非線性控制系統(tǒng)第1頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月8-1引言

一常見非線性特性對系統(tǒng)運動的影響只要系統(tǒng)中包含一個或一個以上具有非線性特性的元件，就稱其為非線性系統(tǒng)。非線性特性可分為單值函數(shù)與多值函數(shù)兩類。常見非線性特性有:第2頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月1：死區(qū)死區(qū)對系統(tǒng)最直接的影響是造成穩(wěn)態(tài)誤差摩擦死區(qū)特性可能造成運動系統(tǒng)的低速不均勻死區(qū)的存在會造成系統(tǒng)等效開環(huán)增益的下降死區(qū)特性減弱振蕩性，提高穩(wěn)定性死區(qū)能濾除在輸入端作小幅度振蕩的干擾信號，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。第3頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月處于系統(tǒng)前向通路最前面的測量元件，其死區(qū)所造成的影響最大，而放大元件和執(zhí)行元件死區(qū)的不良影響可以通過提高該元件前級的傳遞系數(shù)來減小。第4頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月大信號作用之下的等效增益降低，使系統(tǒng)超調(diào)量下降，振蕩性減弱，穩(wěn)態(tài)誤差增大。2：飽和處于深度飽和的控制器對誤差信號的變化失去反應(yīng)，從而使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。利用飽和特性作信號限幅，保證系統(tǒng)安全合理地工作。自持振蕩現(xiàn)象若線性系統(tǒng)為振蕩發(fā)散，當加入飽和限制后，系統(tǒng)就會出現(xiàn)自持振蕩的現(xiàn)象。第5頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月3：間隙又稱回環(huán)增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了控制精度，這相當于死區(qū)的影響使系統(tǒng)頻率響應(yīng)的相角遲后增大，從而使系統(tǒng)過渡過程的振蕩加劇，甚至使系統(tǒng)變?yōu)椴环€(wěn)定2π第6頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月4：繼電特性其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性。當h=0時，稱為理想繼電特性。理想繼電特性串入系統(tǒng)，在小偏差時開環(huán)增益大，系統(tǒng)的運動一般呈發(fā)散性質(zhì)；而在大偏差時開環(huán)增益很小，系統(tǒng)具有收斂性質(zhì)。故理想繼電控制系統(tǒng)最終多半處于自持振蕩工作狀態(tài)。繼電特性能夠使被控制的執(zhí)行裝置在最大輸入信號下工作，可以充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力，故有可能利用繼電特性實現(xiàn)快速跟蹤。至于帶死區(qū)的繼電特性，將會增加系統(tǒng)的定位誤差，而對其它動態(tài)性能的影響，類似于死區(qū)、飽和非線性特性的綜合效果。第7頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月二.非線性系統(tǒng)特征

1：穩(wěn)定性對于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念，必須針對系統(tǒng)某一具體的運動狀態(tài)，才能討論其是否穩(wěn)定的問題。

例如設(shè)t=0時，系統(tǒng)的初始條件為x0，可以求得上述微分方程的解為：

所以說，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與運動的初始條件、輸入信號有直接關(guān)系?？梢?，非線性系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)，其中某些平衡狀態(tài)穩(wěn)定，另一些平衡狀態(tài)不穩(wěn)定的。初始條件不同，系統(tǒng)的運動可能趨于不同的平衡狀態(tài)，運動的穩(wěn)定性就不同。第8頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月2：時間響應(yīng)線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)3：自持振蕩第9頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月4：對正弦信號的響應(yīng)143256線性系統(tǒng)當輸入某一恒定幅值和不同頻率ω的正弦信號時，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值A(chǔ)c是頻率ω的單值連續(xù)函數(shù)。對于非線性系統(tǒng)輸出的幅值A(chǔ)c與ω的關(guān)系可能會發(fā)生跳躍諧振和多值響應(yīng)，5：非線性系統(tǒng)的畸變現(xiàn)象第10頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月三.非線性系統(tǒng)的分析方法

目前研究非線性系統(tǒng)常用的工程近似方法有：

1：相平面法2：描述函數(shù)法3：計算機求解法第11頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月8-2相平面法基礎(chǔ)一.相平面法的概念

設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列微分方程描述：

考慮到：

可改寫為：

如果能解出該方程，即求出和x的關(guān)系，則可以運用=dx/dt，把x和t的關(guān)系計算出來。第12頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月以x為橫坐標、為縱坐標所組成的直角坐標平面稱為相平面(狀態(tài)平面)。在某一時刻t，x(t)和對應(yīng)于相平面上的一個點，稱為相點(狀態(tài)點),它代表了系統(tǒng)在該時刻的一個狀態(tài)。通常系統(tǒng)在初始時刻t0的初始狀態(tài)用相點表示,隨著時間的增長，系統(tǒng)的狀態(tài)不斷地變化，沿著時間增加的方向，將描述這些狀態(tài)的許多相點連接起來，在相平面上就形成了一條軌跡曲線，這種反映系統(tǒng)狀態(tài)變化的軌跡曲線叫相軌跡第13頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月相軌跡的箭頭表示時間增加時，相點的運動方向。從圖中可以看出，在上半平面,相軌跡總是沿著x增加的方向運動(向右運動),而在下半平面,相軌跡總是沿著x減小的方向運動(向左運動)。對于任一初始條件，微分方程有唯一的解與之對應(yīng)。因此，對某一個微分方程，在相平面上布滿了與不同初始條件相對應(yīng)的一族相軌跡，由這樣一族相軌跡所組成的圖象叫相平面圖，簡稱相圖。第14頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月二.相軌跡的繪制方法

