山西省長治市縣第一中學2022年高一數(shù)學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合,，，則（）．A．{0,1,2,3} B．{5} C．{1,2,4} D．{0,4,5}參考答案：D∵集合，∴,∴．故選．2.已知是常數(shù)，那么“”是“等式對任意恒成立”的（

）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】由輔助角公式結合條件得出、的值，由結合同角三角函數(shù)得出、的值，于此可得出結論.【詳解】由可得或，由輔助角公式，其中，.因此，“”是“等式對任意恒成立”的必要非充分條件，故選：B.【點睛】本題考查必要不充分條件的判斷，考查同角三角函數(shù)的基本關系以及輔助角公式的應用，考查推理能力，屬于中等題.3.集合，，，則（A） （B） （C） （D）參考答案：B略4.下列四個命題中正確的個數(shù)為（

）

①若，則的取值范圍是；②若不等式對滿足的所有實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是；③若正數(shù)滿足，則的取值范圍是；④若實數(shù)，且，則的最小值是4.A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：D5.某農貿市場出售的西紅柿，當價格上漲時，供給量相應增加，而需求量相應減少，具體調查結果如下表；

表1：市場供給表單價（元／kg）3.64供給量（1000kg）506070758090表2：市場需求表單價（元／kg）2.32需求量（1000kg）506065707580據(jù)以上提供的信息，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在區(qū)間（

）

A．（2.3，2.6）

B．（2.4，2.6）

C．（2.6，2.8）

D．（2.4，2.8）

參考答案：C6.已知全集，集合，下圖中陰影部分所表示的集合為(

)A．

B．C．

D．參考答案：B7. 已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)的值為

（

）． ． ． ．參考答案：C略8.如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是（

）A.（M∩P）∩S

B.（M∩P）∪SC.（M∩P）∩

D.（M∩P）∪

參考答案：C9.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，，則等于A.16

B.26

C.30

D.80

參考答案：C10.已知集合，則M的元素個數(shù)為（

）A．4

B．3

C．7

D．8參考答案：B由題意得：故選：B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設x，y滿足約束條件：；則z=x﹣2y的最大值為．參考答案：3略12.若函數(shù),在區(qū)間內恒有,則的單調遞增區(qū)間為

.參考答案：

13.直線3x+4y-12=0和6x+8y+6=0間的距離是

[來源:高&考%資(源#網(wǎng)wxcKS5U.COM]參考答案：314.設，則的值為__________．參考答案：15.已知，則

.參考答案：816.在四邊形ABCD中，已知AD⊥DC，AB⊥BC，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，則BD=

，AC=

．參考答案：，．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】由余弦定理求出BD，利用AC為直徑，根據(jù)正弦定理，即可求出．【解答】解：△ABD中，由余弦定理可得BD==∵AD⊥DC，AB⊥BC，∴A，B，C，D四點共圓，AC為直徑，∴AC==．故答案為：，．【點評】本題考查余弦定理、正弦定理的運用，考查學生的計算能力，比較基礎．17.已知a+a=5（a＞0，x∈R），則ax+a﹣x=．參考答案：23【考點】有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．【專題】函數(shù)的性質及應用．【分析】利用a的平方等于ax，所以只要將已知等式兩邊平方即可．【解答】解：由已知a+a=5得（a+a）2=25，展開得ax+a﹣x+2=25，所以ax+a﹣x=25﹣2=23；故答案為：23【點評】本題考查了冪的乘方的運用以及完全平方式的運用，關鍵是發(fā)現(xiàn)（a）2=ax，以及a×a=1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知圓C經過兩點，且圓心C在直線上．（1）求圓C的方程；（2）已知過點的直線與圓C相交截得的弦長為，求直線的方程；（3）已知點，在平面內是否存在異于點M的定點N，對于圓C上的任意動點Q，都有為定值?若存在求出定點N的坐標，若不存在說明理由．參考答案：（1）；（2）或；（3）見解析【分析】(1)設出圓的一般方程，代入三個條件解得答案.(2)將弦長轉化為圓心到直線的距離，利用點到直線的距離公式得到答案.(3)設出點利用兩點間距離公式得到比值關系，設為，最后利用方程與N無關得到關系式計算得到答案.【詳解】（1）因為圓經過兩點，且圓心在直線上設圓：所以，，所以，所以圓（2）當斜率不存在的時候，，弦長為，滿足題意當斜率存在的時候，設，即所以直線的方程為：或（3）設，且因為為定值，設化簡得：，與點位置無關，所以解得：或所以定點為【點睛】本題考查圓的方程,考查直線與圓的位置關系,考查阿斯圓內容.考查了多項式恒成立問題.考查學生的分析能力、數(shù)據(jù)分析能力.19.某投資公司投資甲、乙兩個項目所獲得的利潤分別是P（億元）和Q億元），它們與投資額t（億元）的關系有經驗公式其中，今該公司將5億元投資這兩個項目，其中對甲項目投資x（億元），投資這兩個項目所獲得的總利潤為y（億元），（1）求y關于x的解析式，（2）怎樣投資才能使總利潤最大，最大值為多少？.參考答案：(1)因為投資甲項目億元，所以投資乙項目為（億元，……………2分所以總利潤為∈[0，5]，；…4分（2）由（1）知，利潤∈[0，5]，；令，則，，…………6分所以=，…………………8分當即時，，則，甲項目投資億元，乙項目投資億元，總利潤的最大值是億元；…………10分當時，甲項目投資億元，乙項目不投資，總利潤的最大值是億元.………………12分20.（本小題滿分10分）已知函數(shù)，，為常數(shù)）一段圖象如圖所示．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標擴大為原來的4倍，得到函數(shù)的圖象．求函數(shù)的單調遞增區(qū)間．參考答案：（Ⅰ）由已知，，，因為，所以．由“五點法”作圖，，解得．所以函數(shù)的解析式為．

