離散型隨機變量的方差

高二數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第七章隨機變量及其分布學(xué)習(xí)目標1.理解取有限個值的離散型隨機變量方差及標準差的概念與意義;2.掌握方差的性質(zhì),能計算簡單離散型隨機變量的方差,并能解決一些簡單的實際問題;3.核心素養(yǎng):

數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算。1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)············數(shù)學(xué)期望是反映離散型隨機變量的平均水平一、回顧舊知3.樣本方差

叫做這組數(shù)據(jù)的方差.設(shè)在一組數(shù)據(jù)中,是它們是它們的平均數(shù),那么隨機變量的均值是一個重要的數(shù)字特征,它反映了隨機變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”因為隨機變量的取值圍繞其均值波動,而隨機變量的均值無法反映波動幅度的大小.

所以我們還需要尋找反映隨機變量取值波動大小的數(shù)字特征.如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平？因此只根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.二、探究新知1.問題2.從兩名同學(xué)中挑選出一名,甲、乙兩名同學(xué)擊中目標靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列為6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03兩個均值相等比較兩個圖形,哪一名同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定?

除平均中靶環(huán)數(shù)以外,還要考慮穩(wěn)定性,即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.乙同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定下圖分別是X和Y的概率分布圖.YP1098706XP10987062.思考:怎樣定量刻畫隨機變量的離散程度？(1).樣本的離散程度是用哪個量刻畫的？樣本方差(2).能否用一個與樣本方差類似的量來刻畫隨機變量的穩(wěn)定性呢？隨機變量X的方差3.離散型隨機變量方差設(shè)離散型隨機變量X

的概率分布為：我們稱為隨機變量X

的方差.············為隨機變量X

的標準差.有時也記為Var(X),

隨機變量的方差和標準差都是反映離散型隨機變量偏離于均值的平均程度的量,它們的值越小,則隨機變量偏離于均值的平均程度越小,即越集中于均值;方差或標準差越大,隨機變量的取值越分散.6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定下面用兩名同學(xué)射擊成績的的方差和標準差來刻畫他們射擊成績的穩(wěn)定性在方差計算中,利用下面的結(jié)論可以使計算簡化4.離散型隨機變量方差的性質(zhì)一般地,有下面的結(jié)論成立證明：解:拋擲散子所得點數(shù)X的分布列為P654321X1.例1.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求擲出的點數(shù)X的方差三、鞏固新知解:隨機變量X的分布列為1.例1.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求擲出的點數(shù)X的方差.已知隨機變量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D(X)和σ(X).

解：2.變式訓(xùn)練11173.變式訓(xùn)練24.例2.解：投資A,B兩種股票,每股收益的分布列如下表所示股票A收益的分布列股票B收益的分布列(1).投資那種股票的期望收益大?(2).投資那種股票的風(fēng)險較高?(1).股票A、B的投資收益的期望分別為(2).股票A、B的投資收益的方差分別為隨機變量的方差是一個重要的數(shù)字特征,它刻畫了隨機變量的取值與其均值的偏離程度,或者說反映隨機變量取值的離散程度.在不同的實際問題背景中,方差可以有不同的解釋

例如,如果隨機變量是某項技能的測試成績,那么方差的大小反映了技能的穩(wěn)定性;

如果隨機變量是加工某種產(chǎn)品的誤差,那么方差的大小反映了加工的精度;

如果隨機變量是風(fēng)險投資的收益,那么方差的大小大小反映了投資風(fēng)險的高低.解:5.變式訓(xùn)練3有10張卡片，其中8張標有數(shù)字2,2張標有數(shù)字5,從中隨機地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片所標數(shù)字之和為X，求E(X)和D(X).所有X的分布列為

P1296X

袋中有20個大小相同的球,其中標上0號的有10個,標上n號的有n個(其中n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取1個球,X表示所取球的標號.(1).求X的分布列、期望和方差;解:(1)X的分布列為6.變式訓(xùn)練4X01234P(2).若試求a,b的值.解得6.變式訓(xùn)練4

袋中有20個大小相同的球,其中標上0號的有10個,標上n號的有n個(其中n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取1個球,X表示所取球的標號.解:由(1)得四、課堂小結(jié)1.離散型隨機變量取值的方差、標準差3.求離散型隨機變量X的方差、標準差的一般步驟：①理解X的意義，寫出X可能取的全部值;②求