第第頁人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算精講精練（含解析）人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算精講精練同步訓(xùn)練

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一空間向量的概念

1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．

2．長度或模：向量的大?。?/p>

3．表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作，其模記為|a|或||.

4．幾類特殊的空間向量

名稱定義及表示

零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0

單位向量模為1的向量稱為單位向量

相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a

共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a

相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量

考點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算

空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝＋＝

減法a－b＝－＝

數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λ＝；當(dāng)λ<0時(shí)，λa＝λ＝；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0

運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

考點(diǎn)三共線向量

1．空間兩個(gè)向量共線的充要條件

對于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.

2．直線的方向向量

在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．

考點(diǎn)四共面向量

1．共面向量

如圖，如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．

2．向量共面的充要條件

如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.

【題型歸納】

題型一：空間向量的有關(guān)概念

1．給出下列命題：

①空間向量就是空間中的一條有向線段；

②在正方體中，必有；

③是向量的必要不充分條件；

④若空間向量滿足，則．

其中正確的命題的個(gè)數(shù)是

A．1B．2

C．3D．0

2．給出下列命題

①空間中所有的單位向量都相等；②方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；

③若滿足，且同向，則；

④零向量沒有方向；⑤對于任意向量，必有．

其中正確命題的序號為（）

A．①②③B．⑤C．④⑤D．①⑤

3．下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）

A．若向量，平行，則，所在直線平行

B．若，則，的長度相等而方向相同或相反

C．若向量，滿足，則

D．相等向量其方向必相同

題型二：空間向量的線性運(yùn)算（加減法）

4．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是面對角線與的中點(diǎn)，若，，，則（）

A．B．C．D．

5．空間四邊形各邊及對角線長均為，，，分別是，，的中點(diǎn)，則（）

A．B．C．D．

6．空間四邊形中，.點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則等于（）

A．-B．-C．-D．-

題型三：空間兩個(gè)向量共線的有關(guān)問題

7．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）.

A．ABDB．ABCC．BCDD．ACD

8．已知空間中兩條不同的直線，其方向向量分別為，則“”是“直線相交”的（）

A．.充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

9．下列命題中正確的是（）.

A．若與共線，與共線，則與共線.

B．向量，，共面，即它們所在的直線共面

C．若兩個(gè)非零空間向量與滿足，則

D．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使

題型四：空間共面向量定理

10．已知、、三點(diǎn)不共線，點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，則在下列各條件中，能得到點(diǎn)與、、一定共面的是（）

A．B．

C．D．

11．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.

A．三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們不共面

B．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線

C．若是兩個(gè)不共線的向量，且(且)，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底

D．若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則四點(diǎn)共面

12．在下列結(jié)論中：

①若向量共線，則向量所在的直線平行；

②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面；

③若三個(gè)向量兩兩共面，則向量共面；

④已知空間的三個(gè)向量，則對于空間的任意一個(gè)向量總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得

．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3

【雙基達(dá)標(biāo)】

一、單選題

13．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：

①；②；

③；④.

其中運(yùn)算的結(jié)果為向量的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

14．①若ABCD是空間任意四點(diǎn)，則有；

②是共線的充要條件；

③若共線，則與所在直線平行；

④對空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)ABC，若（其中xyz∈R），則PABC四點(diǎn)共面.

其中不正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

15．若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則（）

A．P∈直線AB

B．P直線AB

C．點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上

D．以上都不對

16．在正方體中，點(diǎn)滿足（）若平面平面，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．B．C．D．

17．如圖，在平行六面體ABCDA′B′C′D′中，設(shè)，，，則下列與向量相等的表達(dá)式是（）

A．B．

C．D．

18．如圖，在四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，則（）

A．B．

C．D．

19．已知空間四邊形ABCD中，，，，則等于（）

A．B．

C．D．

20．下列說法：

①若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；

②若向量，滿足，且與同向，則；

③若兩個(gè)非零向量與滿足，則，為相反向量；

④的充要條件是A與C重合，B與D重合.

