第2章拉伸與壓縮主要內(nèi)容

截面法求內(nèi)力

應(yīng)力--應(yīng)變圖及其含義

材料的強度指標及塑性指標2.1材料力學(xué)的基本概念一、材料力學(xué)的任務(wù)和研究對象：生活和工程實踐中，人們常常會遇到材料力學(xué)問題，由此積累了豐富的感性認識。如：繩索承受拉力的能力與其粗細及材料性能有關(guān)；柱(受壓桿)以圓截面為宜，而梁以矩形截面為好，且應(yīng)豎放；磚、石抗壓能力強，竹抗拉能力強等。各種機器設(shè)備和工程結(jié)構(gòu)，都是由若干構(gòu)件，即組成結(jié)構(gòu)或機械的不能再拆卸的元件組成的。包括：☆化工容器與設(shè)備機械結(jié)構(gòu)土木結(jié)構(gòu)大跨度橋梁另外，諸如：航空航天結(jié)構(gòu)、化工結(jié)構(gòu)以及電器電子元件結(jié)構(gòu)，等等。工程結(jié)構(gòu)的組成部分統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)構(gòu)件(elementofstructure)，簡稱為構(gòu)件(element)，包括各種零件、部件、元件、器件，等等。為保證整個機器設(shè)備在外力作用下安全可靠地工作，它的每一個構(gòu)件都必須滿足以下三個基本要求：⑴足夠強度：構(gòu)件抵抗斷裂破壞的能力

(即具有足夠的強度)。⑵一定剛度：構(gòu)件抵抗變形的能力--足夠的剛度⑶足夠穩(wěn)定性：構(gòu)件保持原有直線平衡形式的能力(即具有足夠的穩(wěn)定性)。(圖所示)在工程實踐當(dāng)中，要保證結(jié)構(gòu)有足夠的承受能力，同時，又要為企業(yè)節(jié)約材料或降低成本，即安全與經(jīng)濟的最隹結(jié)合，必須通過力學(xué)的分析與計算，從而找到解決的辦法。故材料力學(xué)的任務(wù)就是：分析、計算構(gòu)件的強度、剛度和穩(wěn)定性，為正確解決安全與經(jīng)濟之間的矛盾提供必要的理論基礎(chǔ)。桿：空間一個方向的尺度遠大于其他兩個方向的尺度，這種彈性體稱為桿(bar)。二、構(gòu)件的幾何分類：板：空間一個方向的尺度遠小于其他兩個方向的尺度，且各處曲率均為零，這種彈性體稱為板(plate)。板殼：空間一個方向的尺度遠小于其他兩個方向的尺度，且至少有一向的曲率不為零，這種彈性體稱為殼(shell)。殼體：空間三個方向具有相同量級的尺度，這種彈性體稱為體(body)。體三、桿件的變形形式：1、桿件變形形式：軸向拉伸(axialstretching)剪切(cutting)扭轉(zhuǎn)(turnning)彎曲(bending)四、內(nèi)力和截面法1、外力：構(gòu)件以外的物體對構(gòu)件的作用力。如自重、相聯(lián)構(gòu)件傳來的力、支座反力、風(fēng)雪壓力、支座沉降、溫度影響等。2、內(nèi)力：構(gòu)件在外力的作用下產(chǎn)生變形的同時，其內(nèi)部各點均會發(fā)生相對位移。因而產(chǎn)生相互作用力，稱為內(nèi)力(internalforce)切割截面內(nèi)力隨外力變化而變化，但有一定限度，超過該限度，將會導(dǎo)致構(gòu)件的破壞。故研究變形與破壞，離不開討論內(nèi)力外力的關(guān)系，及內(nèi)力的確定及其限度。3、用截面法求內(nèi)力截面法：假想用一截面把桿件截分為二部分，任取一部分為研究對象，利用靜力平衡條件，求解內(nèi)力。

實質(zhì)是把內(nèi)在的東西暴露出來，即把內(nèi)力外力。(翻頁請看動畫)例：圖示桿件，求m-m截面內(nèi)力。PNPN’mmPP★內(nèi)力大小、方向未知，假定為拉力。同時內(nèi)力應(yīng)均勻、連續(xù)分布，用合力來代替，該合力即軸向力N。內(nèi)力N方向

(正負)的確定：PN4、軸力圖：說明：當(dāng)桿件受到多于兩個以上的軸向外力作用時，在桿不同位置的橫截面上的軸力往往不同。為形象而清晰地表示軸力沿軸線變化情況，用軸力圖表示。一坐標表示桿件橫截面位置，另一坐標表示相應(yīng)截面上的軸力的大小，正負各畫一側(cè)。該函數(shù)圖象稱軸力圖(normalforcediagram)。例2-1：圖示桿件，試計算桿各段軸力并作軸力圖。分段原則：以外力作用點（面）為分界線來分段。簡捷法求軸力：外力P正負的確定：思考：

