激趣誘思知識點撥假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案回報如下:方案一:每天回報40元;方案二:第一天回報10元,以后每天比前一天多回報10元;方案三:第一天回報0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.(1)請你分析比較三種方案每天回報的增長情況,各方案每天回報的變化情況可用什么函數(shù)模型來反映?(2)你會選擇哪種投資方案?激趣誘思知識點撥一、實際問題的函數(shù)刻畫1.在現(xiàn)實世界中,事物之間存在著廣泛的聯(lián)系,當(dāng)面對的實際問題中存在幾個變量,并且它們之間具有依賴關(guān)系時,我們往往用函數(shù)對其進(jìn)行刻畫.函數(shù)刻畫的方法可以使用圖象,但常見的還是使用解析式.2.函數(shù)模型是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)模型之一.許多實際問題一旦被認(rèn)定是函數(shù)關(guān)系,就可以通過研究函數(shù)的

,使問題得到解決.

性質(zhì)

激趣誘思知識點撥通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律,往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點,觀察這些點的

,看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象,選定函數(shù)形式后,將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式,求出具體的

,再做必要的檢驗,基本符合實際,就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律,這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合.在自然科學(xué)和社會科學(xué)中,很多規(guī)律、定律都是先通過

,得到

,再通過數(shù)據(jù)

得到的.

整體特征

函數(shù)解析式

實驗

數(shù)據(jù)

擬合

激趣誘思知識點撥微練習(xí)某地為了改善生態(tài)環(huán)境,政府決定綠化荒山,計劃第一年先植樹0.5萬公頃,以后每年比上年增加1萬公頃,每年植樹的公頃數(shù)y(單位:萬公頃)是時間x(單位:年)的函數(shù),這個函數(shù)的圖象是下圖中的(

)激趣誘思知識點撥答案:A

解析:由題意知該一次函數(shù)的圖象必過(1,0.5)和(2,1.5)兩點,故排除B,C,D.激趣誘思知識點撥二、數(shù)學(xué)建模1.定義:用數(shù)學(xué)思想、

、

解決實際問題的過程叫作數(shù)學(xué)建模.

2.過程:如下圖所示方法

知識

激趣誘思知識點撥名師點析常見的函數(shù)模型及其特點:(1)一次函數(shù)模型:y=kx+b(k≠0),其增長特點是直線式上升(k>0)或下降(k<0),其特例是y=kx(k≠0).(2)二次函數(shù)模型:y=ax2+bx+c(a≠0),其增長特點是函數(shù)值先減小后增大(a>0)或先增大后減小(a<0).(3)反比例函數(shù)模型:y=

(k≠0)型,其增長特點是當(dāng)x>0時,y隨x的增大而減小(k>0)或y隨x的增大而增大(k<0).(4)指數(shù)型函數(shù)模型:y=a·bx+c(b>0,且b≠1,a≠0),其增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快(底數(shù)b>1,a>0),常形象地稱為指數(shù)爆炸.(5)對數(shù)型函數(shù)模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增長特點是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢(底數(shù)a>1,m>0).(6)冪函數(shù)模型:y=a·xn+b(a≠0),其增長特點是y隨x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).激趣誘思知識點撥微練習(xí)某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)實驗中,獲得了如下一組數(shù)據(jù):則x,y的函數(shù)關(guān)系最接近(其中a,b為待定系數(shù))函數(shù)(

