數(shù)學(xué)試卷第1數(shù)學(xué)試卷第1頁（共6頁）數(shù)學(xué)試卷第2頁（共6頁）絕密★啟用前在 此在 此 卷 上 答 題 無 效數(shù) 學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用 時120分鐘.第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁.A B答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在考生號祝各位考生考試順利！考生號注意事項：

第Ⅰ卷

3.y

4xx1

C D的圖象大致為 （9545分.姓名參考公式：姓名·ABPABPAPB.·ABPABPAPB.·球的表面積公式S4R2，其中R表示球的半徑.一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.畢業(yè)學(xué)校1.設(shè)全集U，集合A，B，則AUB畢業(yè)學(xué)校

從一批零件中抽取0（m將所得數(shù)據(jù)分為93，5，…，7，9，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽的件，徑在區(qū)間7內(nèi)個為 （）A.C.

B.D.

（）2.設(shè)aR，則“a＞1”是“a2＞a”的（）充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

A.10 B.18 C.20 D.36數(shù)學(xué)試卷第3數(shù)學(xué)試卷第3頁（共6頁）數(shù)學(xué)試卷第4頁（共6頁）若棱長為

的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 （）

第Ⅱ卷3A.12 B.C.D.14431

注意事項：6.設(shè)a30.7b3C.

，clog0.8，則a，b，c的大小關(guān)系為 （）B.D.

用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.105分.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個xy設(shè)雙曲線C的方程為a

1a＞0，b＞0，過拋物線y4x的焦點和點0，b的b

的給3分，全部答對的給5分.10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)8i.直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為（）

2

2ixy

y

在x

x的展開式中，x的系數(shù)是.A.144xxC. y1

B.x14D.xy1x3y80xyrr＞0AAB6r4fxx.給出下列結(jié)論：

的值為.13.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為1 1和.假定兩球是否落入盒子互不影響，則和.假定兩球是否落入盒子互不影響，則 3 23 ①fx的最小正周期為2；2②f是fx2ysinxyfx的圖

甲、乙兩球都落入盒子的概率為；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.14.已知a＞0，b＞0，且ab1，則118的最小值為.2a2bab3

315.如圖，在四邊形ABCD中，B象.

60

3

6

AD?AB ，2其中所有正確結(jié)論的序號是 （）A.① B.①③ C.②③ D.①②③x3，x≥0，

則實數(shù)MN是線段CN1M?N的最小值為.9fxx，xk的取值范圍是A.12

若函數(shù)gxfxkx22xkR恰有4個零點，則（） 2 B.122 2 C.022D.02

三、解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（一）必考題：共60分.數(shù)學(xué)試卷第5數(shù)學(xué)試卷第5頁（共6頁）數(shù)學(xué)試卷第6頁（共6頁）16.（本小題滿分14分）2在△ABCA所對的邊分別為a.已知a22（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）求sinA的值；

5 .

19.（本小題滿分15分）已知a11154.（Ⅰ求a和（Ⅱ）記a的前n項和為S，求證：SS＜S2n133a2b13 ，n為奇數(shù)，（Ⅲ）求sin2A4的值.

nc

aa

求數(shù)列c的前2n項和. 17.（本小題滿分15分）ABCACBCACBC2，

20.（16分

a，n為偶數(shù)ab考生號3D，E和棱AD1，CE2，M的中點.考生號

已知函數(shù)fxxklnxkR，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)k6時，yfx在點1處的切線方程；gxfxfx9的單調(diào)區(qū)間和極值；x（Ⅱ）當(dāng)≥3時，求證：對任意的，且＞2，有姓名（Ⅰ）求證：C1MB1D；姓名（Ⅱ）求二面角BB1ED的正弦值；（Ⅲ）求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.畢業(yè)學(xué)校18.（本小題滿分15分）畢業(yè)學(xué)校

ffx2

fxfx＞.＞xx已知橢圓xa

10A3FAF，yby在 在 此 卷 上 答 題 無 效其中O為原點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（已知點C滿足CFB（BAB與以CPPABAB的方程.PAGEPAGE1/132020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)答案解析第Ⅰ卷一、選擇題C【解析】首先進行補集運算，然后進行交集運算即可求得集合的運算結(jié)果.由題意結(jié)合補集的定義可知：UB，則AUB.【考點】補集運算，交集運算A等式a2＞a或是a2＞aA.【考點】二次不等式的解法，充分性和必要性的判定A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖fx

