公式法第一課時(shí)用配方法解一元二次方程的步驟是：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1——兩邊同除以二次項(xiàng)的系數(shù)；（2）移項(xiàng)——將含有x的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；（3）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）將原方程變成

的形式；（5）判斷右邊代數(shù)式的符號(hào)，若

，可以直接開(kāi)方求解；若

，原方程無(wú)解。探究一：探索一元二次方程的求根公式活動(dòng)1復(fù)習(xí)舊知用配方法解下列方程：解：（3）方程無(wú)實(shí)數(shù)根（解）解：（4）移項(xiàng)得到6x2-7x=-1，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得到：配方得到寫成（x+m）2=n形式得到直接開(kāi)平方，得到可得探究一：探索一元二次方程的求根公式為什么有的方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？有的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根呢？當(dāng)被開(kāi)方數(shù)大于0的時(shí)候有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)被開(kāi)方數(shù)等于0的時(shí)候有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)被開(kāi)方數(shù)小于0的時(shí)候沒(méi)有實(shí)數(shù)根。探究一：探索一元二次方程的求根公式探究一：探索一元二次方程的求根公式活動(dòng)2以舊引新問(wèn)題1：你能用一般方法把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）轉(zhuǎn)化為（x+m）2=n的形式嗎？∵a≠0，方程兩邊都除以a，得移項(xiàng)，得配方，得即問(wèn)題2：當(dāng)b2_4ac≥0，且a≠0時(shí)，

大于等于零嗎？當(dāng)b2_4ac≥0時(shí)，因?yàn)閍≠0，說(shuō)以4a2＞0，從而得出

。問(wèn)題3：在問(wèn)題2的條件下直接開(kāi)平方，你得到了什么？探究一：探索一元二次方程的求根公式由問(wèn)題1，問(wèn)題2，問(wèn)題3，你能得出什么結(jié)論？探究二：證明一元二次方程的求根公式活動(dòng)1大膽猜想，探究新知。當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根為

，即。由以上研究結(jié)果得到了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：

，這個(gè)公式就稱為“求根公式”。利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲（1）求根公式

（b2-4ac≥0）是專指一元二次方程的求根公式，b2-4ac≥0是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）求根公式的重要條件。（2）用公式法（求根公式）解一元二次方程，實(shí)際上就是給出a、b、c的數(shù)值（或表示式），然后對(duì)代數(shù)式

進(jìn)行求值，由于這樣的計(jì)算比較復(fù)雜，所以要特別注意a、b、c的符號(hào)。注意：探究二：證明一元二次方程的求根公式重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲探究二：證明一元二次方程的求根公式活動(dòng)2集思廣益，探究一元二次方程解的情況。重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲當(dāng)b2-4ac≥0，方程有實(shí)數(shù)根，那么什么時(shí)候有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根？什么時(shí)候有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根？什么時(shí)候沒(méi)有實(shí)數(shù)根呢？，沒(méi)有實(shí)數(shù)根。，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；一般的，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母表示它，即。例1.下列一元二次方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（

）A.4x2﹣5x+2=0 B.x2﹣6x+9=0 C.5x2﹣4x﹣1=0 D.3x2﹣4x+1=0探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況活動(dòng)1用根的判別式判斷方程解的個(gè)數(shù)重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲解：A∵Δ=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；B∵Δ=36﹣4×1×9=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；C∵Δ=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；D∵Δ=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。A解：A.Δ=（-1）2﹣4×1×（-1）=5＞0，則方程有實(shí)數(shù)根。B.Δ=1﹣4×1×1=﹣3＜0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根。C.Δ=36﹣4×1×10=﹣4＜0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根。D.Δ=2﹣4×1×1=﹣2＜0，則方程無(wú)實(shí)數(shù)根。練習(xí)1.下列方程有實(shí)數(shù)根的是（）A.x2﹣x﹣1=0 B.x2+x+1=0 C.x2﹣6x+10=0 D.x2﹣x+1=0A探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情況是（

）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根解：∵a=1，b=﹣4，c=4，∴Δ=16﹣16=0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。C探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)2.已知關(guān)于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列說(shuō)法正確的是（