1：解析法(1)消去參變量t。(2)直接積分則通過積分，也可直接得到并繪制相軌跡。若原方程可以分解為：第15頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-1

設(shè)描述系統(tǒng)運動的微分方程為：

初始條件為x(0)=x0，試繪制系統(tǒng)運動的相軌跡。

解：

先用第一種解析法求解。根據(jù)初始條件可以求得系統(tǒng)運動微分方程的解為：再采用第二種解析法求解。系統(tǒng)的微分方程改寫為：

兩邊積分，得：

第16頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月2：圖解法(1)等傾線法若令：

則有：

令α為某一常數(shù),上式即為一條等傾線方程。等傾線等傾線作圖法….第17頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-2

設(shè)描述系統(tǒng)運動的微分方程為：

初始條件為x(0)=x0，試用等傾線法繪制系統(tǒng)運動的相軌跡。

解：

令：

上式即為等傾線方程。顯然，等傾線為通過相平面坐標原點的直線，其斜率為-1/α，而α是相軌跡通過等傾線時切線的斜率。第18頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月注意事項：第一，橫軸(x軸)與縱軸(dx/dt軸)所選用的比例尺應(yīng)當一致，這樣α值才與相軌跡切線的幾何斜率相同。第二，在相平面的上半平面，相軌跡總是沿著x增加的方向運動(向右運動)；而在下半平面,相軌跡總是沿著x減小的方向運動(向左運動)。第三，除平衡點(即x的各階導(dǎo)數(shù)為零的點)外，通過x軸時相軌跡的斜率為所以相軌跡是與x軸垂直的。第四，等傾線的條數(shù)應(yīng)取得適當。另外，采用平均斜率的方法作相軌跡，可以提高作圖的精確度。第19頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)δ法其中是單值連續(xù)的函數(shù)δ值取決于變量和x,若和x的變化很小,δ可以看作是一個常量，例如在相平面的點附近，δ的值就可以取為：

第20頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月積分后,可得：

如果把縱坐標取為橫坐標仍為x，則在這樣的相平面內(nèi)，上式代表一個圓心在Q(δ1,0),半徑為|P1Q|的圓。用δ法繪制相軌跡的具體方法是….改進方法….第21頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月三.由相平面圖求時間解

1：增量法對于小的時間增量Δt和位移增量Δx，其平均速度為Δx/Δt，若Δt足夠小，可以令：相軌跡從P0點到P1點，橫坐標x的變化量為Δx01，縱坐標的平均值為：因此，從P0點到P1點所需時間的近似值為：

P2P3P2P3t23t12P0P1P0P1t01同理可得從P1點到P2點，P2點到P3點，……所需時間的近似值分別為：

避免出現(xiàn)的平均值為零的情況第22頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

2：積分法根據(jù)從坐標為x0的點移到坐標為x1的點所需時間為：P0P1P0P1第23頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月3：圓弧法這種方法的基本思想是：用圓心位于x軸上的一系列小圓弧來近似所研究的相軌跡段，則運動所需時間等于沿這些小圓弧運動所需時間之和。相軌跡AD段，可以用x軸上的P、Q、R點為圓心，以|PA|、|QB|、|RC|為半徑的小圓弧AB、BC、CD來近似。經(jīng)過每段小圓弧所需的時間，可以很方便地計算出來。以tAB為例，在M點有：第24頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月8.3二階系統(tǒng)的相平面分析法

一.線性系統(tǒng)的相軌跡

以二階系統(tǒng)的自由運動為例，介紹線性系統(tǒng)的相軌跡。設(shè)系統(tǒng)的微分方程：

1：無阻尼運動相軌跡為一個橢圓第25頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月2：欠阻尼運動對x(t)求導(dǎo)，消去時間t，整理后得：

第26頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月它是一條通過初始點繞在相平面坐標原點上的對數(shù)螺旋線。給定不同的初始點，可以畫出一族對數(shù)螺旋線。此時，系統(tǒng)在初始條件下的自由運動為衰減振蕩曲線。

