第十六章振動理論基礎(chǔ)§16-1單自由度系統(tǒng)的自由振動§16-2計算系統(tǒng)固有頻率的能量法§16-3單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動§16-4單自由度系統(tǒng)的受迫振動§16-5隔振的概念1整理課件機(jī)械系統(tǒng)在其平衡位置附近所作的往復(fù)運動稱為振動。振動現(xiàn)象普遍存在于自然界和工程技術(shù)中，如地震。本章僅研究單自由度系統(tǒng)的微振動，討論振動的基本特征。談?wù)劚緦I(yè)內(nèi)有關(guān)振動問題??？？2整理課件系統(tǒng)偏離平衡位置后，僅在恢復(fù)力作用下維持的振動稱為自由振動。§16-1單自由度系統(tǒng)的自由振動圖示為單自由度系統(tǒng)自由振動的簡化模型，它是從實際振動系統(tǒng)中抽象出的簡圖。設(shè)彈簧原長為lo，剛度為k，物塊質(zhì)量為m，靜平衡時，彈簧變形為δst（稱靜變形），有3整理課件以平衡位置為原點，建立圖示坐標(biāo)。物塊在一般位置的受力如圖示，則其振動微分方程為令，代入上式，得單自由度系統(tǒng)自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式4整理課件其通解頻率周期積分常數(shù)A和θ分別為振幅和初位相。它們由運動的初始條件決定。圓頻率（或固有圓頻率、固有頻率）5整理課件頻率和周期只與系統(tǒng)本身所固有的慣性和彈性有關(guān)，而與運動的初始條件無關(guān)，是描述振動系統(tǒng)基本性質(zhì)的重要物理量。6整理課件質(zhì)量m=0.5kg的物塊，沿光滑斜面無初速滑下，如圖所示。當(dāng)物塊下落高度h=0.1m時撞于無質(zhì)量的彈簧上并不再分離。彈簧剛度k=0.8kN/m，傾角β＝300，求系統(tǒng)振動的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運動方程。例16-17整理課件解：物塊在平衡位置時，彈簧靜變形以此位置為原點O，建立圖示坐標(biāo)。物塊受力如圖，其運動微分方程為化簡后得系統(tǒng)的固有頻率8整理課件當(dāng)物塊碰上彈簧時，取時間t=0，作為振動的起點。則運動的初始條件：初位移初速度得振幅及初位相mm物塊的運動方程9整理課件如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為m的物塊，其靜撓度（靜變形）為2mm。若將物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動規(guī)律。

例16-210整理課件解：此無重彈性梁相當(dāng)于彈簧，其剛性系數(shù)取重物平衡位置為坐標(biāo)原點，x軸方向鉛直向下，運動微分方程為:式中圓頻率11整理課件在初瞬時t＝0，物塊位于未變形的梁上，其坐標(biāo)x0＝－δst=－2mm，初速v0=0，則初位相振幅系統(tǒng)的振動規(guī)律mmmm12整理課件等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧

★并聯(lián)彈簧下圖表示剛度分別為k1和k2的兩個彈簧并聯(lián)的兩種形式，其分析方法相同。由平衡方程得式中為并聯(lián)彈簧的等效彈簧剛度。n個并聯(lián)彈簧的等效剛度13整理課件★串聯(lián)彈簧圖示為串聯(lián)彈簧。靜平衡時，變形分別為和。彈簧總伸長等效彈簧剛度n個彈簧串聯(lián)，則有14整理課件圖為一擺振系統(tǒng)。桿重不計，球質(zhì)量為m，擺對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，彈簧剛度為k，桿于水平位置平衡，尺寸如圖。求系統(tǒng)微小振動的運動微分方程及振動頻率。例16-315整理課件解：擺處于平衡位置時，彈簧已壓縮由平衡方程有以平衡位置為角坐標(biāo)原點，擺繞軸O的轉(zhuǎn)動微分方程得系統(tǒng)自由振動微分方程固有頻率★可見，只要以平衡位置為坐標(biāo)原點，系統(tǒng)的運動微分方程具有標(biāo)準(zhǔn)形式。16整理課件§16-2計算系統(tǒng)固有頻率的能量法對于單自由度的保守系統(tǒng)，固有頻率可簡便地由機(jī)械能守恒定律求出，稱為能量法。設(shè)圖示系統(tǒng)作簡諧振動，則有若以平衡位置為勢能零點，則系統(tǒng)勢能17整理課件系統(tǒng)動能由機(jī)械能守恒，即T+V＝常數(shù)，則系統(tǒng)固有頻率表明；如取平衡位置為勢能零點，則可以彈簧在平衡位置的長度為原長計算彈性勢能，而不考慮重力勢能。只要寫出系統(tǒng)的動能和以平衡位置為零點的勢能，即可確定系統(tǒng)的固有頻率，而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。