4xx2

fxfxCDx1y

41

2＞0，選項B錯誤.故選：A.【考點】函數(shù)圖象的識辨B5.45.475.45.476.255.000.020.2255.45.47內(nèi)零件的個數(shù)為：800.22518.故選：B.【考點】頻率分布直方圖的計算與實際應(yīng)用C2232232232的外半等方體體角的即R 3所這球的2表面積為S4R243236.故選：C.【考點】正方體的外接球的表面積的求法D【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出abc的大小關(guān)系.因為a30.7＞1，11b ac0.71，所以D. 0.7 0.733【考點】指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題D0可求得直線lxy1，即得直線的斜率為bbybx，可得bbbb1即可求出aba a a線的焦點為0lxy1bybx，b a所以bb，bb1，因為a＞0，b＞0，解得a1，b1．故選：D.a a【考點】拋物線的簡單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用Bfx 【解對所選結(jié)弦型數(shù)性逐判即可因為 sinx 以期T3 3

2，故①正確；fsinsin511，故②不正確；將函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左平移 2 2 6 2 2 2 6 2 y

sin

B.3 【考點】正弦型函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移Dfx【解由g00合知問題化為y2與hx 有3不交點分k0，xg00gx恰有4個零點，只需方程2

fx恰有3個實根即可，令hxx

fxy2與hxx

fx的圖象有3個不同交點.xfx x，0

hx

fx因為hx

，當(dāng)k0y21y2與

有2個不同交點，x

xf不滿題；當(dāng)時圖2，時y2與hx 恒有3不點，足意；x2y2yx2x2kx20，令0得k28022k22

（，所以2

k的取值范圍為02.【考點】函數(shù)與方程的應(yīng)用

第Ⅱ卷二、填空題【答案】3【解析】將分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后利用運算化簡可得結(jié)果.8i8i2i1510i32i.故答案為：32i.2i 2i2i 5【考點】復(fù)數(shù)的四則運算10

25x2【解出項開的通公理令x的指為即求出因為x x2

的展開式的通項公2r式為T

Crx5r

Cr2rx53rr5，令5r2，解得r1.所以x2的系數(shù)為x2r1 5 x2 5C1210.故答案為：10.5【考點】二項展開式的通項公式的應(yīng)用5r2r2d2弦長公式AB2

，即可求得r.因為圓心0到直線x

8133y80的距離d 813r2r2d2

可得62

，解得r=5.故答案為：5.rr2421623【解析】根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率關(guān)系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求兩球都不落入12

，1，且兩球是否落3入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為111，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為2 3 611111，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為2.故答案為：1；2. 2

3 3

3 6 3 【考點】獨立事件同時發(fā)生的概率，利用對立事件求概率4【解析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為ab2

8a

，利用基本不等式即可求解.a＞0，b＞0，a，ab1，

1 8

abab 8

ab

8≥2

4，當(dāng)且僅當(dāng)32a a3

2a a

2 abab 82 ab33ab4時取合ab1，解得a2 ，b2ab 82 ab33案為：4.【考點】應(yīng)用基本不等式求最值16

3，b2 132【解析】可得BAD120，利用平面向量數(shù)量積的定義求得的值，然后以點B為坐標(biāo)原點，BC所在直 線為xM0Nx0（其中5MN關(guān)于x數(shù)表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求得DMDN

的最小值.AD

，AD∥BC，DB

1 3，ABADBCABBCABcos120

639 2 2 1BxxBy，6 333

1

D533C6C0B3BC60AA2，2

，又AD6BC,則

2，2，，， ，，

5 33

3 33設(shè)M0，

Nx0

（其中

Mx2

2 Nx22

5 3 332

21 13

DMDNx

x

x24x x22

，所以，當(dāng)x2時，DMDN取得最小 2

22 2 2 值13.故答案為：1；13.2 6 2【考點】平面向量數(shù)量積的計算，平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運算三、解答題（Ⅰ）C4（Ⅱ）sinA21313 1724（Ⅲ）sin2A 4 26【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運算即可.在△ABC2a2b2c2 825132

中，由a2213213

b5c 及余弦定理2225C 22252ab

，又為C0，，所以C .2 42ABC中，由Ca24

，c

13及正弦定理，可得sinAasinCc

22 213

213.13（Ⅲ）先計算出sinA，cosA，進一步求出sin2A，cos2A，再利用兩角和的正弦公式計算即可.由a＜c知角A為銳角，由sinA255cos2Asin1225217134sin2Acos4413213 26

cosA

31sin1sin2A

，進而sin2A2sinAcosA12，132A2cos2

A1 ，所以sin2A .【考點】正、余弦定理解三角形，三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用C為原點，分別以CA、CB、xyz，可得C0、A0、B0、13、13、13、D、E2、M3.

（Ⅰ1M0，1D2，從而1M1D2200，所以1M1D.（Ⅱ）306（Ⅲ）33

計算出向量C1MDC1M0.依題意，以C為原點，分別以A、CB、1x軸、y軸、z（，可得C0、A0、B0、13、13、13、D、E2、M3.