）A.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

B.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根

D.無(wú)法確定解：∵Δ=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。B探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例3.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0，不論m為何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍。解：由題意有Δ=（2m﹣1）2﹣4m2≥0解得∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是【思路點(diǎn)撥】若一元二次方程有兩實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍。活動(dòng)2用根的判別式根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)判斷系數(shù)探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)3.（1）若關(guān)于x的方程

x2+x﹣a+=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.a≥2 B.a≤2 C.a＞2 D.a＜2解：根據(jù)題意得Δ=12﹣4（﹣a+）＞0，解得

a＞2。C探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)3.（2）若關(guān)于x的方程

有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（

）A.k≥0 B.k＞0C. D.∴Δ=b2﹣4ac=（﹣3）2+4=9k+4≥0，解得：又∵方程中含有∴

k≥0。解：∵原方程有實(shí)數(shù)根，【思路點(diǎn)撥】若一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ=b2﹣4ac≥0，建立關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍。還要根據(jù)二次根式的意義可知

k≥0，然后確定最后k的取值范圍。A探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例4.一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A.k＞2 B.k＜2且k≠1 C.k＜2D.k＞2且k≠1解：由題可知Δ=b2﹣4ac=22﹣4×（1﹣k）×（﹣1）＞0，解得k＜2，∵（1﹣k）是二次項(xiàng)系數(shù)，不能為0，∴k≠1且k＜2。B【思路點(diǎn)拔】在與一元二次方程有關(guān)的求值問(wèn)題中，必須滿足下列條件：（1）二次項(xiàng)系數(shù)不為零；（2）在有不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)必須滿足Δ=b2﹣4ac＞0。探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)4.已知關(guān)于x的方程kx2﹣3x+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（

）A.B.k＜C.k＜且

k≠0D.

且k≠0【思路點(diǎn)拔】讓?duì)?b2﹣4ac≥0，且二次項(xiàng)的系數(shù)不為0保證此方程為一元二次方程。解：由題意得：9﹣4k×2≥0；k≠0，∴且k≠0D探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲活動(dòng)3根的判別式的綜合運(yùn)用探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例5.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）0可能是方程的一個(gè)根嗎？若是，請(qǐng)求出它的另一個(gè)根；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）∵Δ=[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）=4k2﹣8k+4﹣4k2+4=﹣8k+8，又∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴﹣8k+8＞0，解得k＜1，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是

k＜1；解：

（2）假設(shè)0是方程的一個(gè)根，則代入原方程得02+2（k﹣1）?0+k2﹣1=0，解得k=﹣1或k=1（舍去），即當(dāng)k=﹣1時(shí)，0就為原方程的一個(gè)根，此時(shí)原方程變?yōu)閤2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，所以它的另一個(gè)根是4。【思路點(diǎn)撥】（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必須滿足Δ=b2﹣4ac＞0，由此可以得到關(guān)于k的不等式，然后解不等式即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）利用假設(shè)的方法，求出它的另一個(gè)根。（2）0可能是方程的一個(gè)根嗎？若是，請(qǐng)求出它的另一個(gè)根；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)5.閱讀材料并回答問(wèn)題。求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）。解：ax2+bx+c=0，∵a≠0，第一步移項(xiàng)得：第二步，得兩邊同時(shí)加上第三步整理得：，直接開(kāi)平方得第四步第五步上述解題過(guò)程是否有錯(cuò)誤？若有，說(shuō)明在第幾步，指明產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，寫出正確的過(guò)程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明上述解題過(guò)程所用的方法。探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲解：有錯(cuò)誤，在第四步。錯(cuò)誤的原因是在開(kāi)方時(shí)對(duì)b2﹣4ac的值是否是非負(fù)數(shù)沒(méi)有進(jìn)行討論。正確步驟為：①當(dāng)b2﹣4ac≥0時(shí)，②當(dāng)b2﹣4ac＜0時(shí)，原方程無(wú)解?！舅悸伏c(diǎn)拔】①檢查原題中的解題過(guò)程是否有誤：在第四步時(shí)，在開(kāi)方時(shí)對(duì)b2﹣4ac的值是否是非負(fù)數(shù)沒(méi)有進(jìn)行討論；②更正：分類討論b2﹣4ac≥0和b2﹣4ac＜0時(shí)，原方程根的情況。探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例6.設(shè)m為整數(shù)，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求m的值及方程的根。解：解方程

x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0，得∵原方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，∴2m+1為完全平方數(shù)，又∵m為整數(shù)，且4＜m＜40，2m+1為奇數(shù)完全平方數(shù)，∴2m+1=25或49，解得m=12或24?！喈?dāng)m=12時(shí)，當(dāng)m=24時(shí)，探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)6.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2。

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）當(dāng)x12﹣x22=0時(shí)，求m的值。∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是

