2021-2022學(xué)年湖南省婁底市石井中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知曲線與函數(shù)及函數(shù)的圖像分別交于，則的值為（）A．16

B．8

C．4

D．2參考答案：C略2.若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，則sinαcosβ的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【分析】利用兩角和與差公式打開化簡，即可得答案．【解答】解：由sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，可得sinαcosβ+cosαsinβ=…①sinαcosβ﹣cosαsinβ=…②由①②解得：sinαcosβ=，故選：A．【點評】本題主要考查了兩角和與差公式運用和計算能力．屬于基礎(chǔ)題．3.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點所在象限為（）A．第一象限

B．第二象限

C．

第三象限

D．第四象限參考答案：D4.已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)的值是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C5.已知集合等于

A．{5}

B．{2，8}

C．{1，3，7}

D．參考答案：C6.已知正三角形的邊長為，點是邊上的動點，點是邊上的動點，且,則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.直線l：與曲線相交于A、B兩點，則直線l傾斜角的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b與a共線，那么a·b的值為()A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：A略9.若f（x）為奇函數(shù)，且x0是y=f（x）﹣ex的一個零點，則﹣x0一定是下列哪個函數(shù)的零點（）A．y=f（x）ex+1 B．y=f（﹣x）e﹣x﹣1 C．y=f（x）ex﹣1 D．y=f（﹣x）ex+1參考答案：A【考點】52：函數(shù)零點的判定定理；3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由x0是y=f（x）﹣ex的一個零點知f（x0）﹣=0，再結(jié)合f（x）為奇函數(shù)知f（﹣x0）+=0，從而可得f（﹣x0）+1==0．【解答】解：∵x0是y=f（x）﹣ex的一個零點，∴f（x0）﹣=0，又∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x0）=﹣f（x0），∴﹣f（﹣x0）﹣=0，即f（﹣x0）+=0，故f（﹣x0）+1==0；故﹣x0一定是y=f（x）ex+1的零點，故選：A．10.如圖，在矩形ABCD中，，，兩個圓的半徑都是1，且圓心，均在對方的圓周上，在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為（

）A． B． C． D．參考答案：D如圖所示，分別連接，則分別為邊長為的等邊三角形，所以其面積分別為，其中拱形的面積為，所以陰影部分的面積為，所以概率為，故選D．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在棱長為2的正四面體A﹣BCD中，E、F分別為直線AB、CD上的動點，且．若記EF中點P的軌跡為L，則|L|等于．（注：|L|表示L的測度，在本題，L為曲線、平面圖形、空間幾何體時，|L|分別對應(yīng)長度、面積、體積．）參考答案：

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由題意畫出圖形，通過取特殊點找到P的軌跡，再由圓的面積公式得答案．【解答】解：如圖，當(dāng)E為AB中點時，F(xiàn)分別在C，D處，滿足|EF|=，此時EF的中點P在EC，ED的中點P1，P2的位置上，當(dāng)F為CD中點時，E分別在A，B處，滿足|EF|=，此時EF的中點P在BF，AF的中點P3，P4的位置上，連接P1P2，P3P4相交于點O，則四點P1，P2，P3，P4共圓，圓心為O，圓的半徑為，則EF中點P的軌跡為L為以O(shè)為圓心，以為半徑的圓，其測度|L|=．故答案為：．12.設(shè)不等式組在直角坐標(biāo)系中所表示的區(qū)域的面積為，則當(dāng)時，的最小值為．參考答案：13.已知函數(shù)，則方程的不相等的實根個數(shù)為

。參考答案：略14.已知，則二項式的展開式中常數(shù)項是第 項。參考答案：5略15.同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第23個圖案中需用黑色瓷磚

塊.參考答案：10016.（2013?黃埔區(qū)一模）已知命題“若f（x）=m2x2，g（x）=mx2﹣2m，則集合”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是_________．參考答案：m＞1或m＜﹣7略17.函數(shù)（為常數(shù)，A＞0，＞0）的部分圖象如圖所示，則的值是

▲

.參考答案：由圖象可知，，所以,,所以，，所以，所以，所以，.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的右焦點為（1,0），設(shè)左頂點為A，上頂點為B,且，如圖．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若，過的直線交橢圓于兩點，試確定的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由已知，，，，則由得：

∵

∴，解得，∴

所以橢圓

……4分（Ⅱ）①若直線斜率不存在，則，此時，，＝；②若直線斜率存在，設(shè)，，則由消去得：∴，∴＝∵∴

∴

∴綜上，的取值范圍為．

……13分略19.（本大題9分）袋中有2個紅球，n個白球，各球除顏色外均相同。已知從袋中摸出2個球均為白球的概率為，（Ⅰ）求n；（Ⅱ）從袋中不放回的依次摸出三個球，記ξ為相鄰兩次摸出的球不同色的次數(shù)（例如：若取出的球依次為紅球、白球、白球，則ξ=1），求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ。參考答案：（1）n=4(2)P(=

P(=

Eξ=20.設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2﹣2ln（x+1）．（1）如果關(guān)于的x不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]上有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)g（x）=f（x）﹣x2﹣1，若關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個實數(shù)解，求實數(shù)p的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求導(dǎo)，由題意可知：函數(shù)y=f（x）在[0，e﹣1]上是遞增的，則原不等式等價于f（x）max≥m在[0，e﹣1]上成立，即可求得實數(shù)m的取值范圍；（2）求導(dǎo)，令g'（x）=0，求得函數(shù)的單調(diào)性，則g（x）min=g（0）=0，由題意可知p≥0，即可求得實數(shù)p的取值范圍．【解答】解：（1）在[0，e﹣1]上恒成立，∴函數(shù)y=f（x）在[0，e﹣1]上是遞增的，此時，，關(guān)于的x不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]上有實數(shù)解，等價于f（x）max≥m在[0，e﹣1]上成立，∴m≤e2﹣2．（2）g（x）=2x﹣2ln（x+1），求導(dǎo)，令g'（x）=0，得x=0，易知y=g（x）在（﹣1，0）上是遞減的，在（0，+∞）上是遞增的，∴g（x）min=g（0）=0，∴關(guān)于x的方程g（x）=p至少有一個實數(shù)解，則p的取值范圍為：p≥0，實數(shù)p的取值范圍[0，+∞）．21.如圖，在直二面角中，四邊形是矩形，，，是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是線段上的一點，.（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

試題解析：（Ⅰ）證明：由題意知：，，.∵,∴.∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知、、兩兩互相垂直，以為原點，方向為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

設(shè)二面角的平面角為，由題中條件可知，則，∴二面角的余弦值為.………………12分考點：線面垂直的判斷，二面角．【名師點睛】求二面角，通常是用空間向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，求出二面角兩個面的法向量，由法向量的夾角求得二面角．在用這種方法求解時，有一個易錯的地方就是不判斷二面角是銳角不是鈍角，就想當(dāng)然地認為法向量的夾角就是等于二面角．當(dāng)然如果圖形中已經(jīng)有棱的垂面了，二面角的平面角已經(jīng)出現(xiàn)了，因此直接用定義求二面角即可，沒必要再用向量法求