第27頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月3：過阻尼運動當初始點滿足

有A2=0，可得相軌跡方程為：

它表示了相平面上一條特殊的相軌跡。

同理，當初始點滿足

有A1=0，相軌跡方程為：

當A1和A2不為零時，對x(t)求導(dǎo)，消去時間t，整理后得：

第28頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月4：負阻尼運動負阻尼運動時ξ<0。其中-1<ξ<0時特征方程式根為一對具有正實部的共軛復(fù)數(shù)根，相軌跡是一族對數(shù)螺旋線。

ξ<-1時特征方程式根為兩個正實根，相軌跡是一族拋物線。第29頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月對于線性二階系統(tǒng)，還存在另外一種類型的微分方程：

式中ξ>0。這時特征方程式根為一正、一負兩個實根，微分方程解的形式與過阻尼運動時的形式相同-q1>0，-q2<0。當初始條件滿足：

得到特殊的相軌跡：

當初始條件滿足：

得到特殊的相軌跡：

否則，相軌跡為一族雙曲線。第30頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月二.奇點與平衡點

描述二階系統(tǒng)的二階常微分方程可以用兩個一階微分方程表示，即：若狀態(tài)[x10，x20]滿足：

則稱狀態(tài)[x10，x20]為系統(tǒng)的一個的平衡點。

若以x1(t)和x2(t)作為相平面的兩個坐標軸,在平衡點處,由于：

也就是說，相軌跡的斜率不定，這樣的點稱為奇點。第31頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月對于二階線性定常系統(tǒng)：

若令

則微分方程可改寫為兩個一階微分方程：根據(jù)相軌跡的形狀，可以把奇點分成若干類型。顯然，相平面的原點為平衡點或奇點。根據(jù)二階線性定常系統(tǒng)特征根可判斷奇點的類型第32頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點中心鞍點第33頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月對于非線性二階系統(tǒng)，為了判斷奇點[x10，x20]的類型，可以將原系統(tǒng)在平衡點附近線性化，根據(jù)線性化以后的結(jié)果來判斷奇點的類型。簡記為：若記x1-x10為x1，x2-x20為x2根據(jù)特征根的位置，即可判斷奇點的類型。

第34頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-3

非線性控制系統(tǒng)的微分方程為求系統(tǒng)的奇點，并概略繪制奇點附近的相軌跡解

令非線性系統(tǒng)有兩個奇點將系統(tǒng)微分方程改寫為在奇點附近用泰勒級數(shù)展開，并保留一次項，得其特征值為具有正實部的共軛復(fù)根，因而奇點為不穩(wěn)定焦點第35頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月在奇點附近用泰勒級數(shù)展開，并保留一次項，得記為奇點附近的線性化方程為特征值為一正、一負兩個實根，奇點為鞍點。在奇點附近用泰勒級數(shù)展開，并保留一次項，得其特征值為具有正實部的共軛復(fù)根，因而奇點為不穩(wěn)定焦點第36頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月

三.極限環(huán)

在相平面圖中與等幅振蕩運動相對應(yīng)的相軌跡是一個孤立的封閉曲線，這種孤立的封閉曲線稱為極限環(huán)第37頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月四.非線性系統(tǒng)的相軌跡

下面用分段線性化的方法來分析具有幾種典型非線性的控制系統(tǒng)。1：具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)，圖中T=1,K=4,e0=0.2,M0=0.2；若系統(tǒng)開始處于零初始狀態(tài)，試分別作出r(t)=R·1(t)和r(t)=V0t時，系統(tǒng)的相平面圖。

T=1,K=4,e0=0.2,M0=0.2第38頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月線性部分的傳遞函數(shù)為：

微分方程：

非線性部分的方程為：

T=1,K=4,e0=0.2,M0=0.2對于本題，取偏差及其導(dǎo)數(shù)作為相坐標。設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)，圖中T=1,K=4,e0=0.2,M0=0.2；若系統(tǒng)開始處于零初始狀態(tài)，試分別作出r(t)=R·1(t)和r(t)=V0t時，系統(tǒng)的相平面圖。第39頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月可將系統(tǒng)的微分方程組改寫為如下形式：

相平面被e=±e0劃分為三個區(qū)域，即線性區(qū)(|e|≤e0)，正飽和區(qū)(e>e0)和負飽和區(qū)(e<e0)。稱e=±e0為相平面的開關(guān)線，顯然當相點移動到開關(guān)線處，系統(tǒng)的運動特性將發(fā)生轉(zhuǎn)換。0開關(guān)線線性部分的傳遞函數(shù)為：

微分方程：

非線性部分的方程為：

對于本題，取偏差及其導(dǎo)數(shù)作為相坐標。第40頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）r(t)=R·1(t)

系統(tǒng)的微分方程組變?yōu)椋嚎蓪⑾到y(tǒng)的微分方程組改寫為如下形式：

相平面被e=±e0劃分為三個區(qū)域，即線性區(qū)(|e|≤e0)，正飽和區(qū)(e>e0)和負飽和區(qū)(e<e0)。稱e=±e0為相平面的開關(guān)線，顯然當相點移動到開關(guān)線處，系統(tǒng)的運動特性將發(fā)生轉(zhuǎn)換。0開關(guān)線第41頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月首先討論相軌跡在線性區(qū)|e|≤e0的情況。此時相軌跡方程為：原點(0,0)為一個平衡點,特征根為（1）r(t)=R·1(t)