………6分（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到的函數(shù)解析式為，即．再將圖象上各點的橫坐標擴大為原來的4倍，得．由，得，故的單調遞增區(qū)間為，．

……10分21.（16分）已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+1）x+3（x∈R，a∈R）．（1）若a=1，寫出函數(shù)f（x）單調區(qū)間；（2）設函數(shù)g（x）=log2x，且x∈[，4]，若不等式f（g（x））≥恒成立，求a的取值范圍；（3）已知對任意的x∈（0，+∞）都有l(wèi)nx≤x﹣1成立，試利用這個條件證明：當a∈[﹣2，]時，不等式f（x）＞ln（x﹣1）2恒成立．參考答案：考點： 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質．專題： 函數(shù)的性質及應用．分析： （1）原函數(shù)化簡為f（x）=（x﹣1）2+2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質即可得到單調區(qū)間；（2）先求出g（x）的值域，原不等式可化為t2﹣（a+1）t+3≥，構造函數(shù)h（t），根據(jù)二次函數(shù)的性質分類討論，求出函數(shù)h（t）的最小值，再解不等式，即可得到答案；（3）分別根據(jù)當x＞1或0＜x＜1，充分利用所給的條件，根據(jù)判別式即可證明．解答： （1）當a=1時，f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，所以函數(shù)的單調減區(qū)間為（﹣∞，1），增區(qū)間為[1，+∞）．）（2）因為x∈[，4]，所以g（x）=log2x∈[﹣1，2]，設t=g（x）則∈[﹣1，2]，∴f（g（x））≥可化為t2﹣（a+1）t+3≥．令h（t）=t2﹣（a+1）t+3，其對稱軸為t=，①當≤﹣1，即a≤﹣3時，h（t）在[﹣1，2]上單調遞增，所以h（t）min=h（﹣1）=1+a+1+3=a+5，由a+5≥得a≥﹣7，所以﹣7≤a≤﹣3；

②當﹣1＜＜2即﹣3＜a＜3時，函數(shù)h（t）在（﹣1，）上遞減，在（，2）上遞增，所以h（t）min=h（）=﹣+3．由﹣+3≥，解得﹣5≤a≤1．所以﹣3＜a≤1．③當≥2，即a≥3時，函數(shù)h（t）在﹣1，2]遞減，所以h（t）min=h（2）=5﹣2a，由5﹣2a≥，得a≤，舍去．綜上：a∈[﹣7，1]．（3）?當x＞1時，ln（x﹣1）2=2ln（x﹣1），由題意x∈（0，+∞）都有l(wèi)nx≤x﹣1成立，可得x＞1時，2ln（x﹣1）≤2x﹣4，∴f（x）﹣（2x﹣4）=x2﹣（a+1）x+3﹣2x+4=x2﹣（a+3）x+7，當a∈[﹣2，]時，△=（a+3）2﹣28＜0恒成立，所以f（x）﹣（2x﹣4）＞0恒成立，即f（x）＞2x﹣4恒成立，所以f（x）＞ln（x﹣1）2恒成立．?當0＜x＜1時，ln（x﹣1）2=2ln（1﹣x），由題意可得2ln（1﹣x）≤﹣2x，f（x）﹣（﹣2x）=x2﹣（a﹣3）x+3，因為，△=（a﹣1）2﹣12，當當a∈[﹣2，]時，△＜0恒成立，所以f（x）﹣（﹣2x）＞0，即f（x）＞﹣2x恒成立，所以f（x）＞ln（x﹣1）2恒成立，綜上，f（x）＞ln（x﹣1）2恒成立．點評： 本題考查了函數(shù)的單調性，參數(shù)的取值范圍，不等式證明，關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，需要分類討論，運算過程大，屬于難題．22.已知直線l：，一個圓的圓心C在x軸上且該圓與y軸相切，該圓經過點．（1）求圓C