ\R(,2)＝9AF，解得AF＝2EQ\R(,2)，∴AA'＝2AF＝4EQ\R(,2)，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴EQ\F(AA′,A′E)＝EQ\F(BC,AC)，即EQ\F(4\R(,2),A′E)＝EQ\F(9,6\R(,2))，∴A′E＝EQ\F(16,3)，即AD＋DE的最小值是EQ\F(16,3)；故答案為：EQ\F(16,3)．7.（2018云南，6，3分）在△ABC中，AB＝，AC＝5．若BC邊上的高等于3，則BC邊的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】1或9．【解析】設(shè)邊BC上的高為AD．當(dāng)邊BC上的高AD在△ABC的內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝＝5，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝＝＝4，所以BC＝5＋4＝9．在邊BC上的高AD在△ABC的外部時(shí)，如答圖2所示，同理BD＝5，CD＝4，所以BC＝5－4＝1．（第6題答圖1）（第6題答圖1）（第6題答圖2）三、解答題1.（2018湖北省江漢油田潛江天門(mén)仙桃市，24，10分）問(wèn)題：如圖①，在Rt△ABC中，ABAC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BC，DC，EC之間滿足的等量關(guān)系式為；探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，ABAC，ADAE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BC邊上，試探索線段AD，BD，CD之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；應(yīng)用：如圖③，在四邊形ABCD中，∠ABC∠ACB∠ADC45°．若BD9，CD3，求AD的長(zhǎng)．第24題圖第24題圖B圖②EACDC圖①ABDE圖③ABCD【思路分析】（1）BD與CD在同一條直線上，且由于旋轉(zhuǎn)使得AD和AE相等，且AB和AC相等，∴考慮三者是和的關(guān)系；（2）參考“問(wèn)題”中的方法，旋轉(zhuǎn)會(huì)出現(xiàn)全等三角形，∴考慮連接CE，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行探索；（3）圖形類(lèi)似，∴類(lèi)比前面的方法，設(shè)法構(gòu)造出類(lèi)似的圖形，則問(wèn)題得解．【解題過(guò)程】問(wèn)題：BC＝EC＋DC2分因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°．又∵AD⊥AE，∴∠EAD＝90°．∴∠EAD－∠CAD＝∠BAC－∠CAD．∴∠BAD＝∠CAE．又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABD≌△ACE．∴BD＝CE，∴BC＝EC＋DC．探索：線段AD，BD，CD之間滿足的關(guān)系是 BD2＋CD2＝2AD2．證明：如圖①，連接CE．∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．3分在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE．∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°．4分∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°．∴BD⊥CE．5分∵∠EAD＝90°，AE＝AD，∴ED＝AD．在△ECD中，ED2＝CE2＋CD2，∴BD2＋CD2＝2AD2．6分BB第24題答圖①EACD應(yīng)用：如圖②，作AE⊥AD于點(diǎn)A，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE．7分∵∠ABC＝∠AC