如圖所示，一階梯桿受拉力P的作用，其截面1-1、2-2、和3-3上的內(nèi)力分別為N1、N2和N3，三者的關(guān)系為

。

dP4、內(nèi)力分類：對截面某一點所受的微內(nèi)力dP，可分解為二個分量：dNdV法向方向分量dN(微拉力或微壓力)切向方向分量dV(微剪力)截面上各點微內(nèi)力組成一個分布力系，對整個截面而言，分布內(nèi)力系的合力或合力偶矩，稱為截面的內(nèi)力。具體來看，內(nèi)力有以下四種：⑴軸力（normalforce)

N：分布內(nèi)力系的合力與桿件軸線相重合。N(翻頁請看動畫)⑵剪力(shearingforce)

Q：分布內(nèi)力系的相切于橫截面的合力。Q⑶彎矩(bendingforce)

M：分布內(nèi)力系垂直于橫截面的合力偶矩。M(翻頁請看動畫)⑷扭矩(torsionalmoment)

mn：分布的內(nèi)力系相切于橫截面的合力偶矩。mn(翻頁請看動畫)§2.2拉伸和壓縮一、直桿軸向拉伸或壓縮時橫截面上的應(yīng)力1、應(yīng)力的概念：單知內(nèi)力的大小，并不能判斷桿件強度是否足夠。例：兩根材料相同，粗細不等的直桿1，2，在相同的軸向拉力作用下:N1＝N2,但當(dāng)外力同等增大到一定程度時，由經(jīng)驗知，細桿必先斷。PPPP原因：內(nèi)力僅代表內(nèi)力系的總和，而不能表示截面上各點受力的強弱程度。兩桿軸力雖然相同，但是由于桿橫截面面積的大小不同，在兩桿橫截面上內(nèi)力分布的集度大小也不同。也即桿的強度取決于內(nèi)力在截面上各點的分布集度。引入應(yīng)力的概念——一點受力的強弱程度。2、截面上一點處的應(yīng)力：△P△T△N△A①平均應(yīng)力（meanstress)②一點處的應(yīng)力(stressatapointoncross-section)公式表明：應(yīng)力實際上是分布內(nèi)力在截面上某一點處的集中程度，即集度（intensity）。pAp△A應(yīng)力的兩個分量◆應(yīng)力是矢量，其單位為：Pa3、軸心受拉（壓）桿件橫截面上的應(yīng)力為了確定拉(壓)桿橫截面上的應(yīng)力，首先必須知道橫截面上內(nèi)力的分布規(guī)律，而內(nèi)力的分布規(guī)律與變形有關(guān)?，F(xiàn)取一等直桿，先在桿的表面劃出兩條垂直于軸線的橫向線ab和cd。當(dāng)桿受到拉力P作用后，可觀察到直線ab和cd仍垂直于軸線，只是分別平移到a’b’和c’d’位置。平面假設(shè)——桿件變形后橫截面仍保持為平面，且仍然垂直于桿的軸線。如果設(shè)想桿件由無數(shù)根縱向纖維所組成，根據(jù)平面假設(shè)可以推斷出兩平面之間所有縱向纖維的伸長相同，又因材料是均勻連續(xù)的，可知當(dāng)變形相同時，其受力也相等，因而可推知，在橫截面上的軸力是均勻分布的，如圖所示。由此可得，拉(壓)桿橫截面上各點應(yīng)力相等，方向與軸力一致，即式中：σ——橫截面上的正應(yīng)力；

N——橫截面上的軸力；

A——橫截面面積。上式即為桿件受軸向拉伸或壓縮時，橫截面上正應(yīng)力的計算公式。σ的符號與軸力N相同，當(dāng)軸力為正時，σ為拉應(yīng)力取正號；軸力為負時，σ為壓應(yīng)力，取負號。(翻頁請看動畫)二、構(gòu)件的強度條件1、許用應(yīng)力與安全系數(shù)：⑴、危險應(yīng)力：材料喪失正常工作能力時的應(yīng)力。

⑵、工作應(yīng)力：構(gòu)件在正常工作(或運轉(zhuǎn))狀態(tài)下的應(yīng)力，如⑶、許用應(yīng)力：為保證構(gòu)件安全工作，材料許可承擔(dān)的最大應(yīng)力值，