18整理課件圖示為兩個相同的塔輪。齒輪半徑皆為R，半徑為r的鼓輪上繞有細(xì)繩，輪Ⅰ上連一鉛直彈簧，輪Ⅱ上掛一重物。塔輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量皆為J，彈簧剛度為k，重物質(zhì)量為m。求系統(tǒng)振動的固有頻率。例16-419整理課件解：以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取

x

為廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)振動的規(guī)律為則塔輪角速度系統(tǒng)動能20整理課件取平衡位置為勢能零點，系統(tǒng)的勢能為由得系統(tǒng)的固有頻率21整理課件在如圖示的振動系統(tǒng)中，擺桿AO對鉸鏈O的轉(zhuǎn)動慣量為J，在A水平位置處于平衡，求系統(tǒng)微振動的固有頻率。例16-522整理課件解：取擺角為廣義坐標(biāo)，設(shè)其變化規(guī)律為系統(tǒng)動能以平衡位置為勢能零點，系統(tǒng)勢能由得固有頻率23整理課件如圖所示，質(zhì)量為m

，半徑為r的圓柱體，在半徑為R的圓弧槽上作無滑動的滾動。求圓柱體在平衡位置附近作微小振動的固有頻率。例16-624整理課件解：取擺角為廣義坐標(biāo)，設(shè)其微振動規(guī)律為圓柱體中心O1的速度由運動學(xué)知，當(dāng)圓柱體作純滾動時，角速度系統(tǒng)動能25整理課件整理后得系統(tǒng)的勢能為重力勢能，取圓柱在最低處時的圓心位置C為勢能零點，則系統(tǒng)勢能圓柱體作微振動26整理課件由得27整理課件§16-3單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動由于阻力作用，自由振動的振幅將逐漸衰減，最后趨于靜止。產(chǎn)生阻尼的原因很多，不同的阻尼具有不同的性質(zhì)。以下僅討論阻力與速度成正比的粘性阻尼或稱線性阻尼。即式中負(fù)號表明阻力與速度方向相反，阻尼系數(shù)c取決于阻尼介質(zhì)的性質(zhì)和物體的形狀。28整理課件1、有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圖（a）為一有阻尼的質(zhì)量--彈簧系統(tǒng)。取平衡位置為坐標(biāo)原點，受力如圖（b）。阻力微分方程為或化簡得代入上式得衰減振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式令29整理課件2、微分方程的解設(shè)，代入式中，得特征方程方程的兩個根通解有三種可能情形：