)A.y=a+bx

B.y=bxC.y=ax2+b激趣誘思知識點撥答案:B

解析:畫出散點圖(如圖所示):由散點圖可知,此函數(shù)圖象不是直線,排除A;此函數(shù)圖象是上升的,是增函數(shù),排除C,D,故選B.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測建立二次函數(shù)模型解決實際問題例1設(shè)某市現(xiàn)有從事第二產(chǎn)業(yè)人員100萬人,平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值a萬元(a為正常數(shù)),現(xiàn)在決定從中分流x萬人去加強(qiáng)第三產(chǎn)業(yè),分流后,繼續(xù)從事第二產(chǎn)業(yè)的人員平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值可增加2x%(0<x<100).而分流出的從事第三產(chǎn)業(yè)的人員平均每人每年可創(chuàng)造產(chǎn)值1.2a萬元.(1)若要保證第二產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值不減少,求x的取值范圍;(2)在(1)的條件下,問應(yīng)分流出多少萬人,才能使該市第二、第三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加最多?分析求解(1)時應(yīng)明確第二產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值不減少的條件是分流之后剩余人員創(chuàng)造的產(chǎn)值應(yīng)不小于沒有分流時創(chuàng)造的產(chǎn)值100a,求解(2)時應(yīng)根據(jù)題意求出分流后第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加量f(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求其最值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測∵x∈(0,50]時,f(x)單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=50時,f(x)max=60a.即應(yīng)分流出50萬人,才能使該市第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加最多.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟求解本題時,應(yīng)注意以下兩點:一是x∈N+,二是第二、三產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)值每年增加量為剩余人員創(chuàng)造的產(chǎn)值與分流人員創(chuàng)造產(chǎn)值的和減去沒有人員分流時創(chuàng)造的產(chǎn)值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1有A,B兩城相距100km,在A,B兩城之間距A城xkm的D地建一核電站給這兩城供電.為保證城市安全,核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月,B城供電量為10億度/月.(1)把月供電總費用y表示成x的函數(shù),并求其定義域;(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)時,才能使供電費用最小?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測建立指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型解決實際問題例2某種商品進(jìn)價為每個80元,零售價為每個100元,為了促銷,決定用買一個這種商品,贈送一個小禮品的辦法.實踐表明:禮品價值為1元時,銷售量增加10%,且在一定范圍內(nèi),禮品價值為(n+1)元時比禮品價值為n元(n∈N+)時的銷售量增加10%.(1)寫出禮品價值為n元時,利潤yn(單位:元)與n的函數(shù)關(guān)系式;(2)請你設(shè)計禮品的價值,以便商店獲得最大利潤.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)設(shè)沒有禮品時銷售量為m,則當(dāng)禮品價值為n元時,銷售量為m(1+10%)n,利潤yn=(100-80-n)·m·(1+10%)n=(20-n)·m·1.1n(0<n<20,n∈N+).(2)令yn+1-yn≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(20-n)·m·1.1n≥0,解得n≤9.∴y1<y2<y3<…<y9=y10.令yn+1-yn+2≥0,即(19-n)·m·1.1n+1-(18-n)·m·1.1n+2≥0,解得n≥8.∴y9=y10>y11>y12>y13>…>y19,∴當(dāng)禮品價值為9元或10元時,商店獲得最大利潤.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.指數(shù)型函數(shù)模型應(yīng)用非常廣泛,有關(guān)人口增長、銀行利息、細(xì)胞分裂等問題都可以建立指數(shù)型函數(shù)模型來解決問題,建立函數(shù)解析式時要善于通過列舉、歸納等方法尋求變量之間的關(guān)系,探尋內(nèi)在的規(guī)律.2.對于本題通過作差探討出函數(shù)的單調(diào)情況是解題的關(guān)鍵所在.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2大西洋鮭魚每年都要逆流而上2000m,游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)

單位是m/s,其中x表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù).(1)當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是8100個單位時,它的游速是多少?(2)計算一條鮭魚靜止時耗氧量的單位數(shù).(3)若鮭魚A的游速大于鮭魚B的游速,問這兩條鮭魚誰的耗氧量較大?并說明理由.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測建立分段函數(shù)模型例3WAP手機(jī)上網(wǎng)每月使用量在500min以下(包括500min),按30元計費;超過500min的部分按0.15元/min計費.假如上網(wǎng)時間過短(小于60min)使用量在1min以下不計費,在1min以上(包括1min)按0.5元/min計費.WAP手機(jī)上網(wǎng)不收通話費和漫游費.(1)寫出上網(wǎng)時間xmin與所付費用y元之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)12月份小王WAP上網(wǎng)使用量為20h,要付多少錢?(3)小王10月份付了90元的WAP上網(wǎng)費,那么他上網(wǎng)的時間是多少?分析由于上網(wǎng)時間不同,收費標(biāo)準(zhǔn)不同,因此對所付費用作分段討論,以確定付費標(biāo)準(zhǔn),建立函數(shù)關(guān)系式,解決付費與上網(wǎng)時間的問題.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)當(dāng)x=20×60=1

