數(shù)學(xué)建模競賽講課第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月歡迎參加全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽--一次參賽，終生受益！

/全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，目前已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽，也是世界上規(guī)模最大的數(shù)學(xué)建模競賽。第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月2011年，來自全國33個(gè)省/市/自治區(qū)(包括香港和澳門特區(qū))及新加坡、美國的1251所院校、19490個(gè)隊(duì)（其中本科組16008隊(duì)、?？平M3482隊(duì)）、58000多名大學(xué)生報(bào)名參加本項(xiàng)競賽。第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月我校參加數(shù)學(xué)建模競賽成績2005：1個(gè)省級(jí)三等獎(jiǎng)。2006：2個(gè)省級(jí)三等獎(jiǎng)。2007：2個(gè)省二等獎(jiǎng)，3個(gè)省三等獎(jiǎng)。2008：1個(gè)省三等獎(jiǎng)。2009：1個(gè)省二等獎(jiǎng)，1個(gè)省三等獎(jiǎng)。2010：1個(gè)省一等獎(jiǎng)，1個(gè)省二等獎(jiǎng)，2個(gè)省三等獎(jiǎng)。2011：1個(gè)省三等獎(jiǎng)。第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月“一次參賽，終生受益”。許多參加過競賽的學(xué)生反映：“一次參賽，終生受益”，他們在后繼專業(yè)課學(xué)習(xí)和課題研究中的綜合能力明顯提高，畢業(yè)后受到用人單位的歡迎和重用，不少人被免試推薦讀研究生。第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽競賽內(nèi)容：題目由現(xiàn)實(shí)社會(huì)中各個(gè)領(lǐng)域的實(shí)際問題簡化而成，沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月競賽形式：三名大學(xué)生組成一隊(duì)，可以自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計(jì)算機(jī)、互聯(lián)網(wǎng)和任何軟件，在三天時(shí)間內(nèi)分工合作完成一篇論文。第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月評(píng)獎(jiǎng)標(biāo)準(zhǔn)：假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性、文字表述的清晰程度。競賽宗旨：創(chuàng)新意識(shí)，團(tuán)隊(duì)精神，重在參與，公平競爭。第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月我校的數(shù)學(xué)建模競賽的培訓(xùn)4月14日上午孫中舉數(shù)學(xué)建模的簡單介紹4月14日下午付輝運(yùn)籌與優(yōu)化模型4月15日上午劉曉勇智能優(yōu)化算法4月15日下午陳月紅圖論與網(wǎng)絡(luò)模型4月21日上午彭國俊微分方程模型4月21日下午蔣經(jīng)華隨機(jī)數(shù)學(xué)模型4月22日上午馬震遠(yuǎn)Matlab軟件初步與計(jì)算機(jī)模擬4月22日下午陳潮填數(shù)學(xué)建模考試方法和論文寫作4月28、29日2012年我校數(shù)學(xué)建模競賽

第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月請(qǐng)加入廣東技術(shù)師范學(xué)院數(shù)學(xué)建模新群，新群號(hào)是206414654.以后有些通知和資料都會(huì)在這個(gè)群里發(fā)布。歡迎大家積極參加全國數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽！第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月◆按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等。數(shù)學(xué)模型的分類：◆按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。