系統(tǒng)的微分方程組變?yōu)椋鹤鴺嗽c為穩(wěn)定焦點。由于位于所討論的線性區(qū)域內(nèi)，該奇點稱為實奇點。若令

可得等傾線方程為：

可見等傾線是一族通過原點的直線。

0開關(guān)線第42頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月在e>e0的飽和區(qū)，相軌跡微分方程和等傾線微分方程分別為：在e<-e0的飽和區(qū)，相軌跡微分方程和等傾線微分方程分別為：在上述兩個區(qū)域的相軌跡微分方程中，由于兩個微分方程在均無解，故兩個區(qū)域均無奇點。而等傾線都是平行于橫軸的直線。

在e>e0的區(qū)域，為系統(tǒng)的一條相軌跡，也就是說若初始點滿足則相點將沿著移動。

0開關(guān)線在e>e0的區(qū)域，相軌跡均漸近于的直線第43頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地，在e<-e0的區(qū)域,相軌跡均漸近于的直線。

0開關(guān)線00開關(guān)線第44頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)r(t)=V0t

變?yōu)椋?/p>

相平面的開關(guān)線為e=±e0由于微分方程的特征根為一對共軛復(fù)數(shù)，所以在線性區(qū)|e|≤e0的相軌跡應(yīng)為對數(shù)螺旋線。系統(tǒng)的微分方程組當r(t)=V0t時,由于在線性區(qū)|e|≤e0相軌跡方程為：若令

可得奇點或平衡點為

0開關(guān)線第45頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月該奇點為穩(wěn)定焦點，奇點的位置與輸入信號的大小有關(guān)。當V0<Ke0時，因奇點位于線性區(qū)|e|≤e0的范圍內(nèi)，該奇點為實奇點；由于微分方程的特征根為一對共軛復(fù)數(shù)，所以在線性區(qū)|e|≤e0的相軌跡應(yīng)為對數(shù)螺旋線。在線性區(qū)|e|≤e0相軌跡方程為：若令

可得奇點或平衡點為

0開關(guān)線當V0>Ke0時，奇點位于線性區(qū)|e|≤e0的范圍之外，相軌跡無法趨向或離開該奇點，這樣的奇點稱為虛奇點。實奇點虛奇點第46頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月在e>e0和e<-e0的飽和區(qū)e>e0時，有一條特殊的相軌跡不存在奇點。0開關(guān)線相軌跡均漸近于e<-e0時，相軌跡均漸近于0開關(guān)線第47頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月實奇點(0.1,0)AB當V0=0.4<KM0時,相軌跡最終收斂于(0.1,0),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1,說明系統(tǒng)可以跟蹤變化較慢的斜坡信號；當V0=1.2>KM0時,相軌跡最終趨于水平直線，說明系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)將趨于無窮大，系統(tǒng)無法跟蹤快速變化的斜坡信號。AB(0.3,0)虛奇點第48頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月V0=0.8=KM0時,在|e|≤e0的區(qū)域內(nèi)，相軌跡的奇點(0.2,0)是穩(wěn)定的焦點，位于開關(guān)線上。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)有著完全不同的運動特性，非線性系統(tǒng)的運動形式及穩(wěn)態(tài)誤差既和輸入信號的大小有關(guān)，也和初始條件有關(guān)。

(0.2,0)AB實奇點e>e0時，相軌跡的微分方程變?yōu)檎f明相軌跡是相互平行的直線，其斜率為-1/T相軌跡將終止于橫軸上。終止的位置決定了穩(wěn)態(tài)誤差的大小，與初始條件有關(guān)。第49頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月2：繼電型非線性控制系統(tǒng)含有繼電型非線性元件的系統(tǒng)稱為繼電型系統(tǒng)。繼電型非線性的一般形式如圖(a)所示，稱為具有滯環(huán)的三位置繼電特性；若h=0，即為理想繼電特性，如圖(d)所示。

若m=1，即為具有死區(qū)的三位置繼電特性，如圖(b)所示；若m=-1，即為具有滯環(huán)的兩位置繼電特性，如圖(c)所示；第50頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月下面具體分析系統(tǒng)自由運動的相平面圖及其運動特點，取c和為相坐標。

(1)具有死區(qū)的三位置繼電特性(m=1)

線性部分的微分方程為：

繼電特性開關(guān)線為c=±h，兩條開關(guān)線將相平面劃分為三個線性區(qū)域。在c>h區(qū)域，相軌跡方程為：

第51頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時的討論，相平面在該區(qū)域無奇點，相軌跡均漸近于的直線。