30整理課件★小阻尼情形當(dāng)或時，稱為小阻尼。此時令則得運動方程如圖所示。由于振幅隨時間不斷衰減，故稱為衰減振動。31整理課件衰減振動的周期令稱為阻尼比。周期Td較無阻尼自由振動的周期T略有增加。阻尼對周期的影響很小，可忽略不計，取Td≈T。則32整理課件阻尼對振幅的影響為描述振幅Ai的衰減，引入減幅系數(shù)η（或稱振幅縮減率）。由圖示得上式表明：衰減振動的振幅按幾何級數(shù)遞減。阻尼對自由振動的振幅影響較大。例如：ζ＝0.05時，Td＝1.00125T而經(jīng)過10個周期后，振幅只及原振幅的4.3%。33整理課件初始幅值A(chǔ)和初位相θ取決于初始條件。對上式兩邊取對數(shù)得對數(shù)縮減率所以設(shè)t＝0時，，，則有34整理課件★臨界阻尼情形當(dāng)或時，稱為臨界阻尼。此時，。微分方程的解為不具有振動的特點，積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運動圖如圖所示。35整理課件★大阻尼情形當(dāng)或時，稱為大阻尼。此時微分方程的解為積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運動圖如圖所示。36整理課件圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為k1，圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。如圓盤外緣受到與轉(zhuǎn)動速度成正比的切向阻力，其衰減扭振的周期為Td。求圓盤所受阻力偶的矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系。例16-737整理課件解：盤外緣切向阻力與轉(zhuǎn)動速度成正比，則此阻力偶矩M與角速度ω成正比，且轉(zhuǎn)向相反。設(shè)，μ為阻力偶系數(shù)，則圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動的微分方程為或由此得衰減振動周期38整理課件則阻力偶系數(shù)得39整理課件§16-4單自由度系統(tǒng)的受迫振動振動系統(tǒng)在外加持續(xù)激勵下的振動稱為受迫振動。下面僅討論簡諧激勵情形。圖示為三種類型的簡諧激勵，分別是：激勵力直接作用；彈簧端點運動引起的激勵和偏心轉(zhuǎn)子引起的激勵。40整理課件1、激振力直接作用下的受迫振動★振動微分方程圖為受迫振動系統(tǒng)的簡化模型。激振力其中，H為最大激振力，ω為激振力的圓頻率。以平衡位置為坐標(biāo)原點，則：令整理化簡后，得單自由度系統(tǒng)受迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式41整理課件★微分方程的解方程的通解由兩部分構(gòu)成：對應(yīng)的齊次方程的通解和該方程的一個特解。上式右端第一項為衰減振動，經(jīng)過短暫時間，即趨于衰減，稱瞬態(tài)響應(yīng)。最后得到持續(xù)的等幅振動，稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)的受迫振動由式可知，受迫振動的頻率等于激振力的頻率。將上式代入微分方程式，化簡后得到受迫振動的振幅和位相差

42整理課件式中分別稱為頻率比、阻尼比和由最大激振力引起的彈簧的靜變形。43整理課件受迫振動的振幅與靜變形之比稱放大系數(shù)，即當(dāng)ζ一定，β與λ間的關(guān)系如圖所示，稱為幅頻特性曲線。由圖可知：★幅頻特性①當(dāng)λ＜＜1時，阻尼對振幅的影響很小，可忽略不計。

②共振區(qū)λ=0.75～1.25。在此區(qū)域內(nèi)阻尼對振幅有顯著影響，λ≈1時，振幅急劇增加出現(xiàn)峰值的現(xiàn)象，稱為共振。對應(yīng)曲線峰值的頻率，稱為系統(tǒng)的共振頻率。44整理課件③當(dāng)λ＞＞1時，阻尼對振幅影響可忽略不計。小阻尼時，共振頻率近似等于固有頻率，共振振幅近似與阻尼比成反比，即45整理課件相頻特性曲線如圖所示。由圖可知，當(dāng)有阻尼時，ε隨頻率比ω/ωn連續(xù)變化。①當(dāng)λ＜＜1時，ε≈0，受迫振動位移與激振力接近同位相。

②當(dāng)λ＞＞1時，ε≈π，受迫振動與激振力接近反位相。

③當(dāng)λ＝1時，，與阻尼大小無關(guān)，這是共振時的一個重要特征。★相頻特性工程上利用此特點，通過實驗測定系統(tǒng)固有頻率ωn。46整理課件2、彈簧端點作簡諧運動引起的受迫振動振動系統(tǒng)的簡化模型如圖所示。設(shè)臺面光滑，端點A的運動規(guī)律則彈簧恢復(fù)力微分方程令得與激振力直接作用下的受迫振動形式相同。前述有關(guān)受迫振動的討論適用于此。47整理課件3、偏心轉(zhuǎn)子引起的受迫振動電機(jī)Ⅱ安裝在基礎(chǔ)Ⅰ上，如圖所示，彈性地基簡化為剛度為k的彈簧。設(shè)基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電機(jī)定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，偏心距e。轉(zhuǎn)子以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。由于偏心，系統(tǒng)將沿鉛垂方向作受迫振動。建立圖示坐標(biāo)軸Ox

。系統(tǒng)在平衡位置時，有轉(zhuǎn)子質(zhì)心的加速度48整理課件由質(zhì)心運動定理，得得令得微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式與激振力直接作用下的受迫振動微分形式相同。49整理課件令則代入注意到激振力幅值與其頻率有關(guān)，得系統(tǒng)受迫振動的振幅放大系數(shù)50整理課件幅頻特性曲線如圖所示當(dāng)λ≈0時，b≈0，β≈0；

