湖北省荊州市黃金口中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.“l(fā)og2a＞log2b”是“2a＞2b”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．分析：分別解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的關(guān)系，然后根據(jù)a，b的范圍，確定充分條件，還是必要條件．解答：解：2a＞2b?a＞b，當(dāng)a＜0或b＜0時(shí)，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．∴“l(fā)og2a＞log2b”是“2a＞2b”的充分不必要條件．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，必要條件、充分條件與充要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．2.已知向量與的夾角為60°，||=2，||=5，則2﹣在方向上的投影為（）A． B．2 C． D．3參考答案：A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與投影的定義，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵向量與的夾角為60°，且||=2，||=5，∴（2﹣）?=2﹣?=2×22﹣5×2×cos60°=3，∴向量2﹣在方向上的投影為=．故選：A．3.若集合，，則M∪N=（

）A.(－3,2) B.(－4,2) C.(－∞,4) D.(－∞,3)參考答案：D【分析】求出集合，根據(jù)并集的定義可求得結(jié)果.【詳解】，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4.某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這兩個(gè)班隨機(jī)選出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別選出的人數(shù)是

（A）8人，8人

（B）15人，1人

（C）9人，7人

（D）12人，4人

參考答案：C略5.已知，設(shè)函數(shù)F(x)=f(x+3)g(x－4),且F(x)的零點(diǎn)均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b)內(nèi),則b－a的最小值為(

)(A)8

(B).9

(C).10

(D)..11

參考答案：驗(yàn)證，易知時(shí)，；時(shí)，所以在上恒成立，故在上是增函數(shù)，又，∴只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，則.同理可證明也只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，且.故有個(gè)不同零點(diǎn)，,即將向左平移個(gè)單位，即將向右平移個(gè)單位，∴，，又函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，且，故當(dāng)，時(shí)，即的最小值為，故選6.曲線在處的切線方程為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：略7.若函數(shù)f（x）=x2+a|x﹣|在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣2，0] B．[﹣4，0] C．[﹣1，0] D．[﹣，0]參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】去絕對(duì)值，由已知條件知，函數(shù)x2+ax﹣a在[1，+∞）單調(diào)遞增，x2﹣ax+a在[0，1）單調(diào)遞增，得到關(guān)于a的不等式組，解該不等式組即得a的取值范圍．【解答】解：f（x）=x2+a|x﹣|=，要使f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則：，得﹣1≤a≤0，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣1，0]，故選：C．8.已知函數(shù)y=f（x）的定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（﹣x）（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），若a=f（），b=（lg3）f（lg3），c=（log2）f（log2），則（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．a(chǎn)＞c＞b參考答案：A【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；對(duì)數(shù)值大小的比較；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】設(shè)F（x）=xf（x），根據(jù)題意得F（x）是偶函數(shù)且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，由此比較、lg3和2的大小，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，不難得到本題的答案．【解答】解：設(shè)F（x）=xf（x），得F'（x）=x'f（x）+xf'（x）=xf'（x）+f（x），∵當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（﹣x），且f（﹣x）=﹣f（x）∴當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，xf′（x）+f（x）＜0，即F'（x）＜0由此可得F（x）=xf（x）在區(qū)間（﹣∞，0）上是減函數(shù)，∵函數(shù)y=f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，∴F（x）=xf（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）上F（x）=xf（x）是增函數(shù)．∵0＜lg3＜lg10=1，∈（1，2）∴F（2）＞F（）＞F（lg3）∵=﹣2，從而F（）=F（﹣2）=F（2）∴F（）＞F（）＞F（lg3）即＞＞（lg3）f（lg3），得c＞a＞b故答案為：A9.若某多面體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此多面體的體積是

（

）A．cm3

B．

cm3

C．cm3

D．cm3參考答案：B10.已知，若正實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足，則a的取值范圍為（

）A. B.或C.或 D.參考答案：C【分析】先判斷是上的增函數(shù)，原不等式等價(jià)于，分類(lèi)討論，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)榕c都是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，又因?yàn)樗缘葍r(jià)于，由，知,當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故，從而；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，從而，綜上所述，的取值范圍是或，故選C.【點(diǎn)睛】解決抽象不等式時(shí)，切勿將自變量代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解，首先應(yīng)該注意考查函數(shù)的單調(diào)性．若函數(shù)為增函數(shù)，則；若函數(shù)為減函數(shù)，則．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)在[0，3]上的最大值和最小值分別是_______.參考答案：5，-15;提示：求出極值和端點(diǎn)值，比較大小。12.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若點(diǎn)滿(mǎn)足則取得最小值時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是________.參考答案：由得，，所以不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椋驗(yàn)?，所以，令，則，做平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)最小，所以當(dāng)點(diǎn)B位于C時(shí)，取得最小值，此時(shí)坐標(biāo)為。13.給出下列6個(gè)命題：

（1）若//，//，則//（2）若，，則；（3）對(duì)任意向量都有；

（4）若存在使得，則向量//；（5）若//，則存在使得；

（6）已知，若//，則其中正確的是

．參考答案：（4）略14.已知向量與的夾角為,且,若,且,則實(shí)數(shù)．參考答案：7/1215.