開關(guān)線線性部分的微分方程為：

開關(guān)線為c=±h，兩條開關(guān)線將相平面劃分為三個線性區(qū)域。在c>h區(qū)域，相軌跡方程為：

在c<-h區(qū)域，相軌跡方程為：

該區(qū)域無奇點，相軌跡均漸近于的直線。

第52頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時的討論，相平面在該區(qū)域無奇點，相軌跡均漸近于的直線。

開關(guān)線為c=±h，兩條開關(guān)線將相平面劃分為三個線性區(qū)域。在c>h區(qū)域，相軌跡方程為：

在c<-h區(qū)域，相軌跡方程為：

該區(qū)域無奇點，相軌跡均漸近于的直線。

開關(guān)線第53頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時的討論，相平面在該區(qū)域無奇點，相軌跡均漸近于的直線。

開關(guān)線為c=±h，兩條開關(guān)線將相平面劃分為三個線性區(qū)域。在c>h區(qū)域，相軌跡方程為：

在c<-h區(qū)域，相軌跡方程為：

該區(qū)域無奇點，相軌跡均漸近于的直線。

開關(guān)線在|c|<h區(qū)域，相軌跡方程為：

第54頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月類似于具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)時的討論，相平面在該區(qū)域無奇點，相軌跡均漸近于的直線。

在c<-h區(qū)域，相軌跡方程為：

該區(qū)域無奇點，相軌跡均漸近于的直線。

在|c|<h區(qū)域，相軌跡方程為：

由于：

該區(qū)域的相軌跡是一族斜率為-1/T，且相互平行的直線。

另外若令系統(tǒng)的相軌跡方程恒成立，說明在該區(qū)域內(nèi)，均為平衡點，相軌跡可終止于其中的任一點。有時把這一段直線稱為系統(tǒng)的平衡段。開關(guān)線平衡段第55頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月可以看出，在開關(guān)線c=+h和c=-h處，相軌跡發(fā)生了轉(zhuǎn)換，表明繼電器由一種工作狀態(tài)轉(zhuǎn)換為另一種工作狀態(tài)。一旦相軌跡到達平衡段，系統(tǒng)便處于平衡工作狀態(tài)，平衡段上的每一點都對應(yīng)系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。A開關(guān)線不論初始條件如何，系統(tǒng)的暫態(tài)過程均為衰減振蕩過程并最終收斂于平衡點，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但是初始條件對暫態(tài)過程的影響十分顯著。

系統(tǒng)的振蕩情況還與時間常數(shù)T密切相關(guān)。若減小時間常數(shù)T，則提高暫態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性；反之，增大時間常數(shù)T，相軌跡要經(jīng)過多次切換才能達到平衡點，因而加劇了暫態(tài)過程的振蕩。另外，系統(tǒng)的振蕩情況還與KM值有關(guān)，KM加大，系統(tǒng)的振蕩加劇，收斂也會變慢。第56頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）具有滯環(huán)的兩位置繼電特性(m=-1)分段線性微分方程為：

開關(guān)線方程為

兩條開關(guān)線將整個相平面劃分成兩個區(qū)域：在區(qū)域

相軌跡方程

該區(qū)域無奇點，相軌跡漸近于的水平直線；

繼電特性在區(qū)域

相軌跡方程

該區(qū)域無奇點，相軌跡漸近于的水平直線；

第57頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月兩條開關(guān)線將整個相平面劃分成兩個區(qū)域：在區(qū)域

相軌跡方程

該區(qū)域無奇點，相軌跡漸近于的水平直線；

在區(qū)域

相軌跡方程

該區(qū)域無奇點，相軌跡漸近于的水平直線；

第58頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月m=-1時的相軌跡與m=1時的相軌跡不同,這時不再是系統(tǒng)的平衡段，由這個線段出發(fā)的相軌跡都向外發(fā)散，而由較大初始條件出發(fā)的相軌跡都向內(nèi)收斂。介于從內(nèi)向外發(fā)散和從外向內(nèi)收斂的相軌跡之間，存在著一個極限環(huán)KLMNK。該極限環(huán)為穩(wěn)定的極限環(huán)從任一初始點出發(fā)的相軌跡都趨于這個穩(wěn)定的極限環(huán)，系統(tǒng)的輸出出現(xiàn)等幅振蕩。振蕩的周期與振幅僅取決于系統(tǒng)的參數(shù)，與初始條件無關(guān)。可見滯環(huán)特性惡化了系統(tǒng)的品質(zhì)。329第59頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月繼電特性現(xiàn)在討論另外一種情況，若初始時刻繼電特性輸出為-M，相軌跡方程為為此可以畫出c>-h時，相軌跡方程為的相平面圖。

而繼電特性的輸入為下圖無法表現(xiàn)。

第60頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月繼電特性同樣若初始時刻繼電特性輸出為M，由于此時相軌跡方程為為此可以畫出c<h時，相軌跡方程為的相平面圖。