200(min)時,x>500,應(yīng)付y=30+0.15×(1

200-500)=135(元).(3)90元已超過30元,所以上網(wǎng)時間超過500

min,由解析式可得上網(wǎng)時間為900

min.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.在刻畫實際問題中,變量之間的關(guān)系因自變量x取值范圍的不同,對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不能用同一個解析式表示時,常用分段函數(shù)建立函數(shù)模型解決問題.2.分段函數(shù)是指自變量在不同的范圍內(nèi)有著不同對應(yīng)法則的函數(shù).求解分段函數(shù)的最值問題時應(yīng)注意:分段函數(shù)的最大值是各段函數(shù)最大值中最大的一個,分段函數(shù)的最小值是各段函數(shù)最小值中最小的一個.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3為支持福利事業(yè),解決殘疾人就業(yè)問題,銀行決定給某福利企業(yè)免息貸款46.8萬元,用于經(jīng)營某種商品.已知該種商品的進(jìn)價為每件40元,每月銷售量q(單位:百件)與銷售價格p(單位:元/件)之間滿足關(guān)系式:q=該企業(yè)職工每人每月工資為1200元,其他經(jīng)營性費用為每月13200元.(1)如果暫時不考慮還貸的前提下,當(dāng)銷售價格p為52元/件時,每月剛好收支平衡,求該企業(yè)的職工人數(shù);(2)若該企業(yè)只有20名職工,在保證職工工資及其他經(jīng)營性支出外,剩余的利潤都用來償還貸款,試問最早幾年后還清貸款.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)設(shè)該企業(yè)職工人數(shù)為t,依題意p=52時,q=36時,則(52-40)×36×100=1

200t+13

200,∴t=25.即該企業(yè)有25名職工.(2)設(shè)每個月的利潤為f(p),則f(p)=∵當(dāng)p=55時,[(-2p+140)(p-40)]max=450,當(dāng)p=61時,[(-p+82)(p-40)]max=441,∵450>441,∴p=55時,能更早還清貸款,∴當(dāng)定價為55元時,最早5年后能還清貸款.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測擬合函數(shù)模型解決實際問題例4某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷售A,B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表:該經(jīng)營者準(zhǔn)備第七個月投入12萬元經(jīng)營這兩種產(chǎn)品,但不知投入A,B兩種商品各多少萬元才合算.請你幫助制定一個資金投入方案,使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤,并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:以投資額x為橫坐標(biāo),純利潤y為縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點圖,如圖①②所示.觀察散點圖可以看出,A種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬,如圖①所示.取(4,2)為最高點,則y=a(x-4)2+2(a≠0),再把點(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.B種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的,可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬,如圖②所示.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測設(shè)y=kx+b(k≠0),取點(1,0.25)和(4,1)代入,即前六個月所獲純利潤y關(guān)于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=-0.15(x-4)2+2;前六個月所獲純利潤y關(guān)于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=0.25x.設(shè)第七個月投入A,B兩種商品的資金分別為x,12-x(單位:萬元),則0<x<12.設(shè)總純利潤為W(單位:萬元),那么W=-0.15(x-4)2+2+0.25(12-x)=-0.15x2+0.95x+2.6.當(dāng)x=≈3.2時,W取最大值,約為4.1,此時12-x=8.8.即該經(jīng)營者下月用3.2萬元投資A種商品萬元投資B種商品,可獲得最大純利潤約為4.1萬元.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟解決擬合函數(shù)模型問題一般有以下步驟:(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出兩個變量之間的散點圖.(2)通過散點圖,畫出“最貼近”的直線或曲線,即擬合直線或擬合曲線.如果所有實際點都落到了擬合直線或曲線上,

