充分條件與必要條件課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解真命題與推出符號的關(guān)系,領(lǐng)會符號語言的優(yōu)越性.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解充分條件、必要條件、充要條件的概念,掌握充分條件、必要條件、充要條件的判斷方法.(邏輯推理)3.掌握證明充要條件的一般方法.(邏輯推理)激趣誘思知識點撥著名童話《愛麗絲漫游奇境記》的作者,英國劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)講師卡洛爾曾提出如下趣題:如果已經(jīng)知道以下信息:①室內(nèi)所有有日期的信都是用藍紙寫的;②瑪麗寫的信都是以“親愛的”開頭的;③除了查理以外沒有人用黑墨水寫信;④我可以看到的信都沒有收藏起來;⑤只有一頁信紙的信中,沒有一封沒注明日期;⑥未作記號的信都是用黑墨水寫的;⑦用藍紙寫的信都收藏起來了;⑧一頁以上信紙的信中,沒有一封是做記號的;⑨以“親愛的”開頭的信,沒有一封是查理寫的.請判斷:我是否可以看瑪麗的信?結(jié)論是什么呢?學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容后,運用充分、必要條件的知識進行邏輯推理就容易判斷結(jié)果了.激趣誘思知識點撥知識點一、充分條件與必要條件一般地,“若p,則q”為真命題,就說p是q的充分條件,q是p的必要條件.名師點析

1.在邏輯推理中“p?q”的幾種說法(1)“如果p,那么q”為真命題.(2)p是q的充分條件.(3)q是p的必要條件.(4)p的必要條件是q.(5)q的充分條件是p.這五種說法表示的邏輯關(guān)系是一樣的,說法不同而已.激趣誘思知識點撥2.對充分條件的理解:(1)充分條件是某一個結(jié)論成立應(yīng)具備的條件,當(dāng)命題具備此條件時,就可以得出此結(jié)論或使此結(jié)論成立.(2)只要具備此條件就足夠了,當(dāng)命題不具備此條件時,結(jié)論也有可能成立,例如x=6?x2=36,但是,當(dāng)x≠6時,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分條件.3.對必要條件的理解:(1)必要條件是在充分條件的基礎(chǔ)上得出的,真命題的條件是結(jié)論成立的充分條件,但不一定是結(jié)論成立的必要條件;假命題的條件不是結(jié)論成立的充分條件,但有可能是結(jié)論成立的必要條件.(2)“p是q的必要條件”的理解:若有q,則必須有p;而具備了p,則不一定有q.激趣誘思知識點撥微思考(1)已知“若p,則q”為真命題,說明p與q之間有什么關(guān)系?提示:說明當(dāng)p成立時,一定能得出q成立.即由p通過推理可以得出q.這時我們就說,由p可以推出q,記作p?q.(2)類似地,如果“若p,則q”為假命題,說明p與q之間有什么關(guān)系?提示:說明由條件p不能推出結(jié)論q,記作p

q.微練習(xí)用“充分條件”和“必要條件”填空:(1)若p:x=-3,q:x2=9,則p是q的

,q是p的

.

(2)若p:兩個三角形面積相等,q:兩個三角形全等,則p是q的

,q是p的

.

答案:(1)充分條件

必要條件

(2)必要條件

充分條件激趣誘思知識點撥知識點二、充要條件如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,就記作p?q.此時,p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說p是q的充分必要條件,簡稱為充要條件.名師點析

1.對充要條件的兩點說明(1)p是q的充要條件意味著“p成立,則q一定成立;p不成立,則q一定不成立”.(2)p是q的充要條件,則q也是p的充要條件.激趣誘思知識點撥2.常見的四種條件與命題真假的關(guān)系如果有命題“若p,則q”和“若q,則p”,那么p與q的關(guān)系有以下四種情形:激趣誘思知識點撥微思考(1)我們知道,當(dāng)“x>1”成立時,能推出“x>0”.那么“x>0”的充分條件是否只能是“x>1”?提示:不是.使結(jié)論“x>0”成立的條件并不唯一,如“x>1.2”,“3<x≤4”等,有無數(shù)個.(2)由前面的知識,我們知道“x>0”是“x>1”的必要條件.那么“x>1”的必要條件是否只能是“x>0”?提示:不是.例如“x>1”還能推出“x>-1”“x≥”等,這些都是“x>1”成立的必要條件.激趣誘思知識點撥微練習(xí)實數(shù)a,b,c不全為0的一個充要條件是(