當(dāng)λ>>1時，β又逐漸減少，當(dāng)λ很大時，β≈1；

當(dāng)λ=1時發(fā)生共振，此時轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。51整理課件圖示為一測振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度為k。測振儀放在振動物體表面，并隨物體而運動。設(shè)物體的振動規(guī)律為求測振儀中物塊的運動微分方程及其受迫振動規(guī)律。例16-852整理課件解：測振儀隨物體振動，則其彈簧懸掛點的運動規(guī)律為取t=0時物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點，取x軸如圖。在任一瞬時t，彈簧的變形為物塊的運動微分方程注意到，，上式整理后，得53整理課件受迫振動規(guī)律為此時激振力的力幅為H=ke，由式得由于測振儀殼體也在運動，其振幅為e

，因而圖中記錄紙上畫出的振幅為物塊相對于測振儀的振幅。由式②可知，當(dāng)時，，有，物塊幾乎不動，記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。54整理課件例16-9圖為一無重剛桿。一端鉸支，距鉸支端l處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，距2l處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，A端有一剛度為k的彈簧，并作用一簡諧激振力。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率ωn，以及當(dāng)激振力頻率ω等于ωn

時質(zhì)點的振幅。55整理課件解：取擺角θ為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點。整理后得令當(dāng)時，得振幅（最大擺角）質(zhì)點的振幅受力如圖示。由剛體轉(zhuǎn)動微分方程得56整理課件電動機(jī)Ⅱ安裝在基礎(chǔ)Ⅰ上，基礎(chǔ)下面是彈性基地，如圖所示。已知地基的彈性系數(shù)為k，基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電動機(jī)定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子有偏心距e，轉(zhuǎn)子以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。求：（1）基礎(chǔ)的強(qiáng)迫振動的振幅；（2）基礎(chǔ)對電動機(jī)的鉛直動約束力。φexym1gCOⅠⅡ平衡位置mgm2gF例16-10571.將電動機(jī)和基礎(chǔ)看成一質(zhì)點系分析它的運動和受力情況彈性力(a)(b)(c)解:φexym1gCOⅠⅡ平衡位置mgm2gF應(yīng)用得因為平衡時則有58

（2）

(d)根據(jù)振動理論，系統(tǒng)的固有頻率為強(qiáng)迫振動的規(guī)律為其振幅為(e)(f)(g)或φexym1gCOⅠⅡ平衡位置mgm2gF592.求地基對電動機(jī)的鉛直動約束力。由此求出動約束力(h)將式(f)對t微分兩次，并將式(g)代入后，有(f)(g)φeyCOⅡmgm2gFN取電動機(jī)為研究對象，由質(zhì)心運動定理得60§16-5隔振的概念減輕振動的危害，在工程上是一個重要的研究課題。通常有以下的減振措施：★抑制振源強(qiáng)度

例如，對高速轉(zhuǎn)子進(jìn)行靜平衡和動平衡試驗，以消除不平衡的慣性力；為減小車輛振動提高路面或軌道的質(zhì)量；減小高層建筑的迎風(fēng)面積以降低風(fēng)載等。

★消振

采用多種形式的消振器，如動力消振器，阻尼消振器等。

★隔振

將振源與減振體隔開，隔斷振動的傳播，降低振源的影響。

本節(jié)只討論隔振的理論基礎(chǔ)。按照研究對象的不同，分為主動隔振和被動隔振。其隔振效果均以隔振系數(shù)表示。61整理課件主動隔振

主動隔振是將振源與支承它的基礎(chǔ)隔開。研究的對象是振源本身。如電機(jī)、水泵、鑄壓機(jī)械等。為減小機(jī)器的振動對周圍環(huán)境的影響，墊上橡膠、枕木等彈性支承，以降低振動傳到基礎(chǔ)上的強(qiáng)度。圖為主動隔振的簡化模型，激振力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動規(guī)律振幅62整理課件物塊振動時，通過彈簧和阻尼器傳到地基上的力分別為它們以相同的頻率作簡諧變化，但相位差。用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖所示。隔振之后傳給地基的力的最大值和主動隔振系數(shù)（力的傳遞率）63整理課件圖是在不同阻尼情況下的η～λ曲線。由圖可知，只有當(dāng)時才有意義。即以后才有隔振效果。