而繼電特性的輸入為第61頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月C1C2C3C6畫在一張圖上時，得到系統(tǒng)完整的相平面圖,為多頁相平面圖，圖中在-h<c<h部分，相軌跡有重疊，可根據(jù)具體情況，決定采用何種形式的相軌跡,圖中C1點滿足C4C5第62頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)既有死區(qū)又有滯環(huán)的繼電特性(-1<m<1)分段線性微分方程為：

開關(guān)線方程為和與m=1時的相平面圖相比較A開關(guān)線第63頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月下圖繪出了隨著m的減小，相軌跡變化的示意圖。從圖中可以看出，系統(tǒng)的振蕩趨勢將逐漸加大，當m減小到0<m<<1時，相平面圖將由(a)變?yōu)?b)，這時出現(xiàn)了半穩(wěn)定的極限環(huán)。當m進一步減小至-1<m<0時，系統(tǒng)的相平面圖變?yōu)?c)，這時出現(xiàn)了穩(wěn)定的極限環(huán)和一條由兩條相軌跡圍成的區(qū)域，如圖中陰影線所示。這時，若初始狀態(tài)落在陰影線區(qū)域內(nèi)，則系統(tǒng)的自由運動將趨于平衡狀態(tài)，否則將產(chǎn)生自持振蕩。

系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩的充分必要條件是：

第64頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)理想繼電特性(h=0)當繼電特性為理想繼電特性時,可以寫出繼電型控制系統(tǒng)的分段線性微分方程為：

開關(guān)線方程為c=0。第65頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月五.速度反饋對系統(tǒng)自由運動的影響

這時系統(tǒng)的分段線性微分方程為：

圖中τ<T第66頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月開關(guān)線開關(guān)線方程為：

兩條開關(guān)線將相平面劃分成三個區(qū)域。在的區(qū)域，相軌跡方程為在的區(qū)域，相軌跡方程為在的區(qū)域,相軌跡方程說明相軌跡均為斜率為-1/T的直線，且為平衡段第67頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月開關(guān)線未接入速度反饋時，開關(guān)線為通過±h的兩條與c軸垂直的直線；在接入速度反饋后，這兩條開關(guān)線分別繞c軸上的±h點反時針方向轉(zhuǎn)了一個角度φ=arctgτ。由于開關(guān)線反時針轉(zhuǎn)動的結(jié)果，相軌跡將提前進行轉(zhuǎn)換，使得自由運動的超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間縮短，系統(tǒng)的性能將得到改善。開關(guān)線在上半平面向左移動，在下半平面向右移動，將會使系統(tǒng)性能變好。第68頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月六.繼電系統(tǒng)的滑動現(xiàn)象

若速度反饋信號過強，使得τ>T時，系統(tǒng)中會發(fā)生滑動現(xiàn)象。為了說明滑動狀態(tài)時相軌跡的特點，需要研究開關(guān)線附近相軌跡的走向。對于本例，由于兩條開關(guān)線附近相軌跡的情況對稱，這里只討論開關(guān)線附近的情況。

定義一個函數(shù)

開關(guān)線第69頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月六.繼電系統(tǒng)的滑動現(xiàn)象

若速度反饋信號過強，使得τ>T時，系統(tǒng)中會發(fā)生滑動現(xiàn)象。為了說明滑動狀態(tài)時相軌跡的特點，需要研究開關(guān)線附近相軌跡的走向。對于本例，由于兩條開關(guān)線附近相軌跡的情況對稱，這里只討論開關(guān)線附近的情況。

定義一個函數(shù)

開關(guān)線增加方向從圖中可以看出，在開關(guān)線的下方，ξ<0，ξ值越大，等ξ線越靠近開關(guān)線在某相點處，若dξ/dt>0，說明此處的相軌跡將走向開關(guān)線，若dξ/dt<0，說明此處的相軌跡將離開開關(guān)線；第70頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月在開關(guān)線的上方，ξ>0，在某相點處，若dξ/dt>0，說明此處的相軌跡將離開開關(guān)線，若dξ/dt<0，說明此處的相軌跡將走向開關(guān)線。通過研究相軌跡在開關(guān)線附近時，dξ/dt的正負情況，即可判斷出相軌跡的走向。開關(guān)線增加方向第71頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月下面研究相軌跡在開關(guān)線

在開關(guān)線的上方，相軌跡方程為：

在相軌跡上有：

由于τ>T，故當時，有dξ/dt<0，說明在相平面的上半部，相軌跡將走向開關(guān)線；而在的區(qū)域，即相平面的下半部，有dξ/dt>0，說明相軌跡將離開開關(guān)線。兩側(cè)相軌跡的走向第72頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月在開關(guān)線下方，相軌跡方程