)A.實數(shù)a,b,c均不為0B.實數(shù)a,b,c中至多有一個為0C.實數(shù)a,b,c中至少有一個為0D.實數(shù)a,b,c中至少有一個不為0答案:D探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測充分條件、必要條件的判斷例1(1)判斷下列各題中,p是否是q的充分條件:①p:a∈Q,q:a∈R.②p:a<b,q:<1.③p:x>1,q:x2>1.④p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.⑤在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.⑥已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(2)判斷下列各題中,q是否是p的必要條件:①p:|x|=|y|,q:x=y.②p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.④p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.⑤p:a是自然數(shù),q:a是正整數(shù).分析(1)逐個判斷“若p,則q”是否為真命題.(2)逐個判斷“若p,則q”是否為真命題.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測解:(1)①由于Q?R,所以p?q,所以p是q的充分條件.因此p

q,所以p不是q的充分條件.③由x>1可以推出x2>1.因此p?q,所以p是q的充分條件.④設(shè)A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},則B?A.因此p

q,所以p不是q的充分條件.⑤由三角形中大角對大邊可知,若∠A>∠B,則BC>AC.因此,p?q,所以p是q的充分條件.⑥因為a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p?q,所以p是q的充分條件.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法:①確定誰是條件,誰是結(jié)論.②嘗試從條件推結(jié)論,若條件能推出結(jié)論,則條件為充分條件,否則就不是充分條件.③嘗試從結(jié)論推條件,若結(jié)論能推出條件,則條件為必要條件,否則就不是必要條件.(2)命題判斷法:①如果“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時q是p的必要條件.②如果“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時q也不是p的必要條件.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1(1)對任意實數(shù)a,b,c,在下列命題中,真命題是(

)A.“ac>bc”是“a>b”的必要條件B.“ac=bc”是“a=b”的必要條件C.“ac>bc”是“a>b”的充分條件D.“ac=bc”是“a=b”的充分條件(2)命題“已知n∈Z,若a=4n,則a是偶數(shù)”中,“a是偶數(shù)”是“a=4n”的

條件,“a=4n”是“a是偶數(shù)”的

條件(用“充分”或“必要”填空).

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(2)命題“已知n∈Z,若a=4n,則a是偶數(shù)”是真命題,所以“a是偶數(shù)”是“a=4n”的必要條件,“a=4n”是“a是偶數(shù)”的充分條件.答案:(1)B

(2)必要

充分探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測充分不必要條件、必要不充分條件的判斷例2用“充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要”填空.分析利用“若p,則q”,“若q,則p”的真假判斷.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測答案:(1)充分不必要

(2)既不充分也不必要

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

充分不必要條件、必要不充分條件的判斷方法(1)判斷p是q的什么條件,實際上是判斷“若p,則q”和“若q,則p”的真假,若“若p,則q”為真,“若q,則p”為假,則p為q的充分不必要條件;若“若p,則q”為假,“若q,則p”為真,則p為q的必要不充分條件;若“若p,則q”為真,“若q,則p”為真,則p為q的充要條件;若“若p,則q”,“若q,則p”均為假,則p為q的既不充分也不必要條件.(2)在判斷時注意反例法的應(yīng)用.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2判斷下列各題中,p是否為q的充要條件:①若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;②p:|x|>3,q:x2>9.解:①若a2+b2=0,則a=b=0,即p?q;若a=b=0,則a2+b2=0,即q?p,故p?q,所以p是q的充要條件.②由于p:|x|>3?q:x2>9,所以p是q的充要條件.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測充要條件的證明例3(1)求證:關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.(2)求證:方程f(x)=0有一根為1的充要條件是f(1)=0.分析從充分性和必要性兩個方面證明.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測證明:(1)充分性:因為a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一個根為1,所以a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一個根為1.必要性:因為方程ax2+bx+c=0有一個根為1,所以x=1滿足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一個根為1?a+b+c=0,從而a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一個根為1,因此方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(2)充分性:當(dāng)f(1)=0時,即x=1代入f(x)=0,等式成立,∴f(1)=0是f(x)=0的充分條件;必要性:當(dāng)f(x)=0有一根為1時,即(1,0)為y=f(x)與x軸的一個交點,∴f(1)=0,∴f(1)=0是f(x)=0的必要條件.綜上所述,方程f(x)=0有一根為1的充要條件是f(1)=0.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測反思感悟

充要條件的證明:(1)充要條件的證明問題,關(guān)鍵是理清題意,認(rèn)清條件與結(jié)論分別是什么.(2)證明p的充要條件是q,既要證明“p?q”為真,又要證明“q?p”為真,前者證明的是必要性,后者證明的是充分性.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測延伸探究

將本例(1)的條件“有一個根為1”改為“有一個正根和一個負(fù)根”,“a+b+c=0”改為“ac<0”,如何判斷?證明:充分性:因為ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0中有兩個不等實根,由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個根的積為

<0,所以方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根,所以ac<0?方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根.必要性:因為方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根,由根與系數(shù)關(guān)系可知這兩個根的積為

<0,所以ac<0,所以方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根?ac<0,從而ac<0?方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根,因此方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負(fù)根的充要條件是ac<0.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3求證:關(guān)于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0對于一切實數(shù)x都成立的充要條件是0<a<4.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測1.(2020北京高一期中)“x=2”是“x2=4”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件解析:由x2=4,解得x=±2,∴x=2是x2=4的充