/第十四章 定義 MdxF(x,t)f1(x,M

fN(t)FxtFxF中不含時間變量t

F(x,yt

，G(y) 1 1dyG(y)定義 系的相空間是以1,xn

dxF(x)

nR，特別，當n2n{(x1Lxn|xixi(t)滿足(2),i1,L定義 )dtax dy(t)cx 當adbc0時，有續(xù)的奇點的集合。當adbc0時，(0,0)是這個系統(tǒng)定理 設F(x)是實解析函數(shù)，且x0系統(tǒng)（2）的奇點。若F(x)在點x0處) J( ) j4x0是（2）的奇點，稱x0是穩(wěn)定的，如果對于任意給定的0，存在一個0，使得如果|x(0)x0|，則|x(tx0|對所有的tx是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的，且lim|x(tx|0 t 這樣，如果當系統(tǒng)的初始狀態(tài)靠近于奇點，其軌線對所有的時間t仍然接近它，于定義5 定理 設xx(t)是系統(tǒng)（3）的通解。A的特征根中至少有一個根的實部是正的，則系統(tǒng)（3）的零解是不穩(wěn)定義 x0Jacobian矩陣是非奇異的，即detJx00Fx)x0Taylor，可將F(x)展開成F(x)AxO(|x|2)，其x x AM

f

nxn

定理3如果系統(tǒng)（4）的零解是漸近穩(wěn)定的，或不穩(wěn)定的，則原系統(tǒng)的零解也是c系統(tǒng)（3）Ac

d的行列式detA0的條件下，可知(0,0)ddet(AI)的根（特征根）定理 2pq 定理5設非線性系統(tǒng)dxaxby(x,中的和

axby(x,

存在常數(shù)0lim(x,y)lim(x,y)0（r r 的奇點O的類型相同，并有相同的穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性。

x(t) 1ert(NN0)/Nx(t成正比，比例系數(shù)k表示單位時間捕撈率，k可以進一步分解分解為kqEE稱為捕撈強度，用可以控制的參數(shù)如出海漁船數(shù)來捕撈量為hxEx(t。hx)常數(shù)，表示一個特定的捕撈策略，即要求捕魚者每天N

)

0，方程（7）x0xN(1E N益”可理解為產(chǎn)量hEx(thmaxmax

x(tEx(t)0 E的二次函數(shù)h(ENE(1 Emax2，最大持續(xù)產(chǎn)量為hmax

的收入T和支出S分別為Tph(x)pEx，SRTSpExEExx2N(1rRmaxR(E)pNE(1E)r

r(1c

N 2

(1max)

prN(1c 售價格p的增長而變小，這顯然是符合實際情況的。N&(t)rx(1x1N

11 1Nx&(t)rx(1x1

x2

12 1 112NNx&(t)r

x2

2

2 N11表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中，乙的消耗多于甲，對21可作相應的理解。一般來說，1,2之間沒有確定的關(guān)系，在此我們僅討論1,2相互獨立的情形。目的是研究兩個種群相互競爭的結(jié)局，即tx1(tx2(t10f(x,x)rx(1x1 2) 1

1 NNg(x,x)rx(1NN

x1x2)

2 4P(N,0)，P(0,N，PN1(11N2(12)，P(0,0 4 1 11 1或x&(t)0(i1,2)的區(qū)域。注意到，當rx(1x1 x2)0時x&(t)0，但i

1 NN NN1x&1(t01

N12N1

x1 x12 1 121

x2N12N1

N21 N21

x2 xN22N2N21 N21

x2

N21N2

x2N

（i）11,21，由圖（b）知，兩直線將平面x10,x20)

(t)&1 2N2NP1。綜合上述分析可以畫出軌線示意圖。因為直線（12）式上dx10，所以在（12）x軸；在（13）式上dx20，軌線方向平行于x1軸。x1t),x2t)趨向平衡點P1N1,0)。 D'Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無意中發(fā)現(xiàn)了第一次期間地中海各港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比1914～1923年期間，意大利阜姆港收購的3.l數(shù)量成正比，于是x1(t)滿足方程

成正比，于是x2(t)滿足

關(guān)系，是Volterra最簡單的模型。這個模型沒有引入競爭項。 x1tx2t的變化規(guī)律。容易得到方程（17）和（18）P(0,0),P(r2,r1 2 當然，平衡解P1(0,0)對我們來說是沒有意義的。這個方程組還有一族解x(tCer1tx(t0x(t0xCer2txx 17（1x1tx2t在以后一切時間tt0x1x20時，方程（17（18）的軌線是一階方程

x1(r11x2(xr2e2x1)(xr1e1x2) （17（18）1x1x20時，方程（20）證明我們首先來確定當x1x20(x)xr2e2 和(x)xr1 的性狀。利用微積分方法可以作出和若它們的極大值分別記作和x0、x0r r(x0)，x0 (x0)，x0

當c時，xx0，xx0，將式（21）（22）（19）式比較可知x0x0m cmm時(c0)軌線的形狀，我們只需考慮cm的情況，其0m。首先注意到：方程xr2e2x1具有一個解x1x'x0和另一個解 xx''x0xx'xx

11

)xr1e1x2 xr2e2x1 沒有解x。當xx'xx''時，這個方程具有唯一的解xx0x'

x'

(x

xxx'x

xx'xx'(xxx

當x1和x2是正數(shù)時，由（20）所定義的曲線都是封閉的。而且，這些封閉曲線中的每一條（除xx0和xx0以外，都不含（17）和（18）的任何平衡點。所以（17）和（18）的具有初始條件x1(0)0，x2(0)0的所有的解x1(t)，x2(t)都是時間的解x1(t)，x2 x1tTx1tx2tTx2t，其中T是某D'Ancona任何解x1(t)，x2(t)，須算出x1(t)和x2(t)的(tx2t引理 x1 1 T0x1(t)dt，x2T0x211xx0xx0x(tx(t)11 證明把（17）x1

x&x

rx 11Tx&1

dt1T

x T[r11x2010 Tx&1(t)dtlnx(T)lnx(0)0x1

x(t)dt1 rTT01 T r0 x1減少，而使得捕食者的總數(shù)以速率x2 x&(t)x1(r1x2)x1(r1)x1 x&(t)x(rx)x