模型

第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問題’模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型驗(yàn)證模型分析模型求解模型應(yīng)用第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月模型假設(shè)針對(duì)問題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡化的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述問題發(fā)揮想像力使用類比法盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)實(shí)對(duì)象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系現(xiàn)實(shí)對(duì)象信息數(shù)學(xué)模型數(shù)模的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答用數(shù)學(xué)語言表述歸納求解演繹解釋驗(yàn)證表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐理論實(shí)踐第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月簡單實(shí)例分析第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例一、棋子顏色的變化1、問題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個(gè)，排成如下圖所示的圓圈，然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來所放的棋子。再重復(fù)以上的過程，問這樣重復(fù)進(jìn)行下去各棋子的顏色會(huì)怎樣變化呢?第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月2、最終結(jié)論是什么？可完全用數(shù)學(xué)的推理方法說明最多經(jīng)過8次變換，各棋子的顏色都會(huì)變黑。第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月3、分析注意：規(guī)則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，與有理數(shù)符號(hào)規(guī)則類似。方法：用+1表爾黑色，用－l表示白色，開始擺的八顆棋子記為a1，a2，...，a8，并且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的akak+1正好給出了所放棋子的顏色。第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月4、符號(hào)運(yùn)算規(guī)則規(guī)則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號(hào)⊙，黑為+1，白為-1，則：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１可以看作一種乘法，而且具有交換性和結(jié)合性第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月5、各次顏色的確定可見：最多經(jīng)過8次變換以后，各個(gè)數(shù)都變成丁+1，這意味著所有棋子都是黑色，且以后重復(fù)上述過程，顏色也就不再變化了。第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號(hào)⊙，黑為0，白為1，則：

1+1=0，0+0=0，

1+0=1，0+1=1這種二進(jìn)制的加法具有交換性和結(jié)合性。第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長例二、如何預(yù)報(bào)人口的增長第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月模型1今年人口x0,年增長率rk年后人口模型2模型假設(shè)1）時(shí)刻t人口增長的速率與當(dāng)時(shí)人口數(shù)成正比，增長率為常數(shù)r。2）以x(t)表示時(shí)刻t某地區(qū)（或國家）的人口數(shù)，設(shè)人口數(shù)x(t)足夠大，可以視做連續(xù)函數(shù)處理，且x(t)關(guān)于t連續(xù)可微

人口指數(shù)增長模型（馬爾薩斯Malthus，1766--1834）第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月模型建立及求解據(jù)模型假設(shè)，在t到t+t

時(shí)間內(nèi)人口數(shù)的增長量為第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如果設(shè)t=t0時(shí)刻的人口數(shù)為，則x(t)滿足初值問題：tx(t)第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以很好的吻合。19世紀(jì)以后的許多國家，模型遇到了很大的挑戰(zhàn)。注意到，我們的地球是有限的，故指數(shù)增長模型（Malthus模型）對(duì)未來人口總數(shù)預(yù)測非?；闹?，不合常理，應(yīng)該予以修正。

模型檢驗(yàn)第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月我們把人口數(shù)僅僅看成是時(shí)間的函數(shù)，忽略了個(gè)體間的差異（如年齡、性別、大小等）對(duì)人口增長的影響。2.假定是連續(xù)可微的。這對(duì)于人口數(shù)量足夠大，而生育和死亡現(xiàn)象的發(fā)生在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是隨機(jī)的，可認(rèn)為是近似成立的。3.人口增長率是常數(shù)，意味著人處于一種不隨時(shí)間改變的定常的環(huán)境當(dāng)中。4.模型所描述的人群應(yīng)該是在一定的空間范圍內(nèi)封閉的，即在所研究的時(shí)間范圍內(nèi)不存在有遷移（遷入或遷出）現(xiàn)象的發(fā)生。

模型討論

不難看出，這些假設(shè)是苛刻的、不現(xiàn)實(shí)的，所以模型2只符合人口的過去結(jié)果而不能用于預(yù)測未來人口。第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)模型3阻滯增長模型(Logistic模型)第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）

186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4r=0.2557,xm=392.1第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬)模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月復(fù)雜的人口模型可見數(shù)學(xué)模型總是在不斷的修改、完善使之能符合實(shí)際情況的變化。考慮人口年齡分布的偏微分方程模型?？紤]女性人口比例和人口遷移等因素有宋健-于景元人口模型。第33頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月問題(智力游戲)3名商人3名隨從隨從們密約,在河的任一岸,一旦隨從的人數(shù)比商人多,就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?問題分析多步?jīng)Q策過程決策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求~在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.河小船(至多2人)例三、商人們怎樣安全渡河第34頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月模型構(gòu)成xk~第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk~第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~過程的狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允許狀態(tài)集合uk~第k次渡船上的商人數(shù)v