第七章隨機(jī)變量及其分布

列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)復(fù)習(xí)引入1.線性回歸模型2.殘差平方和：3.最小二乘法請(qǐng)同學(xué)們回顧2×2列聯(lián)表的概念分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：2×2列聯(lián)表給出成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)n=a+b+c+db+da+c合計(jì)c+ddcX=1a+bbaX=0Y=1Y=0合計(jì)YX

課堂探究881771合計(jì)45738乙校（X=1）431033甲校（X=0）優(yōu)秀（Y=1）不優(yōu)秀（Y=0）合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)學(xué)校

課堂探究問(wèn)題.你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的？有可能“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來(lái)的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒(méi)有差別的.對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.獨(dú)立性檢驗(yàn)方法課堂探究提出零假設(shè)(原假設(shè))H0：分類變量X和Y獨(dú)立假定我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，在列聯(lián)表中，如果零假設(shè)H0成立，則應(yīng)滿足，即ad-bc≈0.因此|ad?bc|越小,說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越弱;|ad?bc|越大，說(shuō)明兩個(gè)分類變量之間關(guān)系越強(qiáng).

2=χ為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),基于上述分析,我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量用χ2取值的大小作為判斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時(shí)推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立。這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn).課堂探究KarlPearson（英）于1900年提出的卡方檢驗(yàn)是一種具有廣泛用途的統(tǒng)計(jì)方法。如果χ2較大，就推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立。課堂探究臨界值的定義：對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得P(x≥xα)=α成立，我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率值α越小，臨界值xα越大.χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.10.8287.8796.6353.8412.706xα0.0010.0050.010.050.1α

這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn)。課堂探究例1、（快問(wèn)快答）對(duì)于小概率值α，請(qǐng)說(shuō)出以下式子的統(tǒng)計(jì)意義。（1）（2）例題解析例2、依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)分析前一節(jié)中例1的抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異？例題解析解：零假設(shè)H0：分類變量X與Y相互獨(dú)立，即兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無(wú)差異。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即兩校的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率無(wú)差異。例題解析χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)基本步驟：1.確定小概率值α；2.提出零假設(shè)H0