有：

在的區(qū)域，有dξ/dt<0，說明相軌跡將離開開關(guān)線；在區(qū)域，有dξ/dt>0，說明相軌跡將走向開關(guān)線。第73頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月在開關(guān)線的區(qū)域，由于開關(guān)線兩側(cè)的相軌跡均走向開關(guān)線。因此，一旦相軌跡進入開關(guān)線，相點只能沿著開關(guān)線滑向(-h,0)點；同樣，在開關(guān)線的區(qū)域，由于開關(guān)線兩側(cè)的相軌跡均走向開關(guān)線，因此，一旦相軌跡進入開關(guān)線，相點只能沿著開關(guān)線滑向(h,0)點。

第74頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月七.利用非線性改善系統(tǒng)的性能

1：粗、精調(diào)控制系統(tǒng)對于線性系統(tǒng)，單純調(diào)節(jié)開環(huán)放大系數(shù)，難以得到理想的響應(yīng)曲線。采用非線性環(huán)節(jié)，在響應(yīng)的初始階段，誤差信號較大，此時開環(huán)放大系數(shù)大，利于系統(tǒng)的快速響應(yīng)；當輸出信號接近希望值時，誤差信號較小，此時開環(huán)放大系數(shù)小，有利于減小超調(diào)量，進而減小調(diào)節(jié)時間，得到較為理想的響應(yīng)曲線。

第75頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月下面用相平面法來分析系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)之間滿足系統(tǒng)的分段線性方程為：第76頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月單位階躍信號輸入時，

上述微分方程可寫為：

兩條開關(guān)線為e=±e0系統(tǒng)的分段線性方程為：在區(qū)域，平衡點在坐標原點，為虛奇點，由于微分方程的特征根為共軛復(fù)數(shù)，故相軌跡為對數(shù)螺旋線在區(qū)域，平衡點在坐標原點，為實奇點，由于微分方程的特征根為兩個負數(shù)，故相軌跡為拋物線。第77頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月2：滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)變結(jié)構(gòu)控制規(guī)律為：

u(t)=r+kc=kc，k可取為2或-3?？刂葡到y(tǒng)的微分方程為：

當k=2時，可得到一個線性二階系統(tǒng)，其微分方程為：

特征根為-1和+3，平衡點在坐標原點，為一鞍點2-3第78頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)的微分方程為：

當k=-3時，可得到另一個線性二階系統(tǒng)，其微分方程為：

特征根為1±j，平衡點在坐標原點，為一不穩(wěn)定的焦點2-3第79頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)假設(shè)開關(guān)切換按下式進行：

其中開關(guān)線為：

第80頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月可以看出，系統(tǒng)的相軌跡在開關(guān)線上存在滑動，此時的系統(tǒng)稱為滑模變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。相軌跡一旦進入開關(guān)線，系統(tǒng)的動態(tài)性能即相當于一個一階系統(tǒng)(此時微分方程為σ=0)。由于系統(tǒng)的參數(shù)的變化不影響開關(guān)線的選擇，故系統(tǒng)具有較高的魯棒性。另外相軌跡滑動時，系統(tǒng)的性能由開關(guān)線決定，所以合理地選擇開關(guān)線可使系統(tǒng)具有良好的性能。

第81頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月3：控制信號受限制的時間最優(yōu)控制若系統(tǒng)的微分方程式為：

式中，u是控制信號，其幅值受到限制，即有：

可以證明，系統(tǒng)的最優(yōu)控制規(guī)律是繼電型的控制，也就是說，控制信號的大小始終是最大值，而信號的符號交替地取正或負，最多有n-1次轉(zhuǎn)換。時間最優(yōu)控制的提法是：在控制信號受到限制的條件下，找出系統(tǒng)的控制規(guī)律，使系統(tǒng)的輸出量以最短的時間從原值變到所要求的給定值。第82頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月當輸入是階躍信號時其解為：

時間—最優(yōu)轉(zhuǎn)換元件最優(yōu)控制規(guī)律的函數(shù)f(e)：第83頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月8-4描述函數(shù)

一.描述函數(shù)的一般概念

考慮圖示非線性環(huán)節(jié)N，其輸入為x(t)，輸出為y(t)。若輸入信號為正弦函數(shù)，即：N一般情況下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)是與輸入信號同頻率的非正弦周期函數(shù)，且此周期函數(shù)可以展成傅里葉級數(shù)：

第84頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月如果非線性特性是奇對稱的(即非線性特性關(guān)于原點對稱,如死區(qū)特性、飽和特性等)，則A0=0，說明輸出信號中不含有直流分量，此時若只考慮輸出信號中的一次諧波分量，而把高次諧波分量忽略，即近似認為：非線性特性的描述函數(shù)就是當輸入是正弦信號Xsinωt時，其穩(wěn)態(tài)輸出的一次諧波分量對輸入正弦量的復(fù)數(shù)比，其數(shù)學(xué)表達式如下：

第85頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月若非線性的特性是單值奇對稱的，那么y(t)是奇函數(shù)，則A1=0，ψ1=0，N(X)=B1/X，即描述函數(shù)N(X)是輸入信號幅值X的實函數(shù)。