1M0，1D2，從而1M1D2200，所以1M1D.（Ⅱ）可知平面BB1E的一個法向量為CA，計算出平面B1ED的一個法向量為n，利用空間向量法計算出二 面角B1EDCA0是平面B1E

EB，ED.設(shè)nzDBE的法向量，則nE1012yz0

1226 226

nED0 ，不妨設(shè)

x

，可得

n2

.cos＜CA，

nCAn 6，2xz0

CAn 6sin

n

1s2n

BD

30.64226（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線AB與平面D1E所成角的正弦值.依題意，AB04226n2為平面D1Ecos平面DBE所成角的正弦值為3.

An

ABnAB

3.所以，直線AB與31 3【考點】利用空間向量法證明線線垂直，二面角和線面角的正弦值x2y2

118 9（Ⅱ）y1x3，或yx322 2 2

x2 y2

bc

，即可求出橢圓的方程.橢圓a2b21a＞b＞0的一個頂點為A3b3A

，得cb3，又由a2b2c2，得a2323218，所以，橢圓 22的方為x y 1. 2218 9（Ⅱ）ABBP點坐標(biāo)，再根據(jù)AB直線AB與以C為圓心的圓相切于點P，所以CPAB，根據(jù)題意可知，直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y3kx，即ykx3，ykx32 2

y，可得2k21x212kx0x0x

12k .xy1

2k2118 912k

12k

6k23將x2k21代入ykx3，得yk2k2132k21，12k 6k23B的坐標(biāo)為2k2

，12k2

1，因為P為線段ABA的坐標(biāo)為3，所以點P的坐標(biāo)為

6k ，3 ， 2k212k21 由CF，得點C的坐標(biāo)為0，所以，直線CP的斜率為kCP

3 02k21 6k 12k21

3 ，2k26k1又因為CPAB，所以k

32k26k

1，整理得2k23k10，解得k1k1.2所以，直線AB的方程為y1x3或yx3.2【考點】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，中點坐標(biāo)公式以及直線垂直關(guān)系的應(yīng)用（Ⅰ）

n，

2n1（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）

nn1SS

1nn1n2n3，S

1n2n22，n 2 nn2 4 n1 4從而SS

S

1n1nSS

＜S2.nn2

n1 2

nn2

n1n（Ⅲ）4n

6n542n1 94n 9列n的公差為dn的公比為q.由11，55a43，可得d1從而anan.由b14b4q0q24q40q2，從而的通項公式為n 1 nnb2n1.n（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論首先求得數(shù)列an前n項和，然后利用作差法證明即可.證明：由（Ⅰ）可得Snn1n 2

， 故 SnSn2

1nn1n2n3 ，4

2Sn1S

1n12n224

， 從 而SS S

1n1n2＜0S

＜S2.nn2

n1 2

nn2

n1（Ⅲ）分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相減求和計算n nc2k1和c2kcn的前2nk1

k1

3a2b

3n22n1

2n1

2n1當(dāng)n為數(shù)，c n n ，nn當(dāng)n為偶數(shù)時，cn

anan2 nn2nan1n1，n

n2 n2PAGEPAGE10/13n n

22k2 22n對任意的正整數(shù)n，有2k12k

1，k1

k

1 2k1

2n1n n2k1 1 3 5 2n3 2n1和2k4k

44243

4n1 4n ①kk1n 1 3 5 2n3 2n1k由①得42k424344 4nk

4n1②3n 1 2 2 2n

214

14n

1 2n1由①②得

c ，2k4k14

4

4n

14

4 4n1214

14n

1 2n1 2 2 1 1 2n1 1 5 6n5由于 ，11 4

4n1

3 3 4n 4

4

34n1nnk

c2k

56n5.9 94n2n n

4n 6n5 4因此，k2k12k2n n .k1

k1

k1

1 94 94n 6n5 4所以，數(shù)列cn的前2n

.2n1 94n 9【考點】數(shù)列通項公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項求和，錯位相減求和等20（（）y9x8（ii）gxg1（Ⅱ）fxx3kxfx3x2k.xx，x，且xx，令1t

t＞1，則x1 2 1 2x212f1f22f1f2k 3 3 xx3x2k3x2 2xxk 3 3 1 2 1 x 2 x 1 2 x 1 2 2x3x33x2x3xx2kx1x22klnx11 2 12 1

x x x2 1 2x3t33t21kt12lnt.①2 t 令hxx12nx，x.x1 2 12 hx1x2x1x， 由此可得hx在單調(diào)遞增，所以當(dāng)1時，hth，即t12ln0.t2因為x1，t3t2t1t30，≥3，2x3t33t21kt12lnt≥t33t213t12lnt2 t t t33t26lnt31.②t由（（i可知，當(dāng)1gtg，即t3t26nt31，t故t33t26lnt31＞0③t由①②③可得ff2ff.所以，當(dāng)≥31，2，且2，有＞ffx2＞2

fx1fx2.x1x2Ⅰ（（當(dāng)k6fxx36lnxf