即是說材料還具有少量的強度儲備。用或表示。它是與材料有關(guān)的一個常數(shù)，不同的材料，其值也不同。三個應(yīng)力之間的關(guān)系可用如下圖形表示：0工作應(yīng)力范圍強度（安全）儲備空閑狀態(tài)已破壞許用應(yīng)力危險應(yīng)力2、強度條件：由于材料許用應(yīng)力是構(gòu)件實際工作應(yīng)力的最大限度值，因此，為了保證構(gòu)件安全可靠地工作，必須使構(gòu)件的最大工作應(yīng)力小于材料的許用應(yīng)力，即此式即為軸向拉壓桿的強度條件(或設(shè)計準則)。利用強度條件，可以進行以下幾方面的計算：強度校核(checkthestrength)當(dāng)外力、桿件各部分尺寸以及材料的許用應(yīng)力均為已知時，驗證危險截面的應(yīng)力強度是否滿足設(shè)計準則。截面設(shè)計(designthesection)當(dāng)外力及材料的許用應(yīng)力為已知時，根據(jù)設(shè)計準則設(shè)計桿件橫截面尺寸。確定許可載荷(calculatetheallowableload)當(dāng)桿件的橫截面尺寸以及材料的許用應(yīng)力為已知時，確定構(gòu)件或結(jié)構(gòu)所能承受的最大載荷。知：N、A、［］。驗證：知：N（或外載P）、［］。求：知：A、［］。求：［N］（或［P］）例2-2

圖示桁架的AB桿擬用d＝25mm的圓鋼，AC桿擬用木材。已知鋼材的[]=170MPa，木材的[]=10MPa。試校核AB桿的強度，并確定AC桿的橫截面面積。解：①取結(jié)點A求內(nèi)力②校核AB桿③確定AC桿橫截面面積例2-3

結(jié)構(gòu)尺寸及受力如圖(a)所示，設(shè)AB、CD均為剛體，BC和EF為圓截面鋼桿。鋼桿d=25mm，二桿材料均為Q235鋼，其許用應(yīng)力[]=160MPa。若已知載荷FP=39KN。試校核此結(jié)構(gòu)之強度是否安全。解：1、分析危險狀態(tài)AB、CD均為剛體，沒有強度問題。只有BC、EF，二桿直徑及材料均相同，故受力大的桿最危險。受力圖如圖(b)所示：得到可見桿EF受力最大，故其為危險桿。2、計算應(yīng)力桿EF橫截面上的應(yīng)力3、校核是否滿足設(shè)計準則可見，桿EF的強度是安全的，亦即整個結(jié)構(gòu)的強度是安全的。解：二桿材料相同，受力不同，故所需直徑不同。例2-4

上例中，若桿BC、EF的直徑均為未知，其它條件不變，其許用應(yīng)力[]=160MPa，載荷FP=39KN。試設(shè)計二桿所需的直徑。設(shè)桿BC、EF直徑分別為d1和d2，則由設(shè)計準則可以得到應(yīng)用上例中受力分析的結(jié)果，得到例2-5

例2-3中，若桿BC、EF的直徑均為d＝30mm，其許用應(yīng)力[]=160MPa，其它條件不變。試確定此時結(jié)構(gòu)所能承受的許可載荷[FP]=?解：根據(jù)例題2-3中的分析，桿EF為危險桿，由平衡方程得到其受力應(yīng)用設(shè)計準則：得到：有些拉、壓桿件，除強度應(yīng)足夠外，對變形也有限制。四、軸心拉壓桿的應(yīng)變與變形如圖所示液壓機立柱要求具有一定的剛度，因鍛壓時伸長量過大，會影響鍛件的精度。又如車床絲桿軸向變形偏大，將造成車削螺紋精度的降低。因此，必須研究拉、壓桿的變形。軸向拉壓桿的變形特點（請看動畫）㈠、縱向變形：設(shè)等直桿在軸向拉力P作用下，桿件長度由原長l

伸長到l1

＝l+△l，如圖動畫所示1、縱向絕對變形（直桿在軸線方向的伸長量）為：

2、縱向相對變形（縱向線應(yīng)變）ε為：㈡、橫向變形：1、絕對變形（直桿在橫線方向的變化量）為：

設(shè)等直桿在軸向拉力P作用下，桿件的原始橫向方向尺寸為d

,受力變形后縮小為d1，如圖示，則2、相對變形（橫向線應(yīng)變）為：

與軸向線應(yīng)變的正負號相反。試驗表明：同一種材料，在彈性變形范圍內(nèi)，橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比的絕對值為一常數(shù)，即㈢、泊松比：衡量縱橫變形關(guān)系，也稱橫向變形系數(shù)。因桿件軸向伸長時，其橫向縮短，而軸向壓縮（縮短）時，其橫向伸長，故與的符號總時相反的。所以與的關(guān)系可寫成：㈣、虎克定律：對工程中常用的材料，如低碳鋼、合金鋼等所做成的拉桿，由一系列實驗證明：在彈性范圍內(nèi)正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比例，即該式是英國科學(xué)家虎克（R.Hooke）在1678年首先發(fā)現(xiàn)的，故稱為虎克定律。E－材料的彈性模量，表示材料在拉伸(壓縮)時抵抗彈性變形的能力，是與材料有關(guān)的一常數(shù)，其值因材料而異，是通過實驗測定的。單位與應(yīng)力單位相同，常用單位為：GPa即：

這是虎克定律的另一種表達形式，同樣也適用于壓桿，但這時軸力為壓力，N

為負值，故求得的縮短△l

也帶有負值