。解：（1）由題意有Δ=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得（2）由兩根關(guān)系，得

x1+x2=﹣（2m﹣1），x1?x2=m2，

由

x12﹣x22=0得（x1+x2）（x1﹣x2）=0，

若

x1+x2=0，即﹣（2m﹣1）=0，解得若

x1﹣x2=0，即

x1=x2

，∴Δ=0，解得故當(dāng)x12﹣x22=0時(shí)，

。（舍去）（成立）探究三：利用一元二次方程根的判別式判斷方程解的情況重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲知識(shí)梳理1.本節(jié)課通過(guò)配方法求解一般形式的一元二次方程的根，推出了一元二次方程的求根公式，并按照公式法的步驟解一元二次方程。2.求根公式是一元二次方程的專用公式，只有在確定方程是一元二次方程時(shí)才能使用，同時(shí)，求根公式也適用于解任何一元二次方程，是常用而重要的一元二次方程的萬(wàn)能求根公式。重難點(diǎn)歸納（1）用求根公式解方程的一般步驟：1.把方程化成一般形式，并寫出a，b，c的值。2.求出b2-4ac的值。3.代入求根公式：

（a≠0，

b2-4ac≥0）4.寫出方程的解：

x1=？，

x2=？（2）公式法解一元二次方程的前提：b2-4ac≥0重難點(diǎn)歸納（3），沒(méi)有實(shí)數(shù)根；，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根。公式法第二課時(shí)（1）用求根公式解方程的一般步驟：1.把方程化成一般形式，并寫出a，b，c的值。2.求出b2-4ac的值。3.代入求根公式：

（a≠0，

b2-4ac≥0）4.寫出方程的解：

，

（2）一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母表示，即。探究：利用公式法解一元二次方程活動(dòng)1用求根公式解簡(jiǎn)單的一元二次方程即：重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例1.用公式法解下列方程2x2+x-6=0解：因?yàn)閍=2，b=1，c=-6b2-4ac=12-4×2×（-6）=1+48=49所以練習(xí)1.5x2-4x-12=0。即：解：因?yàn)閍=5，b=-4，c=-12b2-4ac=256所以探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例2.用公式法解一元二次方程

x2+4x=2解：

將方程化為一般形式，得

x2+4x-2=0因?yàn)?/p>

b2-4ac=24即：所以探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)2.用公式法解方程4x2+4x+10=1-8x解：整理，得4x2+12x+9=0因?yàn)閎2-4ac=0即：所以探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲解：Δ=b2-4ac=25-8=17探究：利用公式法解一元二次方程活動(dòng)2用求根公式解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例3.用公式法解方程：解：Δ=b2-4ac=20-8=12練習(xí)3.用公式法解方程：探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例4.解關(guān)于x的一元二次方程

x2+kx-3=0?！舅悸伏c(diǎn)撥】先由根的判別式Δ=b2-4ac≥0判斷是否有解，再用求根公式求出方程的解。解：由題意得：探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)4.解關(guān)于x的一元二次方程3x2+6x+k=0。解：由題意得：探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲探究：利用公式法解一元二次方程活動(dòng)3公式法解一元二次方程的綜合運(yùn)用重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例5.如果a、b都是正實(shí)數(shù)，且

，那么（）A.B.C.D.去分母后整理得：a2+ab-b2=0，∵a、b都是正實(shí)數(shù)解：C例5.如果a、b都是正實(shí)數(shù)，且

，那么（）A.B.C.D.C【思路點(diǎn)拔】整理原式后得到a2+ab-b2=0，把b當(dāng)作已知數(shù)，先求出a的值，再代入求出即可。探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲練習(xí)5.已知

x2-x-1=0，求：（1）求x的值。

（2）求

的值。解：（1）x2-x-1=0，b2-4ac=（-1）2-4×1×（-1）=5，探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲解：

（2）x2-x-1=0，

x2=x+1，x4=（x2）2=（x+1）2=x2+2x+1=x+1+2x+1=3x+2，x5=x（3x+2）=3x2+2x=3（x+1）+2x=5x+3，2x2=2（x+1）=2x+2，練習(xí)5.已知

x2-x-1=0，求：（1）求x的值。

（2）求

的值。探究：利用公式法解一元二次方程重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲例6.已知a是一元二次方程

x2-4x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的根。

①求a2-4a+2012的值；

②化簡(jiǎn)求值

?！舅悸伏c(diǎn)撥】①根據(jù)一元二次方程解的定義，將x=a代入原方程，即可求得a2-4a的值；然后將a2-4a整體代入所求的代數(shù)