吉林省長春市德惠第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角為（）A．120° B．150° C．60° D．30°參考答案：A【考點】直線的傾斜角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的求值；直線與圓．【分析】設(shè)經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角為θ，利用斜率計算公式可得：tanθ=，解出即可得出．【解答】解：設(shè)經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角為θ，則tanθ==﹣，∵θ∈[0°，180°），∴θ=120°．故選：A．【點評】本題考查了直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知函數(shù)，則=(

)A.

2011

B.

8

C.

0

D.

2參考答案：B3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A、B兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表：

甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)A、B兩變量有更強的線性相關(guān)性A．甲

B．乙

C．丙

D．丁參考答案：D4.如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16，則x，y的值分別為（）A．18，6 B．8，16 C．8，6 D．18，16參考答案：C【考點】莖葉圖．【分析】利用中位數(shù)、平均數(shù)計算公式求解．【解答】解：由莖葉圖知，甲組數(shù)據(jù)為：9，12，10+x，24，27，∵甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為18，∴5（9+12+10+x+24+27）=90，解得y=8．∵甲組數(shù)據(jù)為：9，15，10+y，18，24，乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為16∴10+y=16，解得y=6．故選：C．5.正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】MI：直線與平面所成的角；MK：點、線、面間的距離計算．【分析】正方體上下底面中心的連線平行于BB1，上下底面中心的連線與平面ACD1所成角，即為BB1與平面ACD1所成角，直角三角形中，利用邊角關(guān)系求出此角的余弦值．【解答】解：如圖，設(shè)上下底面的中心分別為O1，O，設(shè)正方體的棱長等于1，則O1O與平面ACD1所成角就是BB1與平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故選D．6.已知y=f(x)是R上的減函數(shù),且y=f(x)的圖象經(jīng)過點A(0,1)和點B(3,－1),則不等式<1的解集為()

A.(－1,2)B.(0,3)C.(－∞,－2)D.(－∞,3)參考答案：解析：由已知條件得f(0)=1,f(3)=－1,

∴(※)

又f(x)在R上為減函數(shù).∴由(※)得0<x+1<3－1<x<2故應(yīng)選A.7.由數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字且奇偶數(shù)字相間的六位數(shù)的個數(shù)有（）A．72 B．60 C．48 D．52參考答案：B【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】本題是一個分類計數(shù)問題，當(dāng)首位為奇數(shù)時，則計數(shù)位上都是奇數(shù)才能滿足題意，這樣三個位奇數(shù)在三個奇數(shù)位置排列，三個偶數(shù)在三個偶數(shù)位置排列共有A33A33種結(jié)果，當(dāng)首位是偶數(shù)時，三個奇數(shù)在偶數(shù)位置排列，三個偶數(shù)有兩個利用排在首位，寫出結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，當(dāng)首位為奇數(shù)時，則計數(shù)位上都是奇數(shù)才能滿足題意，這樣三個位奇數(shù)在三個奇數(shù)位置排列，三個偶數(shù)在三個偶數(shù)位置排列共有A33A33=36種結(jié)果，當(dāng)首位是偶數(shù)時，三個奇數(shù)在偶數(shù)位置排列，三個偶數(shù)有兩個利用排在首位，共有2×2A33=24種結(jié)果，∴根據(jù)分類計數(shù)原理可以得到共有36+24=60種結(jié)果，故選B．【點評】本題考查分類計數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是看出題目需要分類來解，在分類中要做到不重不漏，注意奇數(shù)位和偶數(shù)位的選擇，本題是一個易錯題．8.雙曲線H1與雙曲線H2：﹣=1具有相同的漸近線，且點（2，）在H1上，則H1的焦點到漸近線的距離為（）A． B． C． D．4參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用兩個雙曲線漸近線相同設(shè)出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法進行求解即可得到結(jié)論．【解答】解：∵雙曲線H1與雙曲線H2：﹣=1具有相同的漸近線，∴設(shè)雙曲線H1的方程為﹣=λ，（λ≠0），∵點（2，）在H1上，∴λ==3﹣1=2，即雙曲線H1的方程為﹣=2，即﹣=1，即a2=40，b2=10，c2=40+10=50，即a=2，b=，c=5，則H1的一個焦點為（5，0），漸近線方程y=±x=±x，不妨設(shè)y=x，即x﹣2y=0，則焦點到漸近線的距離為d==，故選：B9.若復(fù)數(shù)滿足條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.等差數(shù)列的前n項和為Sn，若a2+a4+a6=12，則S7的值是A．21

B．24

C．28

D．7參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}中，a1=3，a2=5，且對于任意的大于2的正整數(shù)n，有an=an﹣1﹣an﹣2則a11=