“點滴”不漏,那么這將是一件十分完美的事情,但在實際應(yīng)用中,這種情況一般不會發(fā)生.因此,使實際點盡可能均勻分布在直線或曲線兩側(cè),使兩側(cè)的點的個數(shù)大體相等,得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了.(3)根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識,結(jié)合已知數(shù)據(jù),求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)解析式.(4)利用函數(shù)解析式,根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和檢驗,為決策和管理提供依據(jù).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練4為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響,在山上建立了一個觀察站,測量最大積雪深度xcm與當(dāng)年灌溉面積yhm2.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料,如下表所示:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(1)描出灌溉面積yhm2隨積雪深度xcm變化的數(shù)據(jù)點(x,y);(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型y=f(x),并作出其圖象;(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型,若今年最大積雪深度為25cm,則可以灌溉的土地面積是多少?探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)數(shù)據(jù)點分布如圖①所示.(2)從圖①中可以看到,數(shù)據(jù)點大致落在一條直線附近,由此,我們假設(shè)灌溉面積y

hm2和最大積雪深度x

cm滿足線性函數(shù)模型y=a+bx(a,b為常數(shù),b≠0).取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1),(24.0,45.8),探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測用計算器可算得a≈2.4,b≈1.8.這樣,我們得到一個函數(shù)模型y=2.4+1.8x.作出函數(shù)圖象如圖②,可以發(fā)現(xiàn),這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌溉面積的關(guān)系.(3)由(2)得當(dāng)x=25時,y=2.4+1.8×25=47.4,即當(dāng)最大積雪深度為25

cm時,可以灌溉土地47.4

hm2.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測圖表型應(yīng)用問題典例

客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時到達(dá)乙地,在乙地停留了半小時,然后以80km/h的速度勻速行駛1小時到達(dá)丙地.下列描述客車從甲地出發(fā),經(jīng)過乙地,最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程s(單位:km)與時間t(單位:h)之間關(guān)系的圖象中,正確的是(

)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分析本題有兩種求解方法:一是依據(jù)各時間段內(nèi)路程的變化情況,逐一排除;二是由實際問題抽象出函數(shù)解析式,再確定圖象.解析:(方法一)根據(jù)已知條件知,在第1個小時內(nèi)四個選項中的圖象都正確;之后的半小時,選項B中的圖象不正確,因為該圖中此段時間內(nèi)路程為0,與事實不符;最后1個小時,選項A中的圖象錯在時間和路程上,選項D中的圖象錯在時間上.選項C中的圖象正確.(方法二)由題意可知客車在整個過程中的路程s與時間t之間的關(guān)答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

解圖表型應(yīng)用問題的一般步驟以圖表信息為背景的函數(shù)應(yīng)用問題是高考中一道亮麗的風(fēng)景線,這類問題由圖表給出數(shù)據(jù)信息,探求變量之間的關(guān)系,再綜合應(yīng)用函數(shù)的相關(guān)知識加以分析,從而解決實際問題.解決這類問題的一般步驟是:(1)觀察圖表,捕捉有效信息;(2)對已有信息進(jìn)行加工,分清變量之間的關(guān)系;(3)選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具,通過建模加以解決;(4)進(jìn)行檢驗,去偽存真,找出符合實際情形的答案.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個時間段進(jìn)行分時計價.該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價表如下:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦·時,低谷時間段用電量為100千瓦·時,則按這種計費方式該家庭本月應(yīng)付的電費為

元.

答案:148.4

解析:高峰時間段電費為50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元).低谷時間段電費為50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元).故該家庭本月應(yīng)付的電費為118.1+30.3=148.4(元).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.一輛汽車在某段路上的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖象如圖所示,則圖象所對應(yīng)的函數(shù)模型是(

)A.分段函數(shù) B.二次函數(shù)C.指數(shù)函數(shù) D.對數(shù)函數(shù)答案:A

解析:由題圖知,在不同的時間段內(nèi),對應(yīng)的圖象不同,故對應(yīng)函數(shù)模型應(yīng)為分段函數(shù).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.某地區(qū)植被被破壞,土地沙化越來越嚴(yán)重,最近三年測得沙漠增加值分別為