第86頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月二.典型非線性特性的描述函數(shù)

1：死區(qū)特性的描述函數(shù)

在信號x(t)=Xsinωt作用下輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達式為：

式中Δ為死區(qū)范圍，K為線性部分的斜率。由于死區(qū)特性是單值奇對稱的，所以A1=0，ψ1=0。B1可按下式計算：

Δπ2π2π第87頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月式中Δ為死區(qū)范圍，K為線性部分的斜率。由于死區(qū)特性是單值奇對稱的，所以A1=0，ψ1=0。B1可按下式計算：

第88頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月于是可得死區(qū)特性的描述函數(shù)為：

第89頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月由于飽和特性是單值奇對稱的，所以A1=0，ψ1=0。B1可按下式計算：

π2π2ππ2：飽和特性的描述函數(shù)

飽和特性在正弦信號x(t)=Xsinωt作用下輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達式為：第90頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月飽和特性的描述函數(shù)為：

第91頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月3：間隙特性的描述函數(shù)間隙特性在正弦信號x(t)=Xsinωt作用輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達式為：

2π2πK由于間隙特性為多值函數(shù)，所以A1、B1都需要計算：第92頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月間隙特性在正弦信號x(t)=Xsinωt作用輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達式為：

由于間隙特性為多值函數(shù)，所以A1、B1都需要計算：第93頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月于是可得間隙特性的描述函數(shù)為：

第94頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月4：繼電特性的描述函數(shù)繼電特性在正弦信號x(t)=Xsinωt作用下輸出y(t)的數(shù)學(xué)表達式為：

2π第95頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月于是可得繼電特性的描述函數(shù)為：第96頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月令m=1,得三位置理想繼電特性的描述函數(shù)：

令m=-1,得具有滯環(huán)的兩位置繼電特性的描述函數(shù)：

下表列出了一些常見非線性特性的描述函數(shù)，以供查用。令h=0,得兩位置理想繼電特性的描述函數(shù)：

于是可得繼電特性的描述函數(shù)為：第97頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第98頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第99頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月第100頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月5：組合非線性特性的描述函數(shù)

(1)：非線性特性的并聯(lián)計算N1(X)N2(X)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后總輸出為兩個非線性環(huán)節(jié)的輸出之和，即：

若將y(t)展開成傅里葉級數(shù)，則y(t)的一次諧波分量應(yīng)為y1(t)和y2(t)的一次諧波分量之和，按照描述函數(shù)的定義，總的描述函數(shù)應(yīng)為：

第101頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)：非線性特性的串聯(lián)計算當兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其總的描述函數(shù)不等于兩個非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積，而是需要通過折算，先求出這兩個非線性環(huán)節(jié)的等效非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求總的描述函數(shù)。一般說來，兩個非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的前后次序不同，其等效的非線性特性不同，總的描述函數(shù)也不一樣，這是與線性環(huán)節(jié)串聯(lián)的區(qū)別。

第102頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月8-5用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)

一.系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)及基本條件

設(shè)非線性系統(tǒng)經(jīng)過等效變換，可表示為線性部分G與非線性部分N相串聯(lián)的典型結(jié)構(gòu)，如圖所示。

對非線性系統(tǒng)進行分析，首先考慮和關(guān)心的是穩(wěn)定性和自持振蕩。NG描述函數(shù)法對系統(tǒng)的基本假設(shè)是：1：非線性系統(tǒng)可歸納為圖示的典型結(jié)構(gòu)。2：非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出中，高次諧波幅值小于一次諧波幅值，且非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是奇對稱的，以保證非線性環(huán)節(jié)的輸出中不包含直流分量。3：系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。

第103頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月二.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

假設(shè)非線性部分和線性部分滿足描述函數(shù)法對系統(tǒng)的要求，則非線性部分的特性可用描述函數(shù)表示，線性部分的特性可用頻率特性表示，于是非線性系統(tǒng)可看作一個等效的線性系統(tǒng)：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：

若假設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為正弦信號Xsinωt，其幅值X和頻率ω滿足上式，由于在系統(tǒng)的輸出端出現(xiàn)的正弦信號為-Xsinωt，系統(tǒng)中出現(xiàn)了等幅振蕩，系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩的條件：NG第104頁，課件共113頁，創(chuàng)作于2023年2月非線性系統(tǒng)中的負倒描述函數(shù)相當于線性系統(tǒng)中的-1。在復(fù)平面上，非線性系統(tǒng)中的負倒描述函數(shù)曲線相當于線性系統(tǒng)中的(-1,j0)點。據(jù)此，可以把線性系統(tǒng)中的乃氏判判據(jù)推廣到非線性系統(tǒng)中去。若G(S)的極點均在左半S平面，則推廣的乃氏判據(jù)可敘述如下：若G(jω)曲線不包圍曲線，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若G(j