．參考答案：﹣5【考點】數(shù)列遞推式．【專題】計算題；函數(shù)思想；試驗法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知結(jié)合遞推式求出數(shù)列前幾項，可得數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，由此求得a11．【解答】解：由a1=3，a2=5，且an=an﹣1﹣an﹣2，得a3=a2﹣a1=5﹣3=2，a4=a3﹣a2=2﹣5=﹣3，a5=a4﹣a3=﹣3﹣2=﹣5，a6=a5﹣a4=﹣5﹣（﹣3）=﹣2，a7=a6﹣a5=﹣2﹣（﹣5）=3，…由上可知，數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，∴a11=a6+5=a5=﹣5．故答案為：﹣5．【點評】本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，關(guān)鍵是對數(shù)列周期的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．12.在中隨機選取三個數(shù)，能構(gòu)成遞增等差數(shù)列的概率是

.參考答案：解析：三個數(shù)成遞增等差數(shù)列，設(shè)為，按題意必須滿足

.對于給定的d，a可以取1，2，……，2006－2d.

故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個數(shù)為

三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為13.

。參考答案：14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__▲

_．參考答案：【知識點】余弦函數(shù)的性質(zhì)【答案解析】解析：解：因為，由，所以所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【思路點撥】一般求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先把三角函數(shù)化成一個角的函數(shù)，再結(jié)合其對應(yīng)的基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律解答.15.第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按如下的方式構(gòu)造圖形，圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個，第n個圖形包含個“福娃迎迎”，則＝_____．（答案用含n的解析式表示）參考答案：【分析】本題可根據(jù)題意及圖寫出前4個算式的表達式，然后觀察規(guī)律可得及，即可算出結(jié)果．【詳解】由題意及圖，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：通過已知的這四個算式的規(guī)律，可得：，，通過上面兩個算式，可得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，其中解答中結(jié)合圖形與題干的理解，先寫出前面的簡單項，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并歸納是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．16.雙曲線的漸近線方程為

▲

.參考答案：【分析】漸近線方程是=0，整理后就得到雙曲線的漸近線方程．【詳解】∵雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴其漸近線方程是=0，整理得故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程．屬于基礎(chǔ)題．

17.已知等差數(shù)列中，若，則．

參考答案：11三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）已知函數(shù)（1）若對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（2）求在區(qū)間上的最小值的表達式。參考答案：19.用數(shù)字0、2、3、4、6按下列要求組數(shù)、計算：（1）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2）可以組成多少個可以被3整除的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（3）求2×3×4×6即144的所有正約數(shù)的和．（注：每小題結(jié)果都寫成數(shù)據(jù)形式）參考答案：【考點】排列、組合的實際應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、對于百位，百位數(shù)字只能是2、3、4、6中之一，②、百位數(shù)字確定后，在剩下的4個數(shù)字中選取2個，排在十位和個位，計算出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案；（2）由題意，能被3整除的且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6組成，據(jù)此分4種情況討論，求出每一步的選法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算可得答案；（3）根據(jù)題意，分析可得144=24×32，進而由約數(shù)和公式計算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：①、對于百位，百位數(shù)字只能是2、3、4、6中之一，有C41種選法，②、百位數(shù)字確定后，在剩下的4個數(shù)字中選取2個，排在十位和個位，則十位和個位數(shù)字的組成共有種方法，故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個；（2）由題意，能被3整除的且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6組成．分4種情況討論：①、三位數(shù)由2、4、0組成，首位數(shù)字有2、4兩種情況，在剩下的3個數(shù)字中選取2個，排在十位和個位，此時共有C21A22種選法；②、三位數(shù)由2、4、3組成，將3個數(shù)字全排列，排在百位、十位和個位，此時有A33種選法；③、三位數(shù)由2、4、6組成，將3個數(shù)字全排列，排在百位、十位和個位，此時有A33種選法；④、三位數(shù)由0、3、6組成，首位數(shù)字有3、6兩種情況，在剩下的3個數(shù)字中選取2個，排在十位和個位，此時共有C21A22種選法；共有個被3整除的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，（3）根據(jù)題意，144=24×32，則144的所有正約數(shù)的和為．20.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.參考答案：（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．分析：（Ⅰ）由分層抽樣的概念可知應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．且分布列為超幾何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）．據(jù)此求解分布列即可，計算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為．（ii）由題意結(jié)合題意和互斥事件概率公式可得事件A發(fā)生的概率為．詳解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個部門員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機變量X的分布列為X0123P

隨機變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．點睛：本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．進行分層抽樣的相關(guān)計算時，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．21.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗A，B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是多少？參考答案：設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，公司每天共可獲得的利潤為z元，依題意，得

┄┈┈4分目標(biāo)函數(shù)為z＝300x＋400y可