把函數(shù)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)后得到函數(shù)圖象,對(duì)于函數(shù)有以下四個(gè)判斷：①該函數(shù)的解析式為；

②該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③該函數(shù)在上是增函數(shù)；④函數(shù)在上的最小值為,則．其中，正確判斷的序號(hào)是________________________參考答案：②④16.已知復(fù)數(shù)z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i為虛數(shù)單位，aR)．若z1z2為實(shí)數(shù)，則a的值為

．參考答案：417.如下圖所示的程序框圖，輸也的結(jié)果是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù)（1）設(shè)是的內(nèi)角，且為鈍角，求的最小值；（2）設(shè)是銳角的內(nèi)角，且,求的三個(gè)內(nèi)角的大小和邊的長(zhǎng)。參考答案：（1）………………3分是的內(nèi)角，且為鈍角，………………4分的最小值為………5分

………………………6分（2）……7分是銳角的內(nèi)角

又………10分由及可得解得…………12分19.設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．（1）求f（x）的最大值，并寫(xiě)出使f（x）取得最大值時(shí)x的集合；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理．【分析】（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=cos（2x+）+1，由三角函數(shù)的最值可得；（2）解2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可得單調(diào)遞增區(qū)間；（3）由（2）和f（B+C）=可得角A=，由余弦定理和基本不等式可得．【解答】解：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，當(dāng)2x+=2kπ即x=kπ﹣（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最大值2，此時(shí)x的集合為{x|x=kπ﹣，k∈Z}；（2）由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[得kπ+，kπ+]，k∈Z；（3）由（2）可得f（B+C）=cos（2B+2C+）+1=，∴cos（2B+2C+）=，由角的范圍可得2B+2C+=，變形可得B+C=，A=，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣3（）2=1當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)取等號(hào)，故a的最小值為120.設(shè)函數(shù)f（x）=（x﹣a）lnx+b．（1）當(dāng)a=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）在[，+∞）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)a＞1且函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】（1）先求導(dǎo)，求出函數(shù)的最小值，再根據(jù)最小值和0的關(guān)系分類(lèi)討論即可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，（2）函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值時(shí)，則函數(shù)f（x）在（1，e）上不單調(diào)，先求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+，得到函數(shù)在（1，e）上單調(diào)遞增，即可以得到，解得即可【解答】解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx+b，∴f′（x）=1+lnx≥0在[，+∞）上恒成立，∴f（x）在[，+∞）單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（）=﹣+b，當(dāng)﹣+b≤0時(shí)，即b≥時(shí)，函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)﹣+b＞0時(shí)，即b=，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，（2）∵f′（x）=lnx+，x∈（1，e）令g（x）=lnx+，∴g′（x）=+＞0恒成立，∴g（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，∴g（x）＞g（1）=1﹣a，g（x）＜g（e）=2﹣，∵函數(shù)f（x）在（1，e）上有極小值，∴，解得1＜a＜2e，故a的取值范圍為（1，2e）21.（本題滿(mǎn)分12分）己知斜三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為菱形，，平面平面ABC，M、N是AB,的中點(diǎn)．(I)求證：CM//平面．(II)求證：BN；參考答案：證明：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接,.因?yàn)?分別是,的中點(diǎn)，所以∥,………2分又因?yàn)椤?所以∥且所以四邊形為平行四邊形，所以∥．………………4分又因?yàn)槠矫妫矫?，所以∥平面．……?分（Ⅱ）取的中點(diǎn),連結(jié)，.由題意知，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

所以平面．

…………8分因?yàn)槠矫?/p>

所以因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以又因?yàn)椤?所以所以平面，又平面

…………10分所以．

……………12分22.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最大值；（2）試討論函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)情況；（3）設(shè)ak，bk，…（k=1，2，…，n）均為正數(shù)，若a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求證：…≤1．參考答案：考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；不等式的證明．專(zhuān)題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）=lnx﹣ax在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，故fmax（x）=f（1）．（2）由y=f（x）=0可得lnx=ax，故函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=lnx與y=ax的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．結(jié)合圖象可得，當(dāng)a≤0或a=時(shí)，y=f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜時(shí)，y=f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＞時(shí)，y=f（x）沒(méi)有零點(diǎn)．（3）由（1）可得，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，lnx≤x﹣1，可得lnak＜ak﹣1，故bk?lnak＜bk（ak﹣1）=bk?ak﹣bk．可得ln+ln+…+ln＜a1b1+a2b2+…+anbn﹣（b1+b2+…+bn），再由已知條件證得…≤1成立．解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=﹣1，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0．故函數(shù)f（x）=lnx﹣ax在（0，1）上是增函數(shù)，在（