其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

21．在空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，則（）

A．B．

C．D．

22．如圖，在平行六面體中，，，點(diǎn)在上，且，則（）．

A．B．

C．D．

【高分突破】

一：單選題

23．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（）

A．1B．C．D．2

24．已知正方體中，，若，則（）

A．，B．，y=1

C．，D．，

25．如圖，在平行六面體中，M在AC上，且，N在上，且．設(shè)，，，則

A．B．

C．D．

26．在四面體中，空間的一點(diǎn)M滿足，若M，A，B，C共面，則（）

A．B．C．D．

27．在正方體中，若點(diǎn)是側(cè)面的中心，且，則的值分別為（）

A．，，B．，，

C．，，D．，，

28．已知點(diǎn)P為三棱O-ABC的底面ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的值可能為（）

A．B．

C．D．

29．如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，設(shè)，則下列向量與相等的是（）

A．B．

C．D．

30．空間、、、四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，若為該平面外一點(diǎn)且，則實(shí)數(shù)的值為

A．B．C．D．

31．在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）

A．B．C．D．

32．如圖，在空間四邊形中，，，．點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則=（）

A．B．

C．D．

二、多選題

33．如圖所示，是四面體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，，設(shè)，，，則下列等式成立的是（）

A．B．

C．D．

34．已知正方體的中心為，則下列結(jié)論中正確的有（）

A．與是一對相反向量

B．與是一對相反向量

C．與是一對相反向量

D．與是一對相反向量

35．如圖，在正方體中，下列各式中運(yùn)算的結(jié)果為的有

A．B．

C．D．

36．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外的任一點(diǎn)，則“點(diǎn)M與點(diǎn)A，B，C共面”的充分條件的是（）

A．B．

C．D．

三、填空題

37．如果兩個(gè)向量不共線，則與共面的充要條件是___________.

38．已知非零向量，不共線，則使與共線的的值是________．

39．在三棱錐ABCD中，若△BCD是正三角形，E為其中心，則＋－－化簡的結(jié)果為________.

40．已知點(diǎn)在平面內(nèi)，并且對不在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，都有，則的值為_______．

41．如圖，是四面體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，，用向量，，表示，則=_______．

四、解答題

42．在空間四邊形ABCD中，連結(jié)ACBD，的重心為G，化簡.

43．如圖所示，在三棱柱中，是的中點(diǎn)，化簡下列各式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

44．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F(xiàn)在對角線A1C上，且，求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.

45．如圖，已知為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，求證：

（1）四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面；

（2）；

（3）.

【答案詳解】

1．B

【詳解】

有向線段可以表示向量，但不是向量，故①不正確；根據(jù)正方體中，向量與的方向相同，模也相等，則，故②正確；命題③顯然正確；命題④不正確，向量的平行不具有傳遞性，比如當(dāng)為零向量時(shí)，零向量與任何向量都平行，則不一定平行．故選B．

2．B

【詳解】

對于①，長度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，兩個(gè)單位向量，方向不同時(shí)，不相等，故①錯(cuò)誤；

對于②，長度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，僅僅方向相反不是相反向量，故②錯(cuò)誤；

對于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的長度(模)能夠比較大小，但向量不能比較大小的，故③錯(cuò)誤；

對于④，根據(jù)規(guī)定，零向量與任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是沒有確定的方向，故④錯(cuò)誤；

對于⑤，為向量模的不等式，由向量的加法的幾何意義可知是正確的，故⑤正確．

綜上，正確的命題只有⑤，

故選：.

3．D

【詳解】

A中，對于非零向量，平行，則，所在的直線平行或重合；

B中，只能說明，的長度相等而方向不確定；

C中，向量作為矢量不能比較大??；

D中，由相等向量的定義知：方向必相同；

故選：D.

4．D

【詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)，分別是面對角線與的中點(diǎn)，，，，

所以

故選:D.

5．A

【詳解】

空間四邊形各邊及對角線長均為，

所以四邊形構(gòu)成的四面體是正四面體，四個(gè)面是等邊三角形，

因?yàn)椋?，分別是，，的中點(diǎn)，

所以，，

，

，所以

.

故選：A.

6．B

解：因?yàn)?，所?

為的中點(diǎn)，則，

.

故選：B.

7．A

【詳解】

因?yàn)椋?，又有公共點(diǎn)，所以ABD三點(diǎn)共線，故選項(xiàng)A正確；

顯然不共線，所以、、三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

顯然不共線，所以、、三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

因?yàn)?，所以不共線，從而、、三點(diǎn)不共線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：A.

8．B

【詳解】

由可知，與不共線，所以兩條不同的直線不平行，可能相交，也可能異面，所以“”不是“直線相交”的充分條件；

由兩條不同的直線相交可知，與不共線，所以，所以“”是“直線相交”的必要條件，

綜上所述：“”是“直線相交”的必要不充分條件.

故選：B.

9．C

A中，若，則與不一定共線；

B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面；

C中，∵，∴，∴與共線，故正確；

D中，若，，則不存在，使.

故選：C

10．B

【詳解】

若，且，

則，則，

即，所以，點(diǎn)、、、共面.

對于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)中的點(diǎn)、、、不共面；

對于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)中的點(diǎn)、、、共面；

對于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)中的點(diǎn)、、、不共面；

對于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)中的點(diǎn)、、、不共面.

故選：B.

11．C

【詳解】

A選項(xiàng)，三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則三個(gè)非零向量不共面，故A正確；

B選項(xiàng)，三個(gè)非零向量不共面，則此三個(gè)向量可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底，若兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這三個(gè)向量共面，則已知的兩個(gè)向量共線，如圖，故B正確；

C選項(xiàng)，∵滿足，∴，，共面，不能構(gòu)成基底，故C錯(cuò)誤，

D選項(xiàng)，因?yàn)楣财瘘c(diǎn)，若，，，四點(diǎn)不共面，則必能作為空間的一個(gè)基底，故D正確，

故選C.

12．A

【詳解】

平行向量就是共線向量，它們的方向相同或相反，未必在同一條直線上，故①錯(cuò)．

兩條異面直線的方向向量可通過平移使得它們在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò).

三個(gè)向量兩兩共面，這三個(gè)向量未必共面，如三棱錐中，兩兩共面，但它們不是共面向量，故③錯(cuò)．

根據(jù)空間向量基本定理，需不共面才成立，故④錯(cuò)．

故選:A．

13．D

【詳解】

①：，故①正確；

②：，故②正確；

③：，故③正確；

④：，故④正確.

所以4個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是，

故選：D.

14．C

【詳解】

①中四點(diǎn)恰好圍成一封閉圖形，正確；

②中當(dāng)同向時(shí)，應(yīng)有，故錯(cuò)誤；

③中所在直線可能重合，故錯(cuò)誤；

④中需滿足，才有PABC四點(diǎn)共面，故錯(cuò)誤.

故選：C

15．A

【詳解】

因?yàn)閙＋n＝1，所以m＝1－n，

所以＝(1－n)·＋n，

即＝n()，

即，所以與共線．

又，有公共起點(diǎn)A，所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，即P∈直線AB.

故選：A

16．D

【詳解】

如下圖，由正方體性質(zhì)知：面面，要使面面，

∴在面上，即共面，又，，

∴，可得.

故選：D

17．D

【詳解】

由題意：

故選：D.

18．A

【詳解】

在四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，

故選：A．

19．C

【詳解】

由向量的運(yùn)算法則，可得.

故選：C.

20．C

【詳解】

①錯(cuò)誤.兩個(gè)空間向量相等，其模相等且方向相同，但與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置無關(guān).

②錯(cuò)誤.向量的?？梢员容^大小，但向量不能比較大小.

③正確.，得，且，為非零向量，所以，為相反向量.

④錯(cuò)誤.由，知，且與同向，但A與C，B與D不一定重合.

故選：C

21．A

【詳解】

.

故選：A

22．B

【詳解】

因?yàn)?，可得?/p>

根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得

，

又由，，，

所以.

故選：B.

23．B

【詳解】

因?yàn)椋?/p>

所以，所以，所以，

解得，所以，

故選：B.

24．D

【詳解】

由空間向量的運(yùn)算法則，可得，

因?yàn)?，所?

故選：D.

25．A

【詳解】

解：因?yàn)镸在AC上，且，N在上，且，

所以，，

在平行六面體中，，，，

所以，，

所以

，

故選：A．

26．A

因?yàn)镸，A，B，C共面，則，得.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查空間四點(diǎn)共面定理，屬于基礎(chǔ)題型.

27．D

【詳解】

如圖，在正方體中，，

，

，

所以

,

所以，，

故選：D

28．C

【詳解】

，且P，A，B，C共面，

，

只有符合，

故選：C.

29．A

【詳解】

因?yàn)椋鐖D，

依題意，有

．

故選：A

30．C

【詳解】

因?yàn)榭臻g、、、四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，

則，

又點(diǎn)為該平面外一點(diǎn)，則

，

所以，

又，

由平面向量的基本定理得：，即，

故選：C．

31．A

如圖，

由空間向量的線性運(yùn)算可得：

，

，

故選：A

32．B

【詳解】

由題，在空間四邊形，，，．

點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則．

所以

故選：B

【點